Περιοδική συνάρτηση

Μία συνάρτηση f(x) πραγματικής μεταβλητής με πεδίο ορισμού το A_f λέγεται περιοδική, αν υπάρχει Τ>0 τέτοιο, ώστε για κάθε x που ανήκει στο A_f ισχύει ότι x–Τ, x+Τ ανήκουν στο A_f και ότι f(x+Τ) = f(x–Τ) = f(x). Ο αριθμός Τ ονομάζεται περίοδος. Επίσης, λέμε ότι η συνάρτηση επαναλαμβάνεται.

Μαθηματικές Συναρτήσεις
Συναρτήσεις μίας μεταβλητής
${\displaystyle \mathbf {y} =f(x)}$
Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών
${\displaystyle \mathbf {z} =f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$
Βασικές έννοιες συναρτήσεων Μονοτονία συνάρτησης Κυρτότητα συνάρτησης Συμμετρία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Ασύμπτωτες συνάρτησης Όριο συνάρτησης Συνέχεια συνάρτησης Παραγώγιση συνάρτησης Ολοκλήρωση συνάρτησης
Κατηγορίες συναρτήσεων Άρτιες συναρτήσεις Περιττές συναρτήσεις Περιοδικές συναρτήσεις Σύνθετες συναρτήσεις Αντίστροφες συναρτήσεις Αλγεβρικές συναρτήσεις Υπερβατικές συναρτήσεις
Αλγεβρικές συναρτήσεις Πολυωνυμική συνάρτηση ${\displaystyle y=ax^{n}+bx^{n-1}+...+cx+d}$ Ρητή συνάρτηση ${\displaystyle y={\frac {a_{1}x^{n}+b_{1}x^{n-1}+...+c_{1}x+d_{1}}{a_{2}x^{m}+b_{2}x^{m-1}+...+c_{2}x+d_{2}}}}$ Άρρητη συνάρτηση ${\displaystyle y={\sqrt[{n}]{ax^{n}+bx^{n-1}+...+cx+d}}}$
Υπερβατικές συναρτήσεις Εκθετική συνάρτηση ${\displaystyle y=a^{x}}$ Λογαριθμική συνάρτηση ${\displaystyle y=\log _{a}(x)}$ Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Ημίτονο ${\displaystyle y=\sin x}$ Συνημίτονο ${\displaystyle y=\cos x}$ Εφαπτομένη ${\displaystyle y=\tan x}$

Χαρακτηριστικά της περιοδικής συνάρτησης

Γραφική παράσταση μια ασυνεχούς περιοδικής συνάρτησης. Σημειώνεται και η περίοδος.

Λόγω της ιδιότητάς της για τη μελέτη της περιοδικής συνάρτησης αρκεί να μελετηθεί για τιμές στο διάστημα μιας περιόδου. Τα αποτελέσματα μπορούν να γενικευτούν κατάλληλα και για τις υπόλοιπες τιμές έχοντας μια πλήρη εικόνα της συνάρτησης.

Πεδίο ορισμού

Το πεδίο ορισμού της περιοδικής συνάρτησης είτε είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών, ή είναι μια απειρία ένωσης όμοιων πεδίων. Για παράδειγμα, αν το διάστημα [2,6) ανήκει στο πεδίο ορισμού και Τ=5, τότε ανήκει και το διάστημα [7,11) και το διάστημα [-3,1).

Συνέχεια-Παραγωγισιμότητα

Η περιοδική συνάρτηση δεν είναι κατά ανάγκη συνεχής ή παραγωγίσιμη. Αυτό που συμβαίνει είναι ότι, αν η συνάρτηση έχει την ιδιότητα της συνέχειας ή της παραγωγισιμότητας σε ένα σημείο ή διάστημα, έχει και την ίδια ιδιότητα στο σημείο ή διάστημα με διαφορά από το προηγούμενο κατά Τ. Επιπλέον, η παράγωγος, αν υπάρχει είναι περιοδική συνάρτηση με την ίδια περίοδο.

Μονοτονία

Η μονοτονία της συνάρτησης, όπου υπάρχει, επαναλαμβάνεται και αυτή με βάση την περίοδο. Για παράδειγμα, αν μια περιοδική συνάρτηση με περίοδο Τ=4 είναι γνησίως αύξουσα στο (-2,-1], τότε η ίδια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο (2,3] και στο (-6,-5].

Ασύμπτωτες

Η περιοδική συνάρτηση είναι αδύνατον να έχει πλάγιες ή οριζόντιες ασύμπτωτες, γιατί είναι αδύνατον να έχει όριο στο συν ή πλην άπειρο, εκτός αν είναι σταθερή συνάρτηση. Αν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες, τότε αυτές είναι άπειρες και επαναλαμβάνονται κατά την περίοδο της συνάρτησης.

Σύνολο τιμών-Ρίζες

Το σύνολο τιμών άρτιας συνάρτησης ταυτίζεται με το σύνολο τιμών της συνάρτησης σε οποιαδήποτε περίοδο. Κάθε τιμή τη λαμβάνει άπειρες φορές, άρα η περιοδική συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα. Το σύνολο των ριζών περιοδικής συνάρτησης είναι άπειρο ή μηδέν.

Κοιλοκυρτότητα

Η κοιλοκυρτότητα της συνάρτησης, όπου ορίζεται, επαναλαμβάνεται

κατά την περίοδο. Η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης, αν ορίζεται, είναι και αυτή περιοδική με την ίδια περίοδο.

Συμμετρίες

Η γραφική παράσταση της περιοδικής συνάρτησης επαναλαμβάνεται ακριβώς η ίδια κατά την περίοδο. Για αυτό συνήθως σχεδιάζεται μόνο ένα κομμάτι της, αυτό που αντιστοιχεί σε μία περίοδο που περιλαμβάνει τον άξονα y'y.

Αντίστροφη συνάρτηση

Μερικές περιοδικές συναρτήσεις είναι ένα προς ένα σε διάστημα μιας περιόδου, άρα ορίζεται αντίστροφη μόνο σε ένα διάστημα.

Ανάλυση περιοδικών συναρτήσεων

Οι περιοδικές συναρτήσεις μπορούν να αναλυθούν με δύο τρόπους: την ανάλυση Φουριέ και την ανάλυση σειράς Taylor.

---

Το άρθρο βασίστηκε στη διαδικασία της μαθηματικής ανάλυσης συνάρτησης που αναγράφεται στο βιβλίο Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης, ISBN 960-06-0703-6 ΟΕΔΒ εκδόσεις 2008, παράγραφος 2.10, σελίδα 287 καθώς και στον ορισμό άρτιας συνάρτησης που περιλαμβάνεται σε αυτό