Funkcio: zeto de Riemann – unu el specialaj funkcioj, nomita post Bernhard Riemann kaj difinata per formulo:
- Pri la aliaj funkcioj estas skribataj per la litero ζ rigardu en funkcio ζ (apartigilo).
Matematikaj funkcioj |
---|
fonta aro, cela aro • bildo, malbildo • bildaro, argumentaro |
Fundamentaj funkcioj |
Algebraj funkcioj: konstanta • lineara • kvadrata • polinoma • racionala • Transformo de Möbius Aliaj funkcioj: trigonometriaj • inversa trigonometria • hiperbola • eksponenta • logaritma • potenca |
Specialaj funkcioj |
erara • β • Γ • ζ • η • W de Lambert • de Bessel |
Nombroteoriaj funkcioj: |
τ • σ • de Möbius • φ • π • λ |
Ecoj: |
totaleco kaj parteco • pareco kaj malpareco • monotoneco • bariteco • periodeco • disĵeteco • surĵeteco • dissurĵeteco kontinueco • derivaĵeco • integralebleco |
Serio estas konverĝa por z-oj , kiuj reala parto estas pli granda ol 1. Por la aliaj z estas uzata la analitika vastigaĵo.
Kun funkcio estas kunigata unu el plej gravaj problemoj de hodiaŭa matematiko – hipotezo de Riemann.
Ecoj
Por nombroj kiuj havas realan parton malpli granda ol 1, valoro de funkcio ζ povas esti kalkulita el formulo:
kaj estas funkcio Γ de Euler.
Diagramo de ζ(x)
Kelkaj valoroj
La funkcio Zeto kiel Malfinia Produto
Ojler montris ke
Ĉi tiu formulo veras por ĉiu kies reela parto estas pli ol .
Ojler deduktis tion sekvamaniere. Unue, rimarku ke
Per subtraho, oni trovas
En la dekstra flanko, estas nur la malparaj entjeroj. Pro tio,
Alia subtraho vidigas ke
Ĉiu nombro dividebla per estante subtrahita, supre restas nur la malparaj nombroj kiuj estas nedivideblaj per . Simile,
kie, en la dekstra flanko, aperas la entjeraj nombroj kiujn oni ne povas dividi per aŭ (kaj nur tiuj).
Induktive, en la maldekstra flanko aperas la produto , kaj la dekstra nombra konverĝas al . Oni tuj atingas la proponatan egalecon.
Rimarko: la serio kiu difinas konverĝas absolute, se la reala parto de estas pli ol . Tio permesas montri que la dekstra limito estas .
Vidu ankaŭ
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.