Regula plurlatero

En geometrio, regula plurlatero estas plurlatero kiu estas egalangula (ĉiuj anguloj estas kongrua) kaj egallatera (ĉiuj lateroj havas la saman longon).

Aro de konveksaj regulaj p-lateroj
Regulaj plurlateroj
Lateroj	p
Verticoj	p
Simbolo de Schläfli	{p}
Figuro de Coxeter-Dynkin
Geometria simetria grupo	Duedra simetrio Dp
Duala hiperpluredro	Mem-duala
Areo	${\displaystyle A={\frac {pt^{2}}{4\tan(\pi /p)}}}$ (t estas la latera longo )
Ena angulo	(1-2/p)·180°

Regula plurlatero estas 2-dimensia regula hiperpluredro.

Regulaj konveksaj plurlateroj

Ĉiuj regulaj simplaj plurlateroj (simpla plurlatero estas unu kiu ne sekcas sin ie) estas konveksaj. Ĉi tiuj havantaj la saman kvanton de flankoj estas ankaŭ simila.

n-flankita konveksa regula plurlatero estas priskribata per ĝia simbolo de Schläfli {n}.

• Regula dulatero, degenera, duopa streko {2}
• Egallatera triangulo {3}
• Kvadrato {4}
• Regula kvinlatero {5}
• Regula seslatero {6}
• Regula seplatero {7}
• Regula oklatero {8}
• Regula naŭlatero {9}
• Regula deklatero {10}
• Regula dekunulatero {11}
• Regula dekdulatero {12}

En certaj ĉirkaŭtekstaj ĉiuj konsiderataj plurlateroj estas regula. Tiam oni ofte ne skribas la vorton "regula". Ekzemple ĉiuj edroj de uniformaj pluredroj estas regulaj (laŭ difino de unuforma pluredro).

Propraĵoj

Ĉiu angulo de regula n-latero estas ${\displaystyle (1-{\frac {2}{n}})\times 180}$ (aŭ egale de ${\displaystyle (n-2)\times {\frac {180}{n}}}$) gradoj aŭ ${\displaystyle {\frac {(n-2)\pi }{n}}}$ radianoj aŭ ${\displaystyle {\frac {(n-2)}{2n}}}$ turnoj.

Ĉiuj verticoj de regula plurlatero kuŝas en komuna cirklo, kiu estas la ĉirkaŭskribita cirklo.

Regula n-latero povas esti konstruita per cirkelo kaj liniilo se kaj nur se la neparaj primaj faktoroj de n estas diversaj primoj de Fermat. Vidu en konstruebla plurlatero.

Por n>2 la kvanto de diagonaloj estas ${\displaystyle {\frac {n(n-3)}{2}}}$, kio estas 0, 2, 5, 9, ... Ili dividas la plurlateron en 1, 4, 11, 24, ... pecojn.

Areo

Apotemo de seslatero

La areo de regula n-flankita plurlatero estas

${\displaystyle A={\frac {nt^{2}}{4tan({\frac {\pi }{n}})}}}$

kie t estas la longo de la latero.

Ankaŭ, la areo egalas al duono la perimetro multiplikita per la longo de la apotemo a, (apotemo estas streko de la centro de la plurlatero, perpendikularo al latero). Do A = a p/2 = a n t/2, ĉar la longo de la perimetro estas n t. Do

${\displaystyle A=t^{2}{\frac {n}{4}}\cot(\pi /n)}$

Lateroj	Nomo	Preciza areo je unuoj t2	Proksimuma areo je unuoj t2
3	Egallatera triangulo	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}}$	0.433
4	Kvadrato	1	1.000
5	Regula kvinlatero	${\displaystyle {\frac {1}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}$	1.720
6	Regula seslatero	${\displaystyle {\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}}$	2.598
7	Regula seplatero		3.634
8	Regula oklatero	${\displaystyle 2+2{\sqrt {2}}}$	4.828
9	Regula naŭlatero		6.182
10	Regula deklatero	${\displaystyle {\frac {5}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$	7.694
11	Regula dekunulatero		9.366
12	Regula dekdulatero	${\displaystyle 6+3{\sqrt {3}}}$	11.196
13			13.186
14			15.335
15			17.642
16	Regula dekseslatero		20.109
17	Regula dekseplatero		22.735
18			25.521
19			28.465
20	Regula dudeklatero		31.569
100			795.513
1000			79577.210
10000			7957746.893

La kvanto je kiu areo de konveksa regula plurlatero estas malpli granda ol areo de cirklo kun la sama perimetro, estas des pli malgranda ju pli granda estas n, kun la limigo (π/12)t², aŭ proksimume 0,26t².

Regulaj stelaj plurlateroj

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Stelo (figuro).

Stelokvinlatero {5/2}

Ne-konveksa regula plurlatero estas nomata kiel stelo. La plej komuna ekzemplo estas la stelokvinlatero, kiu havas la samaj verticoj kiel kvinlatero, sed trakonektas alternaj verticoj.

Por n-flankita stelo, la simbolo de Schläfli estas de formo {n/m}. La valoro m montras al kiu vertico estas latero de iu donita vertico, se kalkuli ilin laŭ ordo laŭ la ĉirkaŭskribita cirklo. m-1 verticoj estas preterpasataj. Devas esti m<n/2, aliokaze rezultiĝas la sama plurlatero kiel {n/(n-m)}, sed ĉirkaŭirata en la mala direkto (ĉi tio povas havi specialan signifon, vidu ekzemple en vertica konfiguro).

Se m estas 2, ekzemple, do ĉiu dua punkto estas kunigita. Se m estas 3, do ĉiu tria punkto estas kunigita. La rando de la plurlatero faras m turnojn ĉirkaŭ la centro.

La unuaj stelaj plurlateroj:

• Stelokvinlatero - {5/2}
• Steloseplatero - {7/2} kaj {7/3}
• Stelooklatero - {8/3}
• Stelonaŭlatero - {9/2} kaj {9/4}
• Stelodeklatero - {10/3}

Simetrio

La geometria simetria grupo de n-flankita regula plurlatero estas duedra grupo D_n de ordo 2n. Ĝi konsistas el la turnadoj en C_n (kiu estas turna simetrio de ordo n), kaj ankaŭ el reflektaj simetrioj je n aksoj kiuj trapasas la centro. Se n estas para do duono de ĉi tiuj aksoj trapasas du kontraŭajn verticojn, kaj la alia duono trapasas mezpunktojn de kontraŭaj lateroj. Se n estas nepara do ĉiuj aksoj trapasas verticon kaj mezpunkto de la kontraŭa latero.

La geometria simetria grupo ne dependas de tio ĉu la plurlatero estas konveksa.

Regulaj plurlateroj kiel edroj de pluredroj

Specoj de pluredroj, kiuj konsistas nur el regulaj plurlateroj, estas:

• Unuforma pluredro - vertico-transitiva, sed ne nepre konveksa
  • Regula pluredro
• Solido de Johnson - konveksa, sed ne vertico-transitiva.

Kaj ekzistas ankaŭ ne konveksaj ne vertico-transitivaj pluredroj konsistantaj nur el regulaj plurlateroj.

Vidu ankaŭ

• Malfiniolatero - plurlatero kun malfinie multaj lateroj povas ankaŭ esti regula, {∞}.
• Listo de regulaj hiperpluredroj
• Listo de uniformaj ebenaj kahelaroj
• Platona solido

Eksteraj ligiloj

• Kategorio Regula plurlatero en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)

• Eric W. Weisstein, Regula plurlatero en MathWorld.
• Regulaj plurlateroj kun interaga animacio
• Areo de regula plurlatero tri malsamaj formuloj, kun interaga animacio
• Konstruoj de regulaj plurlateroj fare de artistoj de Renaskiĝo