Funkcio de Euler

En matematiko, la funkcio de Euler definiĝas jene

${\displaystyle \phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})}$

Matematikaj funkcioj
Aroj: fonta aro, argumentaro, bildaro, cela aro (suma klarigo) • malbildo
Fundamentaj funkcioj
Algebraj funkcioj: konstanta • lineara • kvadrata • polinoma • racionala • Transformo de Möbius Aliaj funkcioj: trigonometriaj • inversa trigonometria • hiperbola • eksponenta • logaritma • potenca
Specialaj funkcioj
erara • β • Γ • ζ • η • W de Lambert • de Bessel
Nombroteoriaj funkcioj:
τ • σ • de Möbius • φ • π • λ
Ecoj:
totaleco kaj parteco • pareco kaj malpareco • monotoneco • bariteco • periodeco • disĵeteco • surĵeteco • dissurĵeteco kontinueco • derivaĵeco • integralebleco

Normo de phi sur la kompleksa ebeno, kolorita tiel ke nigra=0, ruĝa=4

Nomita laŭ Leonhard Euler, ĝi estas prototipa ekzemplo de q-serio, modula funkcio, kaj provizas la prototipan ekzemplon de rilato inter kombinatoriko and kompleksa analitiko.

Proprecoj

La koeficiento ${\displaystyle p(k)}$ en la Maclaurin-a serio por ${\displaystyle 1/\phi (q)}$ estas la nombro de ĉiuj entjeraj partigoj de k. Tiel,

${\displaystyle {\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}}$

kie ${\displaystyle p(k)}$ estas la partiga funkcio de k.

La identaĵo de Euler (nomata ankaŭ kvinangula nombra teoremo) estas:

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(3n^{2}-n)/2}}$ .

Rimarku ke ${\displaystyle (3n^{2}-n)/2}$ estas kvinangula nombro.

La funkcio de Euler rilatas al la funkcio eta de Dedekind per identaĵo de Ramanujan jene

${\displaystyle \phi (q)=q^{-1/24}\eta (\tau )}$

kie ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$ estas la kvadrato de la nomeno (en:nome).

Rimarku ke ambaū funkcioj havas la simetrion de la modula grupo.

Referencoj

• Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9