Kunta (matematiikka)

Kunta (engl. field) matematiikassa on epäformaalisti sanottuna joukko, johon on määritelty neljä peruslaskutoimitusta siten, että laskutoimitukset noudattavat tavallisia laskulakeja, ja laskutoimitusten tulos kuuluu samaan joukkoon. Esimerkiksi rationaaliluvut muodostavat kunnan, mutta kokonaisluvut eivät, koska jakolaskun tulos ei ole välttämättä kokonaisluku. Kuntia tutkiva matematiikan ala on algebra.^[1]

Vektoriavaruuden määritelmään kuuluu varsinaisen vektoriavaruuden lisäksi jokin "skalaarien" kunta, useimmiten reaalilukujen joukko ${\displaystyle \mathbb {R} }$, jonka alkioilla eli "skalaareilla" vektoreita voi kertoa niin, että vektorin pituus moninkertaistuu tuon skalaarin verran mutta suunta ei muutu.

Alla esitetyssä inkluusioketjussa kukin algebrallinen käsite tarkoittaa sen käsitteen ilmenemien joukkoa (esimerkiksi "Pseudorengas" tarkoittaa kaikkien pseudorenkaiden joukkoa):

Rngas eli pseudorengas ⊃ rengas ⊃ kommutatiivinen rengas ⊃ kokonaisalue ⊃ faktoriaalinen kokonaisalue ⊃ pääideaalialue ⊃ euklidinen alue ⊃ kunta ⊃ Algebrallisesti suljettu kunta

Formaali määritelmä

Joukko ${\displaystyle K(+,\cdot )}$ on kunta, jos se täyttää seuraavat ehdot:

1. Kaikilla ${\displaystyle x,y,z}$ on ${\displaystyle x+(y+z)=(x+y)+z}$ (summan liitäntälaki)
2. ${\displaystyle K}$:ssa on nolla-alkio ${\displaystyle 0}$ niin, että kaikilla ${\displaystyle x}$ on ${\displaystyle x+0=x}$ (summan neutraalialkio)
3. Kaikilla ${\displaystyle x}$ on ${\displaystyle K}$:ssa vasta-alkio ${\displaystyle -x}$ siten, että ${\displaystyle x+(-x)=0}$
4. Kaikilla ${\displaystyle x,y}$ on ${\displaystyle x+y=y+x}$ (summan vaihdantalaki)
5. Kaikilla ${\displaystyle x,y,z}$ on ${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z}$ (osittelulaki 1)
6. Kaikilla ${\displaystyle x,y,z}$ on ${\displaystyle x\cdot (y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z}$ (tulon liitäntälaki)
7. ${\displaystyle K}$:ssa on ykkösalkio ${\displaystyle 1}$ siten, että kaikilla ${\displaystyle x}$ on ${\displaystyle 1\cdot x=x}$ (tulon neutraalialkio)
8. Kaikilla ${\displaystyle x}$ paitsi ${\displaystyle 0}$:lla on ${\displaystyle K}$:ssa käänteisalkio ${\displaystyle x^{-1}}$ siten, että ${\displaystyle x\cdot x^{-1}=1}$ (tulon käänteisalkio)
9. Kaikilla ${\displaystyle x,y}$ on ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}$ (tulon vaihdantalaki)
10. ${\displaystyle 1\neq 0}$^[2][3][4]

Määritelmässä siis käytetään kahta laskutoimitusta. Vähennyslasku voidaan määritellä summan ja vasta-alkion avulla, ${\displaystyle x-y=x+(-y)}$, ja jakolasku vastaavasti tulon ja käänteisalkion avulla.

Toisin sanoen kunta on kommutatiivinen rengas joka sisältää kaikkien alkioidensa ${\displaystyle a\neq 0}$ käänteisalkiot ja jolla ${\displaystyle 1\neq 0}$.

Voidaan todistaa, että ehto ${\displaystyle 1\neq 0}$ on yhtäpitävä ehdon ${\displaystyle K\neq \{0\}}$ kanssa.^[2] Joskus harvoin kunta määritellään ilman tätä ehtoa eli "nollakunta" ("triviaali kunta") lisätään kuntien joukkoon. Tällöin menetetään se tulos, että nollaideaali ei ole maksimaalinen. Nollakunta on kuitenkin rengas.

Tunnetuimmat kunnat ovat rationaaliluvut ℚ, reaaliluvut ℝ ja kompleksiluvut ℂ. Reaaliluvut ovat rationaalilukujen kuntalaajennus ja kompleksiluvut reaalilukujen kuntalaajennus, mutta kaikki kunnat eivät muodosta samanlaista laajennusten jonoa. Esimerkiksi gaussin rationaalit, eli kompleksiluvut joiden reaali- ja imaginääriosat ovat rationaalilukuja, muodostavat kunnan. Gaussin rationaalit ja reaaliluvut eivät ole kumpikaan toisensa kuntalaajennuksia.

Muita äärettömiä kuntia ovat esimerkiksi algebralliset lukukunnat ${\displaystyle \mathbf {Q} (\mu )}$, kaikkien algebrallisten lukujen kunta 𝔸, ja polynomien osamäärät eli rationaalifunktiot.

Äärellinen kunta syntyy yksinkertaisimmin siten, että joukoksi valitaan kokonaisluvut ${\displaystyle 0,1,2,\ldots ,p-1}$, jossa p on alkuluku, ja yhteenlasku ja kertolasku määritellään s.e. tuloksesta otetaan jakojäännös luvulla ${\displaystyle p}$.

Vaikka nimitykset (yhteenlasku, kertolasku, summa, tulo) antavat mielikuvan, että kunnassa pelataan luvuilla, niin näin ei välttämättä ole – alkiot voivat olla muitakin käsitteitä kuin lukuja. Nollalla merkityn alkion ${\displaystyle 0}$ ei senkään tarvitse olla "oikea nolla", vaan se on vain yhteenlaskussa vaikuttamaton alkio (yhteenlaskun neutraalialkio); samaten on ykkösellä merkitty ${\displaystyle 1}$ vain kertolaskussa vaikuttamaton alkio(kertolaskun neutraalialkio).

Joitakin kuntia koskevia perustuloksia

• Kunnan F nollasta eroavat alkiot (merkitään yleensä F^×) on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Jokainen F^×:n äärellinen aliryhmä on syklinen.

• Jokainen kunta on kokonaisalue.

• Äärellisen kunnan alkioiden lukumäärä on aina alkuluvun potenssi.

• Kunta on rengas jolla ei ole muita ideaaleja kuin {0} ja kunta itse.

• Jokaiselle kunnalle F on olemassa isomorfiaa vaille yksikäsitteinen kunta G jonka alikunta F on, kaikki F:n alkiot ovat algebrallisia G:ssä ja G on algebrallisesti suljettu. Tällöin G:tä kutsutaan F:n algebralliseksi laajennukseksi.

Katso myös

• Pseudoäärellinen kunta

Lähteet

1. Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 220–221. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0
2. Jokke Häsä: Algebra II (sivu 5) kevät 2010. Helsingin yliopisto.
3. Kerkko Luosto: Lineaarialgebra 2 (sivu 2: K\{0} on Abelin ryhmä eli sisältää neutraalialkion) Kevät 2014. Tampereen yliopisto.
4. Jouni Parkkonen: Algebra (sivu 25: #R>=2) Jyväskylän yliopisto.

Kirjallisuutta

• Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0
• Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0
• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).