Remove ads

En matematiko, kvadrato-libera entjero estas entjero, kiu ne estas dividebla per kvadrato de primo. Ekzemple, 10 estas kvadrato-libera sed 18 ne estas, ĉar ĝi estas dividebla per 9 = 32. La plej malgrandaj kvadrato-liberaj nombroj estas

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, ...
Klasifiko de entjeroj laŭ dividebleco
Formoj de faktorado:
Primo
Komponita nombro
Pova nombro
Kvadrato-libera entjero
Aĥila nombro
Nombroj kun limigitaj sumoj de divizoroj:
Perfekta nombro
Preskaŭ perfekta nombro
Kvazaŭperfekta nombro
Multiplika perfekta nombro
Hiperperfekta nombro
Unuargumenta perfekta nombro
Duonperfekta nombro
Primitiva duonperfekta nombro
Praktika nombro
Nombroj kun multaj divizoroj:
Abunda nombro
Alte abunda nombro
Superabunda nombro
Kolose abunda nombro
Altkomponita nombro
Supera altkomponita nombro
Aliaj:
Manka nombro
Bizara nombro
Amikaj nombroj
Kompleza nombro
Societema nombro
Nura nombro
Sublima nombro
Harmondivizora nombro
Malluksa nombro
Egalcifera nombro
Ekstravaganca nombro
Vidu ankaŭ:
Divizora funkcio
Divizoro
Prima faktoro
Faktorado

Ekvivalentaj karakterizadoj de kvadrato-liberaj nombroj

La pozitiva entjero n estas kvadrato-libera, se kaj nur se en la faktorado de n, neniu primo aperas pli ol unu foje. Alivorte por ĉiu primo p kiu dividas na n, p ne dividas na n/p. Ankoraŭ alia formulaĵo: n estas kvadrato-libera se kaj nur se en ĉiu faktorado n=ab, la faktoroj a kaj b estas reciproke primaj.

La pozitiva entjero n estas kvadrato-libera, se kaj nur se μ(n) ≠ 0, kie μ estas la funkcio de Möbius.

La pozitiva entjero n estas kvadrato-libera, se kaj nur se ĉiuj komutaj grupoj de ordo n estas izomorfaj, kio validas, se kaj nur se ĉiuj el ili estas ciklaj grupoj. Ĉi tio sekvas el la klasifiko de finie generitaj komutaj grupoj.

La entjero n estas kvadrato-libera se kaj nur se la faktora ringo Z / nZ (vidu en modula aritmetiko) estas produto de kampoj. Ĉi tio sekvas el la ĉinia resta teoremo kaj la fakto, ke ringo de formo Z / kZ estas kampo, se kaj nur se k estas primo.

Por ĉiu pozitiva entjero n, la aro de ĉiuj pozitivaj divizoroj de n iĝas parta ordo se oni uzas divideblecon kiel la ordo-rilato. Ĉi tiu parta ordo estas ĉiam distribueca krado. Ĝi estas bulea algebro se kaj nur se n estas kvadrato-libera.

La radikalo de entjero estas ĉiam kvadrato-libera.

Remove ads

Distribuo de kvadrato-liberaj nombroj

Se Q(x) estas la kvanto de kvadrato-libera entjeroj inter 1 kaj x, tiam

(vidu en pi kaj granda O skribmaniero). La asimptota aŭ natura denseco de kvadrato-liberaj nombroj estas pro tio

kie ζ estas la rimana ζ funkcio.

Ankaŭ, se Q(x,n) estas la kvanto de n-povo-liberaj entjeroj inter 1 kaj x, do

Remove ads

Kodigo kiel duumaj nombroj

Se oni prezentas kvadrato-liberan nombron kiel la malfinia produto:

, kaj estas la n(th, -a) primo.

tiam oni povas preni tiuj an kaj uzi ilin kiel bitoj en duuma nombro, kio estas la kodigo:

Ekzemple, la kvadrato-libera nombro 42 havas faktoradon 2 × 3 × 7, aŭ kiel malfinia produto: 21 · 31 · 50 · 71 · 110 · 130 ·...;

Tial ekzemple nombro 42 povas esti kodita kiel la duuma vico ...001011 aŭ 11 dekuma. Notu, ke la duumaj ciferoj estas ordigitaj en la mala direkto ol en la malfinia produto.

Pro tio ke la prima faktorado de ĉiu nombro estas unika, la duuma kodanta estas unika. Kaj male? pro tio ke ĉiu pozitiva entjero havas unikan duuman prezenton ĝi povas esti ree kodigita al unika kvadrato-libera entjero.

Remove ads

Kvadrato-libera konjekto de Erdős

La centra simbolo de Newton

estas neniam kvadratolibera por n > 4. Ĉi tio estis pruvita en 1996 de Olivier Ramaré kaj Andrew Granville.

Eksteraj ligiloj

Wikiwand in your browser!

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.

Remove ads