Käänteisalkio

Käänteisalkion käsite liittyy abstraktiin algebraan, jossa kahden joukkoon ${\displaystyle S}$ kuuluvan alkion ${\displaystyle a,b\in S}$ binäärioperaation laskutulos ${\displaystyle a*b}$ on joukon ${\displaystyle S}$ neutraalialkio ${\displaystyle e}$ eli ${\displaystyle a*b=e.}$ ^[1] Tällöin sanotaan, että ${\displaystyle a}$ ja ${\displaystyle b}$ ovat toistensa käänteisalkioita. Käänteisalkion nimitys tulee reaalilukujen kertolaskusta, jossa neutraalialkio on luku 1 ja jokaisella luvulla ${\displaystyle a\in \mathbb {R} \smallsetminus 0}$ on olemassa yksi käänteisluku ${\displaystyle b={\tfrac {1}{a}}\in \mathbb {R} }$, jolle ${\displaystyle a\cdot b=a\cdot {\tfrac {1}{a}}=1.}$

Yksikkö tarkoittaa alkiota, jolla on käänteisalkio ^[2] mutta joskus vain ykkösalkiota eli identiteettialkiota.

Formaali määritelmä, nimitykset ja merkinnät

Alkiolla ${\displaystyle b}$ on vasemmanpuoleinen käänteisalkio ${\displaystyle a}$, jos ${\displaystyle a*b=e,}$ ja oikeanpuoleinen käänteisalkio, jos ${\displaystyle b*a=e.}$ Mikäli alkiolla on samanaikaisesti sekä vasemmanpuoleinen- että oikeanpuoleinen käänteisalkio, sanotaan vain, että sillä on olemassa käänteisalkio.^[3][4] Jos alkiolla on olemassa käänteisalkio sanotaan, että alkio on kääntyvä.^[5]

Jos laskutoimitusta pidetään luonteeltaan multiplikatiivisena, merkitään alkion ${\displaystyle x}$ käänteisalkiota ${\displaystyle x^{-1}}$. Jos se taas on additiivinen, se merkitään kuten vastaluvutkin yhteenlaskussa eli ${\displaystyle -x}$.^[4][6][7]

Esimerkkejä

Kokonaislukujen joukossa pari ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,*)}$ sisältää vain muutaman käänteisalkion eli käänteisluvun, kun laskutoimitus ${\displaystyle *}$ on kertolasku. Selvästikään luvulla 2 ei ole käänteislukua olemassa, koska sen pitäisi olla ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\notin \mathbb {Z} }$. Ainoat luvut, jolla on olemassa käänteisluvut, ovat -1 ja 1. Näiden käänteisluvut ovat luvut itse.^[3]

Jos määritetään erikoinen laskutoimitus ${\displaystyle a\star b=a+b-1}$ kokonaislukujen joukossa. Jos valitaan ensin kokonaisluku ${\displaystyle s}$, voidaan laskea sille käänteisalkio ehdosta ${\displaystyle a+b-1=1}$. Sillä on oikeanpuoleinen käänteisluku ${\displaystyle -s=2-s}$, koska ${\displaystyle a\star b=s\star (-s)=s+(2-s)-1=1}$. Sama voidaan osoittaa vasemmanpuoleisesti.^[3]

Funktioiden joukossa ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$, missä ${\displaystyle X}$ on funktioiden määrittely- ja arvojoukko, identtinen kuvaus ${\displaystyle id(x)=x}$ on yhdisteen ${\displaystyle \circ }$ neutraalialkio. Silloin voidaan määritelmän mukaan kirjoittaa ${\displaystyle id\circ f=f=f\circ id.}$ Jos ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(X)}$ on bijektio, on ${\displaystyle f^{-1}\in {\mathcal {F}}(X)}$ funktion ${\displaystyle f}$ käänteiskuvaus laskutoimituksen ${\displaystyle \circ }$ suhteen ja ${\displaystyle f\circ f^{-1}=id=f^{-1}\circ f}$. Muilla joukon ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(X)}$ alkioilla, jotka eivät ole bijektioita, ei ole käänteiskuvausta.^[4]

Käänteisalkiot algebrassa

Lukujoukko ja laskutoimitus muodostavat parin, joka voi olla monoidi. Monoidilla ei tarvitse olla käänteisalkioita, vaikka sillä on neutraalialkio.^[8] Sen sijaan ryhmällä on käänteisalkiot, sillä se saadaan monoidista vaatimalla jokaiselle alkiolle yksikäsitteinen käänteisalkio.^[9] Kun ryhmälle tehdään laajennus toisella laskutoimituksella, tulee vähintään additiivisella laskutoimituksella olla käänteisalkiot. Tätä algebraa kutsutaan renkaaksi.^[10] Jos sekä additiivisella- että multiplikatiivisella laskutoimituksella on molemmilla olemassa käänteisalkiot, kutsutaan sitä kunnaksi.^[11][12]

Aiheesta muualla

• Ray Mayer’s notes: Binary operations on sets (Arkistoitu – Internet Archive)

Lähteet

1. Häsä, Jokke & Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan, s. 47. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0
2. Jokke Häsä: Algebra II (sivu 5: 0\ne 1, s. 82) kevät 2010. Helsingin yliopisto.
3. Dr. Marcel B. Finan: MATH 4033: Elementary Modern Algebra (pdf) (Luku 3. Binary operations (luento)) Arkansas: Arkansas Tech University. Arkistoitu 4.4.2015. (englanniksi)
4. Turunen, Esko: MAT–41150 Algebra 1(s)^{[vanhentunut linkki]}
5. Häsä, Jokke: Algebra II (pdf) (Luku 0: Kertausta (luentomoniste)) 2010. Helsinki: Helsingin yliopisto. Arkistoitu 5.1.2012.
6. Barile, Margherita: Additive Inverse (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
7. Barile, Margherita: Multiplicative Inverse (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
8. Weisstein, Eric W.: Monoid (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
9. Rowland, Todd & Weisstein, Eric W.: Group (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
10. Weisstein, Eric W.: Ring (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
11. Weisstein, Eric W.: Field (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
12. Barile, Margherita: Invertible Element (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)