From Wikipedia, the free encyclopedia
Στη γεωμετρία, ο υπερκύβος ν-διαστάσεων είναι ανάλογος ενός τετραγώνου (για ν = 2) ή κύβου (για ν = 3), κτλ., και είναι επίσης ένα ορθότοπο. Πρόκειται για ένα συμπαγές πολύτοπο ο σκελετός του οποίου αποτελείται από ιδίου μήκους παράλληλα ή κάθετα μεταξύ τους ευθύγραμμα τμήματα τα οποία εδράζουν σε όλες τις διαστάσεις του χώρου που ανήκει. Η μεγαλύτερη διαγώνιος που εγγράφεται εντός ενός υπερκύβου ν-διαστάσεων είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα του ν.
Κύβος (3-κύβος) | Τεσσεράκτιο (4-κύβος) |
---|
Ένας ν-διαστάσεων υπερκύβος καλείται επίσης ν-κύβος. Ο όρος «πολύτοπο μέτρο»[1] που χρησιμοποιείται επίσης, κυρίως στην εργασία του H.S.M. Coxeter και αρχικά από τον Elte, το 1912,[2] έχει πλέον αντικατασταθεί.
Ο Υπερκύβος μονάδας είναι ένα υπερκύβος του οποίου η πλευρά έχει μήκος μία μονάδα. Συχνά ο υπερκύβος, οι κορυφές του οποίου (ή γωνίες) είναι 2ν στο Rν με συντεταγμένες ίσες με 0 ή 1, λέγεται Μονάδα υπερκύβου.
Αυτό μπορεί να γενικευθεί σε οποιοδήποτε αριθμό διαστάσεων και αυτή καθ' εαυτού η διαδικασία των σαρώσεων είναι γνωστή στα μαθηματικά ως ένα άθροισμα Minkowski: ο δ διαστάσεων υπερκύβος είναι το άθροισμα Minkowski των δ αμοιβαίων ευθυγράμμων τμημάτων που είναι κάθετα σε μία μονάδα μήκους, και κατά συνέπεια αποτελεί παράδειγμα ενός ζωνότοπου.
Κατά την τοπολογία ο μονοδιάστατος σκελετός ενός υπερκύβου είναι ένα γράφημα του υπερκύβου.
Μια μονάδα υπερκύβου ν διαστάσεων είναι επίσης ένα κυρτό περίβλημα όλων των σημείων του όπως αυτά μετατέθηκαν στις καρτεσιανές συντεταγμένες:
Ένας ν διαστάσεων υπερκύβος θεωρείται επίσης ως το κυρτό περίβλημα όλων των μεταθέσεων:
Αυτή η μορφή επιλέγεται συχνά λόγω της ευκολίας που έχει στο να καταγράψει τις συντεταγμένες του.[3]
Οι υπερκύβοι είναι μία από τις λίγες οικογένειες κανονικών πολυτόπων που ισχύουν για οποιοδήποτε αριθμό διαστάσεων.
Άλλες οικογένειες υπερκύβων είναι:
Μια άλλη σχετική οικογένεια ημικανονικών και ομοιόμορφων πολυτόπων είναι των Ημιυπερκύβων, οι οποίοι είναι κατασκευασμένοι από υπερκύβους με εναλλακτική διαγραφή των κορυφών και πλέγμα των έδρων στα κενά, επισημαίνεται ως ηγν.
Κάθε ν-κύβος, όπου ν > 0, αποτελείται από στοιχεία ή ν-κύβους μιας κατώτερης διάστασης, σχετικής με την (ν-1) διαστάσεων επιφάνεια επί του υπερκύβου γονέα. Η κάθε πλευρά του υπερκύβου γονέα είναι και ένα στοιχείο της (ν-1) διάστασής του. Ένας υπερκύβος ν διαστάσεων έχει 2ν πλευρές.[5] Δηλαδή, μία 1-διαστάσεων γραμμή έχει 2 άκρα (σημεία 0-διαστάσεων), ένα 2-διαστάσεων τετράγωνο έχει 4 πλευρές (γραμμές 1-διαστάσεων), ένας 3-διαστάσεων κύβος έχει 6 έδρες (τετράγωνα 2-διαστάσεων), ένα 4-διαστάσεων τεσσεράκτιο έχει 8 κελιά (κύβους 3-διαστάσεων), κοκ. ο αριθμός των κορυφών ενός ν-κύβου είναι 2ν[6] (για παράδειγμα, ένας κύβος έχει 23 = 8 κορυφές).
Ένας απλός τύπος για τον υπολογισμό του αριθμού των (ν-2)-επιφανειών ενός υπερκύβου ν-διαστάσεων είναι: 2ν2 - 2ν
n | γ | κύβος | m | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
n | γn | n-κύβος | Ονομασίες Schläfli Coxeter-Dynkin |
Κορυφές | Πλευρές | Επιφάνειες | Κελλιά | 4-Επιφάνειες | 5-Επιφάνειες | 6-Επιφάνειες | 7-Επιφάνειες | 8-Επιφάνειες | 9-Επιφάνειες | 10-Επιφάνειες |
0 | γ0 | 0-κύβος | Σημείο - |
1 | ||||||||||
1 | γ1 | 1-κύβος | Ευθύγραμμο τμήμα {} |
2 | 1 | |||||||||
2 | γ2 | 2-κύβος | Τετράγωνο {4} |
4 | 4 | 1 | ||||||||
3 | γ3 | 3-κύβος | Κύβος Εξάεδρο {4,3} |
8 | 12 | 6 | 1 | |||||||
4 | γ4 | 4-κύβος | Τεσσεράκτιο Οκτάχωρο {4,3,3} |
16 | 32 | 24 | 8 | 1 | ||||||
5 | γ5 | 5-κύβος | Πεντεράκτιο Δεκάτερο {4,3,3,3} |
32 | 80 | 80 | 40 | 10 | 1 | |||||
6 | γ6 | 6-κύβος | Εξεράκτιο Δωδεκάπετο {4,3,3,3,3} |
64 | 192 | 240 | 160 | 60 | 12 | 1 | ||||
7 | γ7 | 7-κύβος | Επτεράκτιο Τετραδικό 7-τοπο {4,3,3,3,3,3} |
128 | 448 | 672 | 560 | 280 | 84 | 14 | 1 | |||
8 | γ8 | 8-κύβος | Οκτεράκτιο Εξαδικό 8-τοπο {4,3,3,3,3,3,3} |
256 | 1024 | 1792 | 1792 | 1120 | 448 | 112 | 16 | 1 | ||
9 | γ9 | 9-κύβος | Εννεράκτιο Οκταδικό 9-τοπο {4,3,3,3,3,3,3,3} |
512 | 2304 | 4608 | 5376 | 4032 | 2016 | 672 | 144 | 18 | 1 | |
10 | γ10 | 10-κύβος | Δεκεράκτιο Εικοσαδικό 10-τοπο {4,3,3,3,3,3,3,3,3} |
1024 | 5120 | 11520 | 15360 | 13440 | 8064 | 3360 | 960 | 180 | 20 | 1 |
Ένας ν-κύβος μπορεί να προβληθεί μέσα σε ένα κανονικό 2ν-γώνιο πολύγωνο με παραποίηση της ορθής προβολής, όπως παρουσιάζεται παρακάτω (από ευθύγραμμο τμήμα σε 12-κύβος).[7]
Ευθύγραμμο τμήμα |
Τετράγωνο |
Κύβος |
4-κύβος (Τεσσεράκτιο) |
5-κύβος (Πεντεράκτιο) |
6-κύβος (Εξεράκτιο) |
7-κύβος (Επτεράκτιο) |
8-κύβος (Οκτεράκτιο) |
9-κύβος (Εννεράκτιο) |
10-κύβος (Δεκεράκτιο) |
11-κύβος (Ενδεκεράκτιο) |
12-κύβος (Δωδεκεράκτιο) |
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.