reaali- tai kompleksiluku, joka on kokonaislukukertoimisen polynomin nollakohta From Wikipedia, the free encyclopedia
Algebrallinen luku tarkoittaa sellaista reaali- tai kompleksilukua , joka on kokonaislukukertoimisen polynomin nollakohta eli toteuttaa yhtälön . Polynomin
aste tulee olla positiivinen, jolloin vähintään yksi kertoimista poikkeaa nollasta. Jos vain poikkeaa nollasta, on kyseessä vakiofunktio, joka ei täytä edellä mainittua ehtoa. Yleensä algebrallinen luku on kompleksinen, mutta tietyillä ehdoilla se voi olla myös reaalinen, rationaalinen tai kokonainen.[1]
Polynomia, jonka korkeimman asteen termin kerroin on ja muut kertoimet ovat kokonaislukuja, kutsutaan pääpolynomiksi. Pääpolynomin nollakohtaa kutsutaan algebralliseksi kokonaisluvuksi tai kokonaiseksi algebralliseksi luvuksi.[2][3]
Määritelmästä seuraa algebran peruslauseen mukaisesti, että polynomin nollakohdan avulla voidaan päätellä sen yhden tekijän olevan binomi . Algebralliseen lukuun voidaan liittää useita polynomeja, joissa on tämä tekijä. Sitä polynomia, jonka aste on matalin, kutsutaan minimaalipolynomiksi. Minimaalipolynomin aste on samalla algebrallisen luvun aste.[3][4]
Voidaan todistaa, että algebrallisen luvun minimaalipolynomi on yksikäsitteinen ja että minimaalipolynomi on aina tekijänä muissa luvun polynomeissa. Lisäksi minimipolynomi on aina jaoton. Samaan polynomiin liittyvät algebralliset luvut ovat toistensa konjugaatteja.[5]
Algebrallisten lukujen joukkoa merkitään joskus tai . Niitä kompleksilukuja, jotka eivät ole algebrallisia lukuja eli , kutsutaan transkendenttiluvuiksi.[1]
Algebrallisen yhtälön juuret ovat algebrallisia lukuja. Algebrallinen yhtälö muodostetaan laskettaessa polynomin nollakohtia
eli
missä Joskus yhtälön ensimmäisen termin kerroin jaetaan molemmista puolista pois, jolloin saadaan pääpolynomin yhtälö
ja jonka kertoimet ovat rationaalilukuja Koska yhtälön molemmat puolet voi kertoa luvulla , voidaan algebrallisen yhtälön kertoimiksi sallia myös rationaaliluvut.
Luvun voi todeta algebralliseksi, jos keksii sille rationaalilukukertoimisen polynomiyhtälön, jonka juuri luku on. Luvun asteen voi päätellä retusoimalla polynomin tekijöitä. Seuraavassa on joitakin esimerkkejä lukuisasta soveltamiskentästä.
Jos polynomi kerroin , saadaan pääpolynomi. Tämän polynomin algebralliset luvut ovat kokonaislukuja, joiden aste on 1. Tällöin voidaan merkitä . Kaikki rationaaliluvut ovat algebrallisia lukuja, jotka toteuttavat 1. asteen polynomiyhtälön
Tästä nähdään, että .[3]
Erilaisia esimerkkejä:
joka on polynomin nollakohta.[1]
Voidaan myös todistaa, että kompleksiluku on toisen asteen algebrallinen luku, jos luvut ja ovat algebrallisia. Silloin on myös liittoluku algebrallinen.[1][3]
Algebrallisten lukujen joukko on tiheä, jolloin kahden mielivaltaisen algebrallisen luvun välistä löytyy aina kolmas algebrallinen luku riippumatta kuinka lähellä ensin mainitut kaksi lukua olivat.[6]
Algebrallisten luvut ovat numeroituvasti ääretön joukko, jonka mahtavuus on siis [7]. Transkendenttisten lukujen mahtavuus on kuitenkin ylinumeroituvasti ääretön.[6][8]
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.