Mediano triacontaedro rómbico

En geometría, el mediano triacontaedro rómbico (o triacontaedro rómbico medio) es un poliedro isoedral no convexo. Es una estelación del triacontaedro rómbico, y también puede llamarse pequeño triacontaedro estrellado. Su dual es el dodecadodecaedro.^[1]

Mediano triacontaedro rómbico
Modelo 3D
Tipo	poliedro, poliedro no convexo y estelaciones del triacontaedro rómbico
Dual	dodecadodecaedro
Elementos
Vértices	24
Aristas	60
Caras	30
Más información
MathWorld	MedialRhombicTriacontahedron
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Propiedades

Forma de las caras

Sus 24 vértices están todos en los 12 ejes con simetría quíntuple (es decir, cada uno corresponde a uno de los 12 vértices del icosaedro regular). Esto significa que en cada eje hay un vértice interno y otro externo. La relación entre los radios de los vértices externos e internos es de ${\displaystyle \varphi \approx 1.618}$, el número áureo.

Tiene 30 caras rómbicas que se cruzan, que corresponden a las caras del triacontaedro rómbico convexo. Las diagonales en los rombos del sólido convexo tienen una razón de 1 a ${\displaystyle \varphi }$. El sólido se puede generar a partir del convexo estirando la diagonal más corta desde la longitud 1 hasta ${\displaystyle \varphi ^{3}\approx 4.236}$. Entonces, la razón de las diagonales del rombo en el sólido medio es de 1 a ${\displaystyle \varphi ^{2}\approx 2.618}$.

Este sólido es al compuesto de pequeño dodecaedro estrellado y gran dodecaedro lo que la envolvente convexa es al compuesto de dodecaedro e icosaedro: las aristas cruzadas en el politopo compuesto son las diagonales de los rombos.

Las caras tienen dos ángulos de ${\displaystyle \arccos({\frac {1}{3}}{\sqrt {5}})\approx 41.810\,314\,895\,78^{\circ }}$ y dos de ${\displaystyle \arccos(-{\frac {1}{3}}{\sqrt {5}})\approx 138.189\,685\,104\,22^{\circ }}$. Su ángulo diedro es igual a ${\displaystyle \arccos(-{\frac {1}{2}})=120^{\circ }}$. Parte de cada rombo se encuentra dentro del sólido, por lo que es invisible en los modelos sólidos.

Triacontaedro convexo y mediano triacontaedro rómbico (ambos mostrados con simetría tetraédrica); y a la derecha el politopo compuesto de los sólidos de Kepler-Poinsot

Proyecciones ortográficas de los ejes de 2, 3 y 5 lóbulos de simetría

Teselado hiperbólico relacionado

Es topológicamente equivalente a un espacio cociente del teselado cuadrado de orden-5 hiperbólico, distorsionando los rombos en cuadrados. Como tal, topológicamente es un poliedro regular de índice dos.^[2]

Debe tenerse en cuenta que el teselado cuadrado de orden 5 es dual al teselado pentagonal de orden-4, y un espacio cociente del mosaico pentagonal de orden 4 es topológicamente equivalente al dual del mediano triacontaedro rómbico, el dodecadodecaedro.

Véase también

• Gran triacontaedro rómbico
• Gran icosaedro triámbico

Referencias

1. Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 730208.
2. The Regular Polyhedra (of index two) Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine., David A. Richter

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Medial Rhombic Triacontahedron». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• David I. McCooey: animación y medidas
• Poliedros uniformes y duales

• Datos: Q15932244
• Multimedia: Medial rhombic triacontahedron / Q15932244