Konveksa aro

En eŭklida spaco, objekto estas konveksa se por ĉiu paro de punktoj en la objekto, ankaŭ ĉiu punkto en la rekta segmento kiu kunigas la unuaj du punktojn estas en la objekto. Objekto kiu ne estas konveksa estas nomata kiel ne konveksa aŭ konkava.

Funkcio (blua) estas konveksa se kaj nur se la regiono pli supre ĝia grafikaĵo (verda) estas konveksa aro.

Konveksa aro.

Nekonveksa (konkava) aro.

Estu C aro en reela aŭ kompleksa vektora spaco. C estas konveksa se por ĉiuj x kaj y en C kaj ĉiuj t en la intervalo [0,1], la punkto

(1 − t) x + t y

estas en C. En aliaj vortoj, ĉiu punkto sur la streko konektanta punktojn x kaj y estas en C. Ĉi tio implicas ke konveksa aro estas koneksa.

Aro C estas absolute konveksa se ĝi estas konveksa kaj ekvilibra.

La konveksaj subaroj de R (la aro de reelaj nombroj) estas simple intervaloj de R.

Ekzemploj de konveksaj subaroj de eŭklida 2-spaco estas triangulo kaj la 2-dimensia unuobla pilko. Ekzemploj de nekonveksaj aroj subaroj de eŭklida 3-spaco estas steloj.

Ekzemploj de konveksaj subaroj de eŭklida 3-spaco estas la arĥimedaj solidoj, la platonaj solidoj kaj la 3-dimensia unuobla pilko. Ekzemploj de nekonveksaj aroj subaroj de eŭklida 3-spaco estas la pluredroj de Keplero-Poinsot.

Propraĵoj

Se ${\displaystyle S}$ estas konveksa aro, por (ĉiu, iu) ${\displaystyle u_{1},u_{2},\ldots ,u_{r}}$ en ${\displaystyle S}$, kaj ĉiuj nenegativaj nombroj ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}}$ tiaj ke ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{r}=1}$, la vektoro ${\displaystyle \sum _{k=1}^{r}\lambda _{k}u_{k}}$ estas en ${\displaystyle S}$. Vektoro de ĉi tiu speco estas sciata kiel konveksa kombinaĵo de ${\displaystyle u_{1},u_{2},\ldots ,u_{r}}$.

La komunaĵo de ĉiu kolekto de konveksaj aroj estas konveksa, do la konveksa subaroj de reela aŭ komplekso vektora spaco formas plenan kradon. Ĉi tio ankaŭ signifas ke por ĉiu subaro A de la vektora spaco ekzistas la plej malgranda konveksa aro kiu enhavas na A. Ĉi tiu enhavanta aro estas nomata kiel la konveksa koverto de A, kaj la koverto estas komunaĵo de ĉiuj konveksaj aroj enhavantaj ne A.

Fermitaj konveksaj aroj povas esti priskribitaj kiel komunaĵoj de fermitaj duonspacoj (fermita duonspaco estas aro de punktoj en spaco, ĉiu el kiuj situas en certa hiperebeno aŭ je unu certa flanko de ĉi tiu hiperebeno). Klaras ke ĉi tia komunaĵo de duonspacoj estas konveksa, kaj fermiĝi, ĉar eroj de la kombinaĵo estas konversaj kaj fermitaj. Por pruvi tion ke ĉiu konveksa aro povas esti prezentita kiel ĉi tia komunaĵo, bezonatas la apoga hiperebena teoremo en tiu formo ke por ĉiu donita fermita konveksa aro C kaj punkto P ekster ĝi, ekzistas fermita duonspaco H tia ke ĝi enhavas ne C kaj ne enhavas na P. La apoga hiperebena teoremo estas speciala okazo de la Hahn-Banaĥa teoremo de funkcionala analitiko.

Stelo-konveksaj aroj

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Stela domajno.

Estu C reela aŭ kompleksa vektora spaco. C estas stelo-konveksa se ekzistas ${\displaystyle x_{0}}$ en C tia ke la rekta streko de ${\displaystyle x_{0}}$ al ĉiu punkto y en C estas enhavita en C. De ĉi tie konveksa aro estas ĉiam stelo-konveksa sed stelo-konveksa objekto estas ne ĉiam konveksa.

En neeŭklida geometrio

La difino de konveksa aro kaj konveksa koverto etendas al neeŭklida geometrio per difino de geodezie konveksa aro kiel tiu kiu) enhavas la geodeziajn strekojn kunigantajn ĉiujn du punktojn en la aro.

Ĝeneraligita konvekseco

La nocio de konvekseco en la eŭklida spaco povas esti ĝeneraligita per modifo de la difino en iu aspekto. La komuna nomo "ĝeneraligita konvekseco" estas uzata, ĉar la rezultantaj objektoj havas certajn propraĵojn de konveksaj aroj.

Perpendikulara konvekseco

Ekzemplo de ĝeneraligita konvekseco estas perpendikulara konvekseco aŭ orta konvekseco.

Aro S en la eŭklida spaco estas perpendikulare konveksa aŭ orte konveksa, se ĉiu streko paralelo al iu el la koordinataj aksoj konektanta du punktoj de S kuŝas entute en S. Eblas pruvi ke komunaĵo de ĉiu kolekto de orte konveksaj aroj estas orte konveksa. Iuj aliaj propraĵoj de konveksaj aroj estas validaj same bone.

Abstrakta (aksioma) konvekseco

La nocio de konvekseco povas esti ĝeneraligita al aliaj objektoj, se certaj propraĵoj de konvekseco estas elektitaj kiel aksiomoj.

Donita aro X, konvekseco super X estas kolekto ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ de subaroj de X kontentigantaj jenajn aksiomojn:

1. La malplena aro kaj X estas en ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
2. La komunaĵo de ĉiu subkolekto de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ estas en ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.
3. La unio de ĉeno (kun respekto al la inkluziveca rilato) de eroj de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ estas en ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

La eroj de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ estas nomataj kiel konveksaj aroj kaj la paro (X, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$) estas nomata kiel konvekseca spaco. Por la ordinara konvekseco, la unuaj du aksiomoj veras, kaj la tria unu estas bagatela.

Ekzistas ankaŭ la alternativa difino de abstrakta konvekseco, pli konvena al diskreta geometrio.

Vidu ankaŭ

• Pseŭdokonvekseco
• Lenso (optiko) - pri konveksaj lensoj
• Ekvilibra aro

Eksteraj ligiloj

• Kategorio Konveksa aro en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)

• Konveksaj aroj kaj funkcioj Arkivigite je 2007-07-19 per la retarkivo Wayback Machine, far Christer O. Kiselman, 1991.

Referencoj

• Rawlins G.J.E. and Wood D, "Ortho-convexity and its generalizations" - "Orto-konvekseco kaj ĝiaj ĝeneraligoj", en Computational Morphology, 137-152. Elsevier, 1988.
• Soltan, Valeriu, Enkonduko al la aksioma teorio de konvekseco, Ştiinţa, Kiŝinevo, 1984 (ruslingve).
• Himmelblau M.D. and Edgar T.E, Optimization of Chemical Processes - Optimumigo de kemiaj procezoj, 2-a redakcio, 121-151. McGraw-Hill, 2001 (internacia redakcio).