Neliöjuurifunktio

Neliöjuurifunktio on matematiikassa yleisesti käytetty yhden muuttujan juuri- ja potenssifunktio, joka voidaan esittää muodoissa

${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}}$.

Reaaliarvoinen neliöjuurifunktio on määritelty ei-negatiivisilla reaaliluvuilla.

Neliöjuuren määritelmästä johtuen sen määrittelyjoukko on ${\displaystyle \left[0,\infty \right)\ eli\ 0\leqslant x}$. Neliöjuurifunktion kuvaaja on puolikas paraabeli, jonka huippu on origossa, symmetria-akseli x-akselilla sekä kylki x-akselin yläpuolella.

Neliöjuuren laskeminen tunnettiin jo muinoin babylonialaisilla, jossa sen laskemiseksi oli kehitetty iterointiomenetelmäkin^[1]. Neliöjuurilla on runsaasti geometrisia, taloudellis-teknisiä tai muita sovelluksia, joissa käytetään muun muassa neliöllisesti verrannollisia suureita.

Ominaisuuksia

Neliöjuurifunktio ei ole parillinen tai pariton, sillä se ei ole määritelty reaalilukujen negatiivisilla arvoilla. Määrittelyalueessaan se on aidosti kasvavana monotoninen. Sen pienin arvo on samalla funktion ainoa nollakohta, joka sijaitsee origossa. Funktio saa siten aina positiivisia arvoja ja vain origossa se saa arvon nolla.

Neliöjuurifunktio on kuvauksena ${\displaystyle f:\left[0,\infty \right)\rightarrow \mathbb {R} }$ injektio ja ${\displaystyle f:\left[0,\infty \right)\rightarrow \left[0,\infty \right)}$ surjektio, joka on samalla myös bijektio.

Myös kuvaus ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }$ on mahdollinen, kun negatiivisten lukujen neliöjuuret kuvautuvat kompleksilukuihin. Maalijoukkona on kuitenkin imaginaariluvut, joka on kompleksilukujen osajoukko.

Neliöjuurifunktion käänteisfunktio on ${\displaystyle f^{-1}(x)=x^{2}}$ , kun ${\displaystyle f^{-1}:\left[0,\infty \right)\rightarrow \left[0,\infty \right)}$.

Derivaattafunktion arvot ovat puolet neliöjuuren käänteisluvuista

${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}$

eikä se ole määritelty origossa. Funktion integraalifunktio on

${\displaystyle F(x)=\int {\sqrt {x}}\,dx={\frac {2}{3}}x{\sqrt {x}}+C={\frac {2}{3}}\left({\sqrt {x}}\right)^{3}+C}$.

Kompleksilukujen neliöjuuret lasketaaneri tavalla.

Pääartikkeli: Kompleksinen neliöjuuri

Katso myös

Artikkelissa neliöjuuri on selvitelty tarkemmin neliöjuuri laskutoimituksena.

Lähteet

• Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa I. Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-150-0

• Seppänen, Raimo et al.: MAOL. (lukion taulukkokirja) Helsinki: Otava, 2006. ISBN 951-1-20607-9

Viitteet

1. Boyer, s. 51–77