Ντεμιυπερκύβος

Αυτό το λήμμα αφορά το γεωμετρικό πολύτοπο του ν-διάστατου ημικύβου ή αλλιώς ντεμικύβου. Για το αφηρημένο κανονικό πολύεδρο "ημικύβος", δείτε: Ημικύβος (γεωμετρία).

Για την έννοια ημικύβος στα γραφικά υπολογιστών, δείτε: Ημικύβος (γραφικά υπολογιστών).

Στην γεωμετρία, ο ντεμιυπερκύβος ή ημιυπερκύβος (που ονομάζεται επίσης ν-ντεμικύβος ή ν-ημικύβος, διεθνώς: demihypercube, n-demicube, n-hemicube, ή half measure polytope) είναι μία τάξη ν-πολυτόπου που κατασκευάστηκε από την εναλλαγή ενός ν-υπερκύβου, συμβολίζεται με ηγ_ν (ενώ η οικογένεια των υπερκύβων, με γ_ν). Οι μισές από τις κορυφές ενός υπερκύβου διαγράφονται και σχηματίζονται έτσι νέες έδρες. Οι 2ν έδρες γίνονται 2ν (ν-1)-ντεμικύβοι, και σχηματίζονται 2^ν (ν-1)-πλέγματα εδρών στη θέση των διαγεγραμμένων κορυφών.

Η εναλλαγή του ν-κύβου αποδόδει έναν από τους δύο ν-ντεμικύβους, όπως σε αυτή την 3-διαστάσεων απεικόνιση των δύο τετραέδρων που προκύπτουν ως 3-ντεμικύβοι του 3-κύβου.

Όλοι οι υπερκύβοι παίρνουν και το πρόθεμα ντεμί- στο όνομά τους: ντεμί-κύβος, ντεμί-τεσσεράκτιο, κοκ. Ο ντεμικύβος είναι πανομοιότυπος με το κανονικό τετράεδρο, και το ντεμιτεσσεράκτιο είναι πανομοιότυπο με το κανονικό δεκαεξάχωρο. Το ντεμιπεντεράκτιο θεωρείται ημικανονικό διότι έχει μόνον τις έδρες του κανονικές. Οι υπόλοιπες υψηλότερες μορφές δεν έχουν όλες τις έδρες τους κανονικές, αλλά όλες αυτές οι μορφές είναι ενιαία πολύτοπα.

Οι κορυφές και οι ακμές ενός ντεμιυπερκύβου αποτελούν δύο αντίγραφα γραφήματος του κατά το ήμισυ κύβου.

Ανακάλυψη

Ο Thorold Gosset περιγράφει το ντεμιπεντεράκτιο στη λίστα δημοσίευσής του το 1900, που αφορούσε το σύνολο των τακτικών και ημικανονικών σχημάτων με ν-διαστάσεις περισσότερες από τρεις. Εκεί το ονόμασε ως 5-ic ημικανονικό. Εντάσσεται, επίσης, στην οικογένεια των ημικανονικών k₂₁ πολυτόπων (Semiregular k₂₁ polytope family).

Οι ντεμιυπερκύβοι μπορούν να συμβολιστούν με Schläfli σημειογραφία της μορφής η{4,3,...,3} ως το ήμισυ των κορυφων του {4,3,...,3}. Το σχήμα κορυφών των ντεμιυπερκύβων είναι διορθωμένο με ν-πλέγματα.

Κατασκευή

Υλοποιείται από διαγράμματα Coxeter-Dynkin τριών κατασκευαστικών μορφών:

1. ... (Ως ενναλακτικό ορθότοπο) sr{2^n-1}
2. ... (Ως ενναλακτικός υπερκύβος) h{4,3^n-1}
3. .... (Ως ντεμιυπερκύβος) {3^1,n-3,1}

Ο Χάρολντ Σκοτ ΜακΝτόναλντ Κόξετερ επισημαίνει επίσης τα τρίτα διακλαδούμενα διαγράμματα ως 1_k1 να αντιπροσωπεύουν τα μήκη των 3 ​​κλάδων και να οδηγούνται από τον κλάδο δακτυλίου.

Ένας ν-ντεμικύβος, όταν το ν είναι μεγαλύτερο του 2, έχει ν × (ν-1) / 2 ακμές να συναντώνται σε κάθε κορυφή του. Τα παρακάτω διαγράμματα δείχνουν λιγότερες ακμές σε κάθε κορυφή λόγω της επικάλυψης των ακμών στην προβολή της συμμετρίας.

n	1k1	Πέτρι πολύγωνο	Schläfli	Coxeter-Dynkin A1n οικογένεια BCn οικογένεια Dn οικογένεια	Στοιχεία										Έδρες: Ντεμιυπερκύβοι & Πλέγματα	Σχήμα κορυφών
					Κορυφές	Ακμές	Επιφάνειες	Κελιά	4-επιφ.	5-επιφ.	6-επιφ.	7-επιφ.	8-επιφ.	9-επιφ.
2	1-1,1	ντεμιτετράγωνο (δίγωνο)	sr{21} h{4} {31,-1,1}		2	2									2 ακμές	--
3	101	ντεμικύβος (τετράεδρο)	sr{22} h{4,3} {31,0,1}		4	6	4								6 δίγωνα 4 τρίγωνα	Τρίγωνο (Διορθωμένο τρίγωνο)
4	111	ντεμιτεσσεράκτιο (δεκαεξάχωρο)	sr{23} h{4,3,3} {31,1,1}		8	24	32	16							8 ντεμικύβοι (τετράεδρα) 8 τετράεδρα	Οκτάεδρο (Διορθωμένο τετράεδρο)
5	121	ντεμιπεντεράκτιο	sr{24} h{4,33}{31,2,1}		16	80	160	120	26						10 δεκαεξάχωρα 16 πεντάχωρα	Διορθωμένο πεντάχωρο
6	131	ντεμιεξεράκτιο	sr{25} h{4,34}{31,3,1}		32	240	640	640	252	44					12 ντεμιπεντεράκτια 32 5-πλέγμα	Διορθωμένο εξάτερο
7	141	ντεμιεπτεράκτιο	sr{26} h{4,35}{31,4,1}		64	672	2240	2800	1624	532	78				14 ντεμιεξεράκτια 64 6-πλέγμα	Διορθωμένο 6-πλέγμα
8	151	ντεμιοκτεράτκιο	sr{27} h{4,36}{31,5,1}		128	1792	7168	10752	8288	4032	1136	144			16 ντεμιεπτεράκτια 128 7-πλέγμα	Διορθωμένο 7-πλέγμα
9	161	ντεμιεννεράκτιο	sr{28} h{4,37}{31,6,1}		256	4608	21504	37632	36288	23520	9888	2448	274		18 ντεμιοκτεράτκια 256 8-πλέγμα	Διορθωμένο 8-πλέγμα
10	171	ντεμιδεκεράκτιο	sr{29} h{4,38}{31,7,1}		512	11520	61440	122880	142464	115584	64800	24000	5300	532	20 ντεμιεννεράκτια 512 9-πλέγμα	Διορθωμένο 9-πλέγμα
...
n	1n-3,1	n-ντεμικύβος	sr{2n-1} h{4,3n-2} {31,n-3,1}	... ... ...	2n-1										n (n-1)-ντεμικύβοι 2n (n-1)-πλέγμα	Διορθωμένο (n-1)-πλέγμα

Σε γενικές γραμμές, τα στοιχεία ενός ντεμικύβου μπορούν να προσδιοριστούν από τον αρχικό ν-κύβο: με C_n,m = m^th-επιφάνεια συνυπολογίζοντας ότι n-κύβος = 2^n-m × n! / ( m! × (n-m)! )

• Κορυφές: D_n,0 = 1/2 × C_n,0 = 2^n-1 (Παραμένουν οι μισές από τις κορυφές του n-κύβου)
• Ακμές: D_n,1 = C_n,2 = 1/2 n(n-1) 2^n-2 (Όλες οι αρχικές ακμές χάνονται, κάθε τετράγωνη έδρα δημιουργεί μια νέα ακμή)
• Επιφάνειες: D_n,2 = 4 × C_n,3 = n(n-1)(n-2) 2^n-3 (Όλες οι αρχικές επιφάνειες χάνονται, ο κάθε κύβος δημιουργεί 4 νέες τριγωνικές επιφάνειες)
• Κελιά: D_n,3 = C_n,3 + 2^n-4 C_n,4 (Τα τετράεδρα από τα αρχικά κελιά καθώς και νέα)
• Υπερκελιά: D_n,4 = C_n,4 + 2^n-5 C_n,5 (Τα 16-κελιά και τα 5-κελιά κατ' ακολουθίαν)
• ...
• [Για m=3...n-1]: D_n,m = C_n,m + 2^n-1-m C_n,m+1 (Οι m-ντεμικύβοι και τα m-πλέγματα κατ' ακολουθίαν)
• ...
• Έδρες: D_n,n-1 = n + 2ⁿ (Οι (n-1)-ντεμικύβοι και τα (n-1)-πλέγματα κατ' ακολουθίαν)

Ομάδα συμμετρίας

Η ομάδα συμμετρίας του ντεμιυπερκύβου είναι η ομάδα Coxeter ${\displaystyle D_{n},}$ [3^n-3,1,1] έχει τάξη ${\displaystyle 2^{n-1}n!,}$ και είναι ένας δείκτης 2 υποομάδας της ομάδας υπεροκτάεδρων (η οποία είναι η ομάδα Coxeter ${\displaystyle BC_{n}}$ [4,3^n-1]).

Ορθοτοπικές κατασκευές

Ρομβικό δισφηνοειδές μέσα από ένα κυβοειδές

Κατασκευές όπως τα εναλλασσόμενα ορθότοπα έχουν την ίδια τοπολογία, αλλά μπορούν να επεκταθούν με διαφορετικά μήκη σε ν-άξονες συμμετρίας.

Το ρομβικό δισφηνοειδές είναι το τρισδιάστατο παράδειγμα ενός εναλλασσόμενου κυβοειδούς. Έχει τρία σύνολα από μήκη ακμών, και οι επιφάνειές του είναι σκαληνά τρίγωνα.

Περαιτέρω ανάγνωση

• Ημικύβος (γεωμετρία)
• Γεωμετρικό πολύτοπο

Παραπομπές

Πηγές

• Thorold Gosset (1900), On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions, Messenger of Mathematics, Macmillan.
• John Horton Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass (2008), The Symmetries of Things (Chapter 26. p. 409: Hemicubes: 1_n1), ISBN 978-1-56881-220-5.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Olshevsky, George. «Half measure polytope». Glossary for Hyperspace. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 4 Φεβρουαρίου 2007. Ανακτήθηκε στις 18 Μαΐου 2016.