Osajoukko

Joukko B on joukon A osajoukko, jos jokainen joukon B alkio kuuluu joukkoon A, merkitään ${\displaystyle B\subset A}$. Tällöin sanotaan myös, että B sisältyy joukkoon A. ^[1] Kaikkien osajoukkojen muodostamaa joukkoa kutsutaan potenssijoukoksi ja merkitään ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$.

B ⊆ A Venn-diagrammina

Formaalisti määritellään, että

${\displaystyle B\subset A}$, kun ${\displaystyle \forall b\in B:b\in B\Rightarrow b\in A}$.

Joukko B on joukon A aito osajoukko, jos se on joukon A osajoukko, mutta B ei ole sama kuin A, B ≠A. Aitoa osajoukkoa merkitään usein ${\displaystyle B\subset A}$, jolloin osajoukkoa merkitään ${\displaystyle B\subseteq A}$.

Jokainen joukko C on itsensä osajoukko, ${\displaystyle C\subseteq C}$. Tyhjä joukko ∅ on jokaisen joukon osajoukko ja aito osajoukko jokaiselle joukolle paitsi itselleen.

Kun joukossa on n alkiota, siitä voidaan muodostaa ${\displaystyle \scriptstyle 2^{n}}$ osajoukkoa.^[2]

Esimerkkejä:

1. Joukko {1, 2} on joukon {1, 2, 3} aito osajoukko.

Sen kaikki osajoukot ovat ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}.

2. ${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$

3. Joukko A₀ = {b ∈ R : b ≤ 0} on joukon A₁ = {b ∈ R : b ≤ 1} osajoukko.

4. Joukko S = {Merkurius, Venus, Maa} on joukon P = {Aurinkokuntamme planeetat} osajoukko.