Yhdeksän pisteen ympyrä

Yhdeksän pisteen ympyrä ^[1] eli Eulerin ympyrä eli Feuerbachin ympyrä tarkoittavat geometriassa samaa kolmioon liittyvää ympyrää. Ympyrän nimi juontaa juurensa siitä, että yleisen kolmion kolme pisteryhmää sijaitsevat ympyrän kehällä. Kehäpisteinä ovat kolme korkeusjanojen kantapistettä (kuvassa G, H ja I), kolme kolmion sivujen keskipistettä (D, E ja F) ja kolme ortokeskuksen ja kolmion kärjen välisen janan keskipistettä (J, K ja L, engl. Euler points). Vaikka kehältä on löydetty vielä lisää pisteitä, on nimitys säilynyt samana.^[2]

Yhdeksän pisteen ympyrä

Ympyrän nimitys

Suomalaisen nimityksen vakiintumattomuus saattaa johtua kansainvälisen nimitystavan kirjavuudesta, sillä eri maissa käytetään pääsääntöisesti kolmea nimeä. Ympyrän pisteitä ovat tutkineet monet, mutta Leonhard Euleria ja Karl Wilhelm Feuerbachia on kunnioitettu kutsumalla ympyrää heidän nimellään. Muun muassa seuraavia nimityksiä on käytössä: ransk. Cercle d'Euler, port. círculo de Euler, saks. Feuerbachkreis, unk. Feuerbach-kör, ital. Cerchio di Feuerbach, esp. Circunferencia de los nueve puntos, engl. Nine-point circle, holl. Negenpuntscirkel, norj. Nipunktsirkel, ven. Окружность девяти точек ja puol. Okrąg dziewięciu punktów.

Ympyrän ominaisuuksia

Ympyrän säde R_N on puolet kolmiota ympäröivän ympyrän säteestä

${\displaystyle R_{N}={\tfrac {1}{2}}R}$. Ympyrä myös puolittaa kaikki janat ortokeskuksesta kolmiota ympäröivälle ympyrälle.^[2]

Yhdeksän pisteen ympyrä ympäröi ortokolmiota ja keskistä kolmiota.^[3]

Yhdeksän pisteen ympyrä sivuaa kolmion sisään piirrettyä ympyrää sisäpuolisesti Feuerbachin pisteessä. Ympyrä sivuaa myös kaikkia kolmea ulkokeskusympyrää ulkoisesti. Tämän Feuerbach todisti ja tulos tunnetaan myös Feuerbachin teoreemana.^[4] Näistä ulkoisista sivuamispisteistä muodostuu niin sanottu Feuerbachin kolmio.^[2][5]

Pisteet ympyrän kehällä

Ympyrän kehältä tunnetaan muun muassa seuraavia pisteitä:

• Korkeusjanojen kantapisteet (3 kappaletta)^[2]
• Kolmion sivujen keskipisteet (3 kappaletta)^[2]
• Ortokeskuksen ja kolmion kärjet yhdistävien janojen keskipisteet (engl. Euler points, 3 kappaletta)^[2][6]
• Kolmion sivuja ja sivujanoja ulkoisesti sivuavien ulkoympyröiden ulkoiset sivuamispisteet (3 kappaletta)^[7]
• Feuerbachin piste (${\displaystyle \scriptstyle X_{11}}$)^[8][7]
• Merkitsemällä kirjaimella H ortokeskusta ja kirjaimilla A, B ja C kolmion kärkiä, voidaan osoittaa, että referenssikolmion yhdeksän pisteen ympyrä on myös kolmioiden ${\displaystyle \scriptstyle \triangle AHB}$, ${\displaystyle \scriptstyle \triangle BHC}$ ja ${\displaystyle \scriptstyle \triangle CHA}$ yhdeksän pisteen ympyrä. Se sivuaa myös sisä- ja ulkopuolelta näiden kolmen kolmioiden sisään ja viereen piirrettyjä ympyröitä (3×4 = 12 kappaletta).^[7]
• Fermat'n pisteiden (X = ${\displaystyle \scriptstyle X_{13}}$) ja (X' = ${\displaystyle \scriptstyle X_{14}}$) välinen keskipiste.^[2]

Ympyrän keskipiste X5

Ympyrän keskipistettä kutsutaan kuvailevasti yhdeksän pisteen ympyrän keskipisteeksi (engl. nine-point center) ja se on luetteloitu Kimberlingin merkillisten pisteiden ensyklopediaan tunnuksella ${\displaystyle \scriptstyle X_{5}}$. Piirroksissa se merkitään usein myös tunnuksella N tai F.^[2][9]

Pisteen trilineaariset koordinaatit ovat

${\displaystyle \cos(\beta -\gamma ):\cos(\gamma -\alpha ):\cos(\alpha -\beta )}$

${\displaystyle =(\cos \alpha +2\cos \beta \cos \gamma ):(\cos \beta +2\cos \gamma \cos \alpha ):(\cos \gamma +2\cos \alpha \cos \beta )}$

${\displaystyle =bc[a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+(b^{2}-c^{2})^{2}]:ca[b^{2}c^{2}+b^{2}a^{2}+(c^{2}-a^{2})^{2}]:ab[c^{2}a^{2}+c^{2}b^{2}+(a^{2}-b^{2})^{2}]}$^[9][10]

Pisteen barysentriset koordinaatit ovat

${\displaystyle a\cos(\beta -\gamma ):b\cos(\gamma -\alpha ):c\cos(\alpha -\beta )}$

${\displaystyle =[a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+(b^{2}-c^{2})^{2}]:[b^{2}c^{2}+b^{2}a^{2}+(c^{2}-a^{2})^{2}]:[c^{2}a^{2}+c^{2}b^{2}+(a^{2}-b^{2})^{2}]}$ ^[10]

Keskipiste sijaitsee kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipisteen ja ortokeskuksen puolivälissä eli ${\displaystyle \scriptstyle ON\,:\,NH=1\,:\,1}$. Se toteuttaa myös yhtälön^[9]

${\displaystyle AN^{2}+BN^{2}+CN^{2}=3R^{2}-ON^{2},}$

missä R on kolmion ympäri piiretyn ympyrän säde.

Keskipiste on eräs Eulerin suoran pisteitä ja samalla myös Steinerin ympyrän keskipiste.^[9]

Keskipisteen isogonaalinen konjugaatti on ${\displaystyle \scriptstyle X_{54}}$.^[10]

Feuerbachin piste X11

Feuerbachin piste on yhdeksän pisteen ympyrän ja kolmion sisään piirretyn ympyrän sivuamispiste. Se on luetteloitu Kimbergingin merkillisten pisteiden ensyklopediaan tunnuksella ${\displaystyle \scriptstyle X_{11}}$.^[8]

Pisteen trilineaariset koordinaatit ovat

${\displaystyle (1-\cos(\beta -\gamma )):(1-\cos(\gamma -\alpha )):(1-\cos(\alpha -\beta ))}$ ^[8]

${\displaystyle =\sin ^{2}(\beta -\gamma ):\sin ^{2}(\gamma -\alpha ):\sin ^{2}(\alpha -\beta )}$

${\displaystyle =(bc(b+c-a)(b-c)^{2}):(ca(c+a-b)(c-a)^{2}):(ab(a+b-c)(a-b)^{2})}$.^[3]

Barysentriset koordinaatit ovat

${\displaystyle a(1-\cos(\beta -\gamma )):b(1-\cos(\gamma -\alpha )):b(1-\cos(\alpha -\beta ))}$

${\displaystyle =(b+c-a)(b-c)^{2}:(c+a-b)(c-a)^{2}:(a+b-c)(a-b)^{2}}$.^[3]

Etäisyydet Feuerbachin pisteestä kolmion sivujen keskipisteisiin täyttää aina ehdon, jossa pisin etäisyys on kahden lyhyemmän summa.^[8]

Feuerbachin piste sijaitsee kolmion sisään piirretyn ympyrän sivuamispisteessä, joten etäisyys sen keskipisteestä I on sen säde.^[8]

Feuerbachin pisteen isogonaalinen konjugaatti on ${\displaystyle \scriptstyle X_{59}}$.^[3]

Historia

Euler osoitti vuonna 1765, että korkeusjanojen kantapisteiden lisäksi ympyrä kulkee myös sivujen keskipisteiden kautta. Feuerbach osoitti, että edellisten kuuden pisteen lisäksi ympyrä kulkee myös jokaisen korkeusjanan ortopisteen ja kantapisteen välisen janan keskipisteen kautta (engl. Euler's points). Feuerbachin teoreemana tunnettu tulos nimesi pisteiden lukumääräksi yhdeksän. Feuerbachin teoreemana tunnetaan myös toinen tulos, jossa yhdeksän pisteen ympyrä sivuaa kolmion sisälle piirrettyä ympyrää sisäpuolisesti ja kolmion viereen piirrettyjä ympyröitä ulkopuolisesti. Tämä tulos julkaistiin vuonna 1822. Vasta tämän tuloksen jälkeen voitiin puhua yhdeksän pisteen ympyrästä.^[4]

Vaikka nimekkäät tutkijat ovatkin saaneet nimensä ympyrän nimeksi, oli ajatus käynyt monen muunkin mielessä vuosia aiemmin. Vuonna 1804 eräs tuntematon englantilainen Benjamin Bevan ehdotti samantapaista probleemaa. Muutama vuosi myöhemmin, vuonna 1821, Charles-Julien Brianchon (1783−1864) ja Jean-Victor Poncelet (1788−1867) julkaisivat (Gergonnen Annales'issa) saman teoreeman.^[11][12]

Lähteet

1. Lehtinen, Matti: Geometrian perusteita (Arkistoitu – Internet Archive), s.40, 2011
2. Weisstein, Eric W.: Nine-Point Circle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
3. Kimberling, Clark: Feuerbach's point
4. Weisstein, Eric W.: Feuerbach's Theorem (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
5. Weisstein, Eric W.: Feuerbach Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
6. Weisstein, Eric W.: Euler Points (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
7. Wells, David: The Penquin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, s. 76. Englanti: Penguin Group, 1991. ISBN 0-14-011813-6 (englanniksi)
8. Weisstein, Eric W.: Feuerbach Point (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
9. Weisstein, Eric W.: Nine-Point Center (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
10. Kimberling, Clark: Feuerbach's point
11. Wells, David: The Penquin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, s. 158. Englanti: Penguin Group, 1991. ISBN 0-14-011813-6 (englanniksi)
12. Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa II, s. 750–751. Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-158-6