Συμμετρική συνάρτηση

Στα μαθηματικά, μία συνάρτηση λέγεται συμμετρική αν η τιμή της δεν εξαρτάται από την σειρά των ορισμάτων. Για παράδειγμα, μία συνάρτηση ${\displaystyle f}$ που δέχεται δύο ορίσματα είναι συμμετρική αν ${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=f(x_{2},x_{1})}$.

Γραφική παράσταση και ισοϋψείς για την συμμετρική συνάρτηση ${\displaystyle f(x,y)=x\cdot y-x-y}$. Η συνάρτηση έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία ${\displaystyle y=x}$.

Πιο γενικά, μία συνάρτηση που δέχεται ${\displaystyle n}$ ορίσματα ${\displaystyle f:X^{n}\to Y}$ είναι συμμετρική αν για κάθε ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in X}$ και κάθε μετάθεση ${\displaystyle \pi }$ μεταξύ ${\displaystyle n}$ στοιχείων ισχύει ότι

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{\pi (1)},x_{\pi (2)},\ldots ,x_{\pi (n)})}$.^[1]:120

Οι γραφικές παραστάσεις των πραγματικών συναρτήσεων με δύο ορίσματα έχουν άξονα συμμετρίας την συνάρτηση ${\displaystyle y=x}$.

Παραδείγματα

• Η πραγματική συνάρτηση ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}}$.
• Η πραγματική συνάρτηση ${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\cos(x_{1}+x_{2})+\cos(x_{2}+x_{3})+\cos(x_{3}+x_{1})}$.
• Η πραγματική συνάρτηση ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}$ είναι συμμετρική, καθώς το άθροισμα ικανοποιεί την αντιμεταθετική ιδιότητα.
• Παρόμοια και η συνάρτηση ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}}$.
• Η σταθερή συνάρτηση ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=c}$ είναι προφανώς συμμετρική για κάθε σταθερά ${\displaystyle c\in Y}$.

Δείτε επίσης

• Συμμετρικό πολυώνυμο
• Άρτια συνάρτηση
• Περιττή συνάρτηση

Παραπομπές

1. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Θεοδώρα· Χαραλάμπους, Χαρά. «Θεωρία Galois» (PDF). Κάλλιπος. Ανακτήθηκε στις 4 Ιουλίου 2023.