Solido de Johnson

En geometrio, solido de Johnson estas severe konveksa pluredro, ĉiu edro de kiu estas regula plurlatero kaj kiu ne estas platona solido, arĥimeda solido, prismo, aŭ kontraŭprismo. Ne nepras ke ĉiu edro estas la sama plurlatero, aŭ ke la samaj plurlateroj kuniĝas ĉirkaŭ ĉiu vertico. Simpla ekzemplo de solido de Johnson estas la kvarangula piramido kun kvadrato kiel bazo kaj egallatera trianguloj kiel flankoj (J₁), Ĝi havas unu kvadratan edron kaj kvar triangulajn edrojn.

Ĉi tiu pluredro kun 24 kvadrataj edroj ne estas solido de Johnson ĉar ĝi ne estas severe konveksa.

Severe konveksa pluredro estas konveksa pluredro ĉe kiu ĉiuj duedraj anguloj estas malpli ol 180 gradoj.

Kiel en ĉiu severe konveksa solido, almenaŭ tri edroj devas kunigi je ĉiu vertico, kaj la sumo de iliaj anguloj devas esti malpli ol 360 gradoj. Pro tio ke regula plurlatero havas anguloj de almenaŭ 60 gradoj, do maksimume kvin edroj kuniĝas je iu ajn vertico. La kvinlatera piramido (J₂) estas ekzemplo kiu reale havas ordo-5 verticon.

Kvankam ĉi tio ne estas evidenta limigo, ĉiu edro de Solido de Johnson havas 3, 4, 5, 6, 8, aŭ 10 laterojn.

En 1966, Norman Johnson publikigis liston kiu inkluzivis ĉiujn 92 pluredrojn, kaj donis al ili nomojn kaj numerojn. Li ne pruvis ke ĉi tio estas la tuta aro, sed li faris ĉi tiun konjekton. Victor Zalgaller en 1969 pruvis ĉi tiun konjekton, do la listo de Johnson estas plena.

Inter solidoj de Johnson, la plilongigita kvadrata turnodukupolo (J₃₇) estas unika en estado loke vertico-uniforma: estas kvar edroj je ĉiu vertico, kaj ilia ordigo estas ĉiam la sama: tri kvadratoj kaj unu triangulo. Kvankam ĝi ne estas malloke vertico-uniforma, la pluredro estas malsama se rigardi pli malproksimen de iuj malsamaj verticoj

Nomoj

La plejparto de la solidoj de Johnson povas esti konstruita surbaze de kelkaj piramidoj, kupoloj, kaj rotondoj, platonaj solidoj, arĥimedaj solidoj, prismoj, kaj kontraŭprismoj.

• Du- signifas ke du kopioj de la solido estas kunigitaj bazo al bazo. Por kupoloj kaj rotondoj, ili povas esti kunigitaj tiel ke kune estas la samaj edroj (orto-) aŭ malsamaj edroj (turno-). Do, okedro estas kvadrata dupiramido, kubokedro estas triangula turnodukupolo, dudek-dekduedro estas kvinlatera turnodurotondo.
• Plilongigita signifas ke prismo estas aldonita al bazo de la pluredro aŭ inter bazoj de la pluredroj. Rombokub-okedro do estas plilongigita kvadrata ortodukupolo.
• Turnoplilongigita signifas ke kontraŭprismo estas aldonita al bazo de la pluredro aŭ inter bazoj de la pluredroj. Dudekedro do estas turnoplilongigita kvinlatera dupiramido.
• Pligrandigita signifas ke piramido aŭ kupolo havas estas aldonita al edro de la pluredro. En okazo de prismo, piramido estas aldonata al flanko de la prismo. Pluredro en kiu piramido estas aldonita al bazo de la prismo estas konsiderata kiel plilongigita piramido.
• Malkreskigita signifas ke piramido aŭ kupolo havas estas forprenita de la pluredro.
• Turnita signifas ke kupolo sur la solido estas turnita tiel ke malsamaj lateroj estas kunigitaj, kiel ortodukupolo povas esti farita el turnodukupolo kaj male.

La lastaj tri operacioj - pligrandigo, malkreskigo kaj turno - povas esti plenumitaj kelkfoje en diversaj flankoj de la pluredro. Estas aldonata ero du- aŭ tri- al la nomo de la operacio por indiki ke ĝi havas estas plenumata dufoje aŭ trifoje respektive. En iuj pluredroj ero du- ne priskribas senvariante kie estas farataj la operacioj, tiam aldonaj vorteroj estas aldonataj. En iuj pluredroj estas kelkaj variantoj de faro de la operacioj, sed nur unu varianto donas konveksan pluredron kiel rezulto; tiam la pliprecizigo ne estas farata.

Listo de pluredroj

Kolumnoj:

• J_n - valoro n por simbolo J_n
• Verticoj - kvanto de verticoj
• Lateroj - kvanto de lateroj
• Edroj - tuta kvanto de edroj
• 3-l - kvanto de triangulaj edroj
• 4-l - kvanto de kvadrataj edroj
• 5-l - kvanto de kvinlateraj edroj
• 6-l - kvanto de seslateraj edroj
• 8-l - kvanto de oklateraj edroj
• 10-l - kvanto de deklateraj edroj
• Simetrio - geometria simetria grupo

Prismsimilaĵoj kaj rotondoj

• Piramidoj
• Kupoloj
• Kvinlatera rotondo

Jn	Nomo	Bildo	Verticoj	Lateroj	Edroj	3-l	4-l	5-l	6-l	8-l	10-l	Simetrio
1	Kvadrata piramido		5	8	5	4	1	0	0	0	0	C4v
2	Kvinlatera piramido		6	10	6	5	0	1	0	0	0	C5v
3	Triangula kupolo		9	15	8	4	3	0	1	0	0	C3v
4	Kvadrata kupolo		12	20	10	4	5	0	0	1	0	C4v
5	Kvinlatera kupolo		15	25	12	5	5	1	0	0	1	C5v
6	Kvinlatera rotondo		20	35	17	10	0	6	0	0	1	C5v

Modifitaj piramidoj kaj dupiramidoj

• Plilongigitaj piramidoj
• Turnoplilongigitaj piramidoj
• Dupiramidoj
• Plilongigitaj dupiramidoj
• Turnoplilongigitaj dupiramidoj

Jn	Nomo	Bildo	Verticoj	Lateroj	Edroj	3-l	4-l	5-l	6-l	8-l	10-l	Simetrio
7	Plilongigita triangula piramido		7	12	7	4	3	0	0	0	0	C3v
8	Plilongigita kvadrata piramido (pligrandigita kubo)		9	16	9	4	5	0	0	0	0	C4v
9	Plilongigita kvinlatera piramido		11	20	11	5	5	1	0	0	0	C5v
10	Turnoplilongigita kvadrata piramido		9	20	13	12	1	0	0	0	0	C4v
11	Turnoplilongigita kvinlatera piramido (malkreskigita dudekedro)		11	25	16	15	0	1	0	0	0	C5v
12	Triangula dupiramido		5	9	6	6	0	0	0	0	0	D3h
13	Kvinlatera dupiramido		7	15	10	10	0	0	0	0	0	D5h
14	Plilongigita triangula dupiramido		8	15	9	6	3	0	0	0	0	D3h
15	Plilongigita kvadrata dupiramido (dupligrandigita kubo)		10	20	12	8	4	0	0	0	0	D4h
16	Plilongigita kvinlatera dupiramido		12	25	15	10	5	0	0	0	0	D5h
17	Turnoplilongigita kvadrata dupiramido		10	24	16	16	0	0	0	0	0	D4d

Modifitaj kupoloj kaj rotondoj

• Plilongigitaj kaj turnoplilongigitaj kupoloj kaj rotondoj
• Simplaj, plilongigitaj kaj turnoplilongigitaj dukupolo, durotondoj, kupolorotondoj

Jn	Nomo	Bildo	Verticoj	Lateroj	Edroj	3-l	4-l	5-l	6-l	8-l	10-l	Simetrio
18	Plilongigita triangula kupolo		15	27	14	4	9	0	1	0	0	C3v
19	Plilongigita kvadrata kupolo (malkreskigita rombokub-okedro)		20	36	18	4	13	0	0	1	0	C4v
20	Plilongigita kvinlatera kupolo		25	45	22	5	15	1	0	0	1	C5v
21	Plilongigita kvinlatera rotondo		30	55	27	10	10	6	0	0	1	C5v
22	Turnoplilongigita triangula kupolo		15	33	20	16	3	0	1	0	0	C3v
23	Turnoplilongigita kvadrata kupolo		20	44	26	20	5	0	0	1	0	C4v
24	Turnoplilongigita kvinlatera kupolo		25	55	32	25	5	1	0	0	1	C5v
25	Turnoplilongigita kvinlatera rotondo		30	65	37	30	0	6	0	0	1	C5v
26	Turnodufirsto		8	14	8	4	4	0	0	0	0	D2d
27	Triangula ortodukupolo (turnita kubokedro)		12	24	14	8	6	0	0	0	0	D3h
28	Kvadrata ortodukupolo		16	32	18	8	10	0	0	0	0	D4h
29	Kvadrata turnodukupolo		16	32	18	8	10	0	0	0	0	D4d
30	Kvinlatera ortodukupolo		20	40	22	10	10	2	0	0	0	D5h
31	Kvinlatera turnodukupolo		20	40	22	10	10	2	0	0	0	D5d
32	Kvinlatera ortokupolorotondo		25	50	27	15	5	7	0	0	0	C5v
33	Kvinlatera turnokupolorotondo		25	50	27	15	5	7	0	0	0	C5v
34	Kvinlatera ortodurotondo (turnita dudek-dekduedro)		30	60	32	20	0	12	0	0	0	D5h
35	Plilongigita triangula ortodukupolo		18	36	20	8	12	0	0	0	0	D3h
36	Plilongigita triangula turnodukupolo		18	36	20	8	12	0	0	0	0	D3d
37	Plilongigita kvadrata turnodukupolo (turnita rombokub-okedro)		24	48	26	8	18	0	0	0	0	D4d
38	Plilongigita kvinlatera ortodukupolo		30	60	32	10	20	2	0	0	0	D5h
39	Plilongigita kvinlatera turnodukupolo		30	60	32	10	20	2	0	0	0	D5d
40	Plilongigita kvinlatera ortokupolorotondo		35	70	37	15	15	7	0	0	0	C5v
41	Plilongigita kvinlatera turnokupolorotondo		35	70	37	15	15	7	0	0	0	C5v
42	Plilongigita kvinlatera ortodurotondo		40	80	42	20	10	12	0	0	0	D5h
43	Plilongigita kvinlatera turnodurotondo		40	80	42	20	10	12	0	0	0	D5d
44	Turnoplilongigita triangula dukupolo (nememspegulsimetria)		18	42	26	20	6	0	0	0	0	D3
45	Turnoplilongigita kvadrata dukupolo (nememspegulsimetria)		24	56	34	24	10	0	0	0	0	D4
46	Turnoplilongigita kvinlatera dukupolo (nememspegulsimetria)		30	70	42	30	10	2	0	0	0	D5
47	Turnoplilongigita kvinlatera kupolorotondo (nememspegulsimetria)		35	80	47	35	5	7	0	0	0	C5
48	Turnoplilongigita kvinlatera durotondo (nememspegulsimetria)		40	90	52	40	0	12	0	0	0	D5

Pligrandigitaj prismoj

Jn	Nomo	Bildo	Verticoj	Lateroj	Edroj	3-l	4-l	5-l	6-l	8-l	10-l	Simetrio
49	Pligrandigita triangula prismo		7	13	8	6	2	0	0	0	0	C2v
50	Dupligrandigita triangula prismo		8	17	11	10	1	0	0	0	0	C2v
51	Tripligrandigita triangula prismo		9	21	14	14	0	0	0	0	0	D3h
52	Pligrandigita kvinlatera prismo		11	19	10	4	4	2	0	0	0	C2v
53	Dupligrandigita kvinlatera prismo		12	23	13	8	3	2	0	0	0	C2v
54	Pligrandigita seslatera prismo		13	22	11	4	5	0	2	0	0	C2v
55	Tra-du-dupligrandigita seslatera prismo		14	26	14	8	4	0	2	0	0	D2h
56	Tra-unu-dupligrandigita seslatera prismo		14	26	14	8	4	0	2	0	0	C2v
57	Tripligrandigita seslatera prismo		15	30	17	12	3	0	2	0	0	D3h

Modifitaj platonaj solidoj

• Pligrandigitaj dekduedroj
• Malkreskigitaj dudekedroj

Jn	Nomo	Bildo	Verticoj	Lateroj	Edroj	3-l	4-l	5-l	6-l	8-l	10-l	Simetrio
58	Pligrandigita dekduedro		21	35	16	5	0	11	0	0	0	C5v
59	Tra-du-dupligrandigita dekduedro		22	40	20	10	0	10	0	0	0	D5d
60	Tra-unu-dupligrandigita dekduedro		22	40	20	10	0	10	0	0	0	C2v
61	Tripligrandigita dekduedro		23	45	24	15	0	9	0	0	0	C3v
62	Najbarodumalkreskigita dudekedro		10	20	12	10	0	2	0	0	0	C2v
63	Trimalkreskigita dudekedro		9	15	8	5	0	3	0	0	0	C3v
64	Pligrandigita trimalkreskigita dudekedro		10	18	10	7	0	3	0	0	0	C3v

Modifitaj arĥimedaj solidoj

• Pligrandigita senpintigita kvaredro
• Pligrandigitaj senpintigitaj kuboj
• Pligrandigitaj senpintigitaj dekduedroj
• Modifitaj rombo-dudek-dekduedroj

Jn	Nomo	Bildo	Verticoj	Lateroj	Edroj	3-l	4-l	5-l	6-l	8-l	10-l	Simetrio
65	Pligrandigita senpintigita kvaredro		15	27	14	8	3	0	3	0	0	C3v
66	Pligrandigita senpintigita kubo		28	48	22	12	5	0	0	5	0	C4v
67	Dupligrandigita senpintigita kubo		32	60	30	16	10	0	0	4	0	D4h
68	Pligrandigita senpintigita dekduedro		65	105	42	25	5	1	0	0	11	C5v
69	Tra-du-dupligrandigita senpintigita dekduedro		70	120	52	30	10	2	0	0	10	D5d
70	Tra-unu-dupligrandigita senpintigita dekduedro		70	120	52	30	10	2	0	0	10	C2v
71	Tripligrandigita senpintigita dekduedro		75	135	62	35	15	3	0	0	9	C3v
72	Turnita rombo-dudek-dekduedro		60	120	62	20	30	12	0	0	0	C5v
73	Paraleloduturnita rombo-dudek-dekduedro		60	120	62	20	30	12	0	0	0	D5d
74	Najbaroduturnita rombo-dudek-dekduedro		60	120	62	20	30	12	0	0	0	C2v
75	Triturnita rombo-dudek-dekduedro		60	120	62	20	30	12	0	0	0	C3v
76	Malkreskigita rombo-dudek-dekduedro		55	105	52	15	25	11	0	0	1	C5v
77	Paraleloturnita malkreskigita rombo-dudek-dekduedro		55	105	52	15	25	11	0	0	1	C5v
78	Najbaroturnita malkreskigita rombo-dudek-dekduedro		55	105	52	15	25	11	0	0	1	Cs
79	Duturnita malkreskigita rombo-dudek-dekduedro		55	105	52	15	25	11	0	0	1	Cs
80	Paralelodumalkreskigita rombo-dudek-dekduedro		50	90	42	10	20	10	0	0	2	D5d
81	Najbarodumalkreskigita rombo-dudek-dekduedro		50	90	42	10	20	10	0	0	2	C2v
82	Turnita dumalkreskigita rombo-dudek-dekduedro		50	90	42	10	20	10	0	0	2	C2v
83	Trimalkreskigita rombo-dudek-dekduedro		45	75	32	5	15	9	0	0	3	C3v

Aliaj

Jn	Nomo	Bildo	Verticoj	Lateroj	Edroj	3-l	4-l	5-l	6-l	8-l	10-l	Simetrio
84	Riproĉa dukojnosimilaĵo		8	18	12	12	0	0	0	0	0	D2d
85	Riproĉa kvadrata kontraŭprismo		16	40	26	24	2	0	0	0	0	D4d
86	Kojnokorono		10	22	14	12	2	0	0	0	0	C2v
87	Pligrandigita kojnokorono		11	26	17	16	1	0	0	0	0	Cs
88	Kojnograndokorono		12	28	18	16	2	0	0	0	0	C2v
89	J89		14	33	21	18	3	0	0	0	0	C2v
90	J90		16	38	24	20	4	0	0	0	0	D2d
91	J91		14	26	14	8	2	4	0	0	0	D2h
92	J92		18	36	20	13	3	3	1	0	0	C3v

Vidu ankaŭ

• Proksimaj nesukcesaj solidoj de Johnson

Referencoj

• Norman W. Johnson, "Konveksaj Solidoj kun Regulaj Edroj", Kanada Ĵurnalo de Matematiko, 18, 1966, paĝoj 169–200. Enhavas la originalan numeradon de la 92 solidoj kaj la konjekton ke ne estas aliaj.
• Victor A. Zalgaller. (1969) Convex Polyhedra with Regular Faces - Konveksaj Pluredroj kun Regulaj Edroj. Consultants Bureau. Ne ISBN. La unua pruvo ke estas nur 92 solidoj de Johnson.

Eksteraj ligiloj

• Kategorio Solido de Johnson en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)

• Papero modeloj de pluredroj multaj ligoj
• Solidoj de Johnson de Georgo W. Hart.
• Bildoj de ĉiuj 92 solidoj Arkivigite je 2013-06-01 per la retarkivo Wayback Machine
• MathWorld
• VRML modeloj Arkivigite je 2007-10-12 per la retarkivo Wayback Machine
• Kleriga ludila sistemo por farante Solidoj de Johnson kaj aliaj pluredroj Arkivigite je 2021-01-26 per la retarkivo Wayback Machine
• VRML modeloj de solidoj de Johnson de Vladimir Bulatov