Gran icosaedro triámbico

En geometría, el gran icosaedro triámbico y el mediano icosaedro triámbico (o icosaedro triámbico medio) son dos poliedros uniformes duales entre sí, visualmente idénticos. La superficie exterior también representa la estelación De₂f₂ del icosaedro. Estas figuras se pueden diferenciar marcando qué intersecciones entre aristas son verdaderos vértices y cuáles no. En las imágenes de arriba, los vértices verdaderos están marcados por esferas doradas, que se pueden ver en las áreas cóncavas en forma de Y. Alternativamente, si las caras se rellenan según la regla par-impar, la estructura interna de ambas formas diferirá.

	Gran icosaedro triámbico	Mediano icosaedro triámbico
Tipos	Poliedro uniforme dual
Grupo de simetría	Ih
Nombre	Gran icosaedro triámbico	Mediano icosaedro triámbico
Índices de referencia	DU47, W34, 30/59	DU41, W34, 30/59
Elementos	F= 20, E= 60 V= 32 (χ= -8)	F= 20, E= 60 V= 24 (χ= -16)
Caras isoedrales
Duales	Gran icosidodecaedro ditrigonal	Dodecadodecaedro ditrigonal
Estelación
Icosaedro: W34
Diagrama de estelación

Modelo 3D del mediano icosaedro triámbico

Modelo 3D del gran icosaedro triámbico

Los 12 vértices de su envolvente convexa coinciden con la disposición de vértices de un icosaedro.

Gran icosaedro triámbico

El gran icosaedro triambico es el dual del gran icosidodecaedro ditrigonal, U47. Tiene 20 caras hexagonales invertidas (triambos), con una forma similar a la de una hélice de tres palas. Tiene 32 vértices (12 puntos exteriores y 20 ocultos en el interior), y un total 60 aristas.

Las caras tienen ángulos alternos de ${\displaystyle \arccos({\frac {1}{4}})-60^{\circ }\approx 15.522\,487\,814\,07^{\circ }}$ y ${\displaystyle \arccos(-{\frac {1}{4}})\approx 104.477\,512\,185\,93^{\circ }}$. La suma de los seis ángulos es ${\displaystyle 360^{\circ }}$, y no ${\displaystyle 720^{\circ }}$ como cabría esperar de un hexágono, porque el polígono gira alrededor de su centro dos veces. Su ángulo diedro es igual a ${\displaystyle \arccos(-{\frac {1}{3}})\approx 109.471\,220\,634\,49}$.

Mediano icosaedro triámbico

El mediano icosaedro triambico es el dual del dodecadodecaedro ditrigonal, U41. Tiene 20 caras, cada una de las cuales es de forma cóncava simple isotoxal hexagonal o triámbica. Tiene 24 vértices (12 puntos exteriores y 12 ocultos en el interior), y un total de 60 aristas.

Las caras tienen ángulos alternos de ${\displaystyle \arccos({\frac {1}{4}})-60^{\circ }\approx 15.522\,487\,814\,07^{\circ }}$ y ${\displaystyle \arccos(-{\frac {1}{4}})+120^{\circ }\approx 224.477\,512\,185\,93^{\circ }}$. Su ángulo diedro es igual a ${\displaystyle \arccos(-{\frac {1}{3}})\approx 109.471\,220\,634\,49}$.

A diferencia del gran icosaedro triámbico, el mediano icosaedro triámbico es topológicamente un poliedro regular de índice dos.^[1] Al distorsionar las formas triámbicas en hexágonos regulares, se obtiene como espacio cociente un teselado hexagonal de orden-5 hiperbólico:

Como una estelación

Es el modelo 34 de Magnus Wenninger, en cuya relación de poliedros figura como la novena estelación del icosaedro

Véase también

• Triaquisicosaedro
• Pequeño icosaedro triámbico
• Mediano triacontaedro rómbico

Referencias

1. The Regular Polyhedra (of index two) Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine., David A. Richter

Bibliografía

• Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9.
• Wenninger, Magnus (1983). Dual Models. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54325-5. MR 730208.
• H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, (3ra edición, 1973), edición de Dover, ISBN 0-486-61480-8, 3.6 6.2 Estelando los sólidos platónicos, pp.96-104

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Great triambic icosahedron». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric W. «Medial triambic icosahedron». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• gratrix.net Poliedros uniformes y duales
• bulatov.org Icosaedro triámbico medial Gran icosaedro triámbico

Estelaciones notables del icosaedro
Regulares	Duales uniformes			Compuestos regulares			Estrella regular	Otros
Icosaedro (convexo)	Pequeño icosaedro triámbico	Mediano icosaedro triámbico	Gran icosaedro triámbico	Compuesto de cinco octaedros	Compuesto de cinco tetraedros	Compuesto de diez tetraedros	Gran icosaedro	Dodecaedro excavado	Estelación final
El proceso de estelación en el icosaedro crea una serie de poliedros y compuestos relacionados con simetría icosaédrica

• Datos: Q108326561