From Wikipedia, the free encyclopedia
Η ανάλυση Φουριέ είναι ένα πεδίο των εφαρμοσμένων μαθηματικών το οποίο προέκυψε από την προσπάθεια αναπαράστασης μίας συνάρτησης ως αθροίσματος απλούστερων περιοδικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Επομένως κεντρική ιδέα στην ανάλυση Φουριέ είναι η προσπάθεια για κατανόηση των ιδιοτήτων μίας συνάρτησης (η οποία μπορεί να αναπαριστά π.χ. ένα σήμα) μέσω διάσπασής της σε γνωστά, στοιχειώδη μέρη (αποσύνθεση). Η ανάστροφη διαδικασία, η κατασκευή μίας συνάρτησης από γνωστές, βασικές συναρτήσεις, ονομάζεται σύνθεση. Με τον όρο ανάλυση Φουριέ αναφερόμαστε και στις δύο διεργασίες. Η μέθοδος αυτή εφαρμόστηκε για πρώτη φορά από τον Ζοζέφ Φουριέ στην προσπάθειά του να ερευνήσει τη διάδοση της θερμότητας.
Το λήμμα παραθέτει τις πηγές του αόριστα, χωρίς παραπομπές. |
Ο όρος Μετασχηματισμός Φουριέ (MΦ) αναφέρεται σε μία αυστηρώς ορισμένη μαθηματική διεργασία η οποία αποσυνθέτει μία συνάρτηση σε άθροισμα απείρων περιοδικών ημιτονοειδών και συνημιτονοειδών συναρτήσεων. Το αποτέλεσμα του μετασχηματισμού είναι μία νέα συνάρτηση με διαφορετικό πεδίο ορισμού, επίσης γνωστή ως Μετασχηματισμός Φουριέ ή ως φάσμα, η οποία περιγράφει το κατά πόσο συμμετέχει κάθε στοιχειώδες ημίτονο στον σχηματισμό της αρχικής συνάρτησης (έστω ). Ο ΜΦ αποτελεί οριακή περίπτωση (για συνάρτηση με άπειρη περίοδο, δηλαδή ουσιαστικά απεριοδική) της σειράς Φουριέ.
Η σειρά Φουριέ εφαρμόζεται για περιοδική και δίνει ως αποτέλεσμα μία νέα συνάρτηση με διακριτό πεδίο τιμών αντί για συνεχές (δηλαδή πεδίο τιμών σε μία σειρά Φουριέ είναι οι φυσικοί αριθμοί αντί για τους πραγματικούς).
Για συναρτήσεις διακριτής ανεξάρτητης μεταβλητής, όπου οι φυσικοί αριθμοί είναι το πεδίο ορισμού της , υπάρχουν οι διακριτές παραλλαγές του MΦ: ο Μετασχηματισμός Φουριέ Διακριτού Χρόνου (MΦΔΧ), με συνεχές πεδίο τιμών και κατάλληλος για απεριοδικές συναρτήσεις, και ο Διακριτός Μετασχηματισμός Φουριέ (ΔΜΦ ή DFT), με διακριτό πεδίο τιμών και κατάλληλος για περιοδικές συναρτήσεις.
Για καθεμία από αυτές τις διεργασίες υπάρχει και ο αντίστροφος μετασχηματισμός, ο οποίος δέχεται ως είσοδο το φάσμα και δίνει ως έξοδο την αρχική συνάρτηση . Όλοι οι τύποι μετασχηματισμών της ανάλυσης Φουριέ ανάγονται στον παρόμοιου σκοπού Μετασχηματισμό Λαπλάς και αποτελούν περιπτώσεις ολοκληρωτικού μετασχηματισμού.
Η ανάλυση Φουριέ έχει πολλές επιστημονικές εφαρμογές όπως στη φυσική, στην επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων, στη θεωρία αριθμών, στη συνδυαστική ανάλυση, στην επεξεργασία σήματος, στην επεξεργασία εικόνας, στη στατιστική, στην κρυπτογραφία, στην αριθμητική ανάλυση, στην ακουστική, στην ωκεανογραφία, στην οπτική και σε πολλούς άλλους τομείς.
Αυτή η ευρεία εφαρμογή της πηγάζει από πολλές χρήσιμες ιδιότητες, όπως αυτές των ολοκληρωτικών μετασχηματισμών:
Ο μετασχηματισμός Φουριέ είναι επίσης χρήσιμος και ως μια συμπαγής αναπαράσταση ενός σήματος. Για παράδειγμα η συμπίεση JPEG που χρησιμοποιεί μια παραλλαγή του μετασχηματισμού Φουριέ (διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου) από μικρά τετράγωνα κομμάτια μιας ψηφιακής εικόνας. Οι συντελεστές Φουριέ του κάθε τετραγώνου στρογγυλοποιούνται στην μικρότερη αριθμητική ακρίβεια, και «αδύναμοι» συντελεστές απαλείφονται, έτσι ώστε οι εναπομείναντες συντελεστές να μπορούν να αποθηκευτούν πολύ συμπαγώς. Στην ανακατασκευή της εικόνας, κάθε τετράγωνό της ανακατασκευάζεται κατά προσέγγιση από τους μετασχηματισμένους συντελεστές Φουριέ που διατηρήθηκαν, οι οποίοι τότε μετασχηματίζονται αντίστροφα για να παραχθεί μία προσέγγιση της αρχικής εικόνας.
Όταν επεξεργαζόμαστε σήματα, όπως ήχο, ραδιοκύματα, κύματα φωτός, σεισμικά κύματα, ακόμα και εικόνες, η ανάλυση Φουριέ μπορεί να απομονώσει μεμονωμένους συντελεστές από μια σύνθετη κυματομορφή, συγκεντρώνοντάς τους για ευκολότερη ανίχνευση και/ή αφαίρεση. Μία μεγάλη οικογένεια τεχνικών επεξεργασίας σήματος αποτελείται από μετασχηματισμό Φουριέ ενός σήματος, χειρισμό μετασχηματισμένων με Φουριέ δεδομένων με απλό τρόπο και αντιστροφή του μετασχηματισμού.
Μερικά παραδείγματα είναι τα παρακάτω:
Μια περιοδική συνάρτηση μπορεί να εκφραστεί ως άπειρο άθροισμα (σειρά) ημιτόνων και συνημιτόνων. Η συνάρτηση με περίοδο μετασχηματίζεται σε σειρά ημιτόνων και συνημιτόνων με περιόδους ακέραια πολλαπλάσια της . Για η σειρα Φουριέ γράφεται ως
με συντελεστές
Το διάστημα ολοκλήρωσης μπορεί να αντικατασταθεί με οποιοδήποτε της μορφής . Συχνά χρησιμοποιείται επίσης το .
Στην πράξη αντί της άπειρης σειράς η συνάρτηση προσεγγίζεται με πεπερασμένο πλήθος προσθετέων.
Με τη χρήση του τύπου του Όιλερ με η σειρα Φουριέ μπορεί να γραφεί με μιγαδικούς όρους ως
με
Ο Μετασχηματισμός Φουριέ αποτελεί γενίκευση της σειράς Φουριέ με μιγαδικούς όρους. Αντί των διακριτών όρων χρησιμοποιεί την συνεχή συνάρτηση :
με
Πολύ συχνά, ο ακατάλληλος όρος μετασχηματισμός Φουριέ αναφέρεται στο μετασχηματισμό συναρτήσεων με συνεχή πραγματικά ορίσματα και αυτό παράγει μία συνεχή συνάρτηση συχνότητας, γνωστή ως κατανομή συχνότητας. Μία συνάρτηση μετασχηματίζεται σε μία άλλη και η διαδικασία είναι αντιστρέψιμη. Όταν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης εισόδου είναι ο χρόνος () και το πεδίο ορισμού της συνάρτησης εξόδου είναι η κανονική συχνότητα, ο μετασχηματισμός της συνάρτησης στη συχνότητα δίνεται από τον μιγαδικό αριθμό:
Αποτιμώντας την ποσότητα αυτή για όλες τις τιμές του παράγεται η συνάρτηση με πεδίο ορισμού την συχνότητα. Στη συνέχεια η μπορεί να αναπαρασταθεί ως ανασυνδυασμός μιγαδικών εκθετικών όρων όλων των δυνατών συχνοτήτων:
που είναι ο τύπος του αντίστροφου μετασχηματισμού. Ο μιγαδικός αριθμός , οδηγεί τόσο στο πλάτος όσο και στη φάση της συχνότητας.
Ο ΜΦΔΧ είναι το μαθηματικό δίδυμο των σειρών Φουριέ στο πεδίο του χρόνου. Έτσι, κάθε περιοδική άθροιση στο πεδίο συχνοτήτων μπορεί να αναπαρασταθεί από μια σειρά Φουριέ, της οποίας οι συντελεστές είναι δείγματα μιας σχετικής συνεχούς συνάρτησης χρόνου:
που είναι γνωστή ως ο ΜΦΔΧ. Ο ΜΦΔΧ της ακολουθίας είναι επίσης ο μετασχηματισμός Φουριέ της διαμορφωμένης κρουστικής συνάρτησης. Μπορούμε επίσης να σημειώσουμε ότι:
Κατά συνέπεια, μια κοινή πρακτική είναι να μοντελοποιούμε την "δειγματοληψία" ως πολλαπλασιασμό από την κρουστική συνάρτηση, το οποίο φυσικά είναι "πιθανό" μόνο σε μία καθαρά μαθηματική λογική.
Οι συντελεστές της σειράς Φουριέ ορίζονται :
είναι ο αντίστροφος μετασχηματισμός και μπορεί πράγματι να αποδειχθεί ότι οι συντελεστές είναι απλώς δείγματα της σε διακριτά διαστήματα του :
Έτσι έχουμε το σημαντικό αποτέλεσμα ότι όταν μία διακριτή ακολουθία δεδομένων αντιπροσωπεύει δείγματα μιας υποκείμενης συνεχούς συνάρτησης , τότε μπορεί κανείς να συμπεράνει κάτι για το μετασχηματισμό Φουριέ αυτής, . Ότι είναι ένας ακρογωνιαίος λίθος στην ψηφιακή επεξεργασία σημάτων. Επιπλέον, υπό ορισμένες εξιδανικευμένες συνθήκες, μπορεί κάποιος να ανακτήσει θεωρητικά ακριβώς τις και . Μία ικανή συνθήκη για την τέλεια ανάκτηση είναι ότι το μη μηδενικό ποσοστό της να περιορίζεται σε ένα γνωστό διάστημα συχνοτήτων πλάτους . Όταν αυτό το διάστημα είναι ο τύπος ανακατασκευής είναι ο τύπος παρεμβολής των Whittaker–Shannon.
Ένας άλλος λόγος για να ενδιαφερθούμε για την είναι ότι συχνά παρέχει μια εικόνα για το μέγεθος της αναδίπλωσης που προκαλείται από τη διαδικασία δειγματοληψίας.
Ο ΜΦΔΧ μιας περιοδικής ακολουθίας, , με περίοδο , γίνεται άλλη μία κρουστική συνάρτηση, που διαφοροποιείται από τους συντελεστές μιας σειράς Φουριέ. Και ο ολοκληρωτικός τύπος για τους συντελεστές απλοποιείται σε μία άθροιση:
όπου είναι το άθροισμα πάνω από κάθε -ακολουθία μήκους .
Η ακολουθία είναι γνωστή ως ΔΜΦ της . Είναι, επίσης, -περιοδική, γι’ αυτό ποτέ δεν είναι απαραίτητο να υπολογιστούν περισσότεροι από όροι. Όσον αφορά την , ο αντίστροφος μετασχηματισμός δίνεται από:
όπου είναι το άθροισμα πάνω από κάθε -ακολουθία μήκους .
Όταν το εκφράζεται ως μία περιοδική άθροιση μιας άλλης συνάρτησης, :
οι συντελεστές είναι ισοδύναμοι με δείγματα της σε διακριτά διαστήματα :
Στις περισσότερες περιπτώσεις, το επιλέγεται ίσο με το μήκος του μη μηδενικού τμήματος του . Η αύξηση του οδηγεί σε ακόμα μικρότερα δείγματα του ενός κύκλου του . Η μείωση του οδηγεί σε επικάλυψη στο πεδίο του χρόνου, το οποίο which αντιστοιχεί σε αποδεκατισμό στο πεδίο των συχνοτήτων. Στις περισσότερες περιπτώσεις πρακτικού ενδιαφέροντος, η ακολουθία αντιπροσωπεύει μία μακρύτερη ακολουθία η οποία έχει περικοπεί από την εφαρμογή μιας πεπερασμένης συνάρτησης παραθύρου ή ενός φίλτρου FIR.
Ο ΔΜΦ μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας έναν αλγόριθμο γρήγορου μετασχηματισμού Φουριέ, ο οποίος των καθιστά ένα πρακτικό και σημαντικό μετασχηματισμό στους υπολογιστές.
Για περιοδικές συναρτήσεις, τόσο ο μετασχηματισμός Φουριέ όσο και ο Μετασχηματισμός Φουριέ Διακριτού Χρόνου περιλαμβάνουν μόνο ένα διακριτό σύνολο από συντελεστές συχνοτήτων (σειρά Φουριέ), και οι μετασχηματισμοί αποκλίνουν σε αυτές τις συχνότητες. Μία κοινή πρακτική είναι να χειριστούμε αυτή την απόκλιση μέσω της κρουστικής δέλτα και της κρουστικής συνάρτησης. Αλλά την ίδια φασματική πληροφορία μπορούμε να διακρίνουμε και από ένα μόνο κύκλο της περιοδικής συνάρτησης, δεδομένου ότι όλοι οι άλλοι κύκλοι είναι πανομοιότυποι. Ομοίως, οι συναρτήσεις πεπερασμένης διάρκειας μπορούν να αναπαρασταθούν ως σειρά Φουριέ, χωρίς καμία πραγματική απώλεια πληροφοριών εκτός από το ότι η περιοδικότητα του αντίστροφου μετασχηματισμού είναι απλή. Οι τύποι στις κάτω δεξιά στήλες ισχύουν και στις δυο περιπτώσεις, όπου στη μία περίπτωση πρόκειται να αναλυθεί η πεπερασμένης διάρκειας συνάρτηση, και στην άλλη περίπτωση η περιοδική της άθροιση, Είναι η συνάρτηση υπό ανάλυση. Σημειώνουμε παρεμπιπτόντως ότι κανένας από τους τύπους δεν απαιτεί πράγματι η διάρκεια του να περιορίζεται στην περίοδο ή . Αλλά αυτή είναι η πιο συνηθισμένη κατάσταση.
Συνεχής συχνότητες | Διακριτές συχνότητες | |
---|---|---|
Μετασχηματισμός | ||
Αντίστροφος μετασχηματισμός |
Συνεχής συχνότητες | Διακριτές συχνότητες | |
---|---|---|
Μετασχηματισμός | ||
Αντίστροφος μετασχηματισμός |
|
|
Στην επεξεργασία σήματος ο μετασχηματισμός Φουριέ συχνά παίρνει μία χρονοσειρά ή μια συνάρτηση συνεχούς χρόνου και την αντιστοιχεί σ’ ένα φάσμα συχνοτήτων. Δηλαδή, μεταφέρει μια συνάρτηση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνοτήτων. Πρόκειται για μία αποσύνθεση της συνάρτησης σε ημιτονοειδείς διαφορετικών συχνοτήτων. Στην περίπτωση μιας σειράςΦουριέ ή ενός διακριτού μετασχηματισμού Φουριέ, οι ημιτονοειδείς είναι αρμονικές της θεμελιώδους συχνότητας της συνάρτησης η οποία αναλύεται.
Όταν η συνάρτηση ƒ είναι μία συνάρτηση χρόνου και αναπαριστά ένα φυσικό σήμα, ο μετασχηματισμός έχει μία πρότυπη ερμηνεία όπως το φάσμα συχνοτήτων του σήματος. Το μέγεθος της συνάρτησης F που προκύπτει στη συχνότητα ω αναπαριστά το πλάτος μιας συνιστώσας της συχνότητας της οποίας η αρχική φάση δίνεται από τη φάση της F.
Οι μετασχηματισμοί Φουριέ δεν περιορίζονται σε συναρτήσεις χρόνου και χρονικές συχνότητες. Μπορούν εξίσου να εφαρμοστούν για την ανάλυση χωρικών συχνοτήτων και μάλιστα για σχεδόν κάθε πεδίο μιας συνάρτησης. Αυτό δικαιολογεί τη χρήση τους σε κλάδους τόσο διαφορετικούς όσο η επεξεργασία εικόνας, η θερμική αγωγιμότητα κα ο αυτόματος έλεγχος.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.