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Zufallsvariablen mit einer Bernoulli-Verteilung (auch als Bernoullische Verteilung[1], Null-Eins-Verteilung[1], Alternativ-Verteilung[2] oder Boole-Verteilung[3] bezeichnet) benutzt man zur Beschreibung von zufälligen Ereignissen, bei denen es nur zwei mögliche Versuchsausgänge gibt. Einer der Versuchsausgänge wird meistens mit Erfolg bezeichnet und der komplementäre Versuchsausgang mit Misserfolg. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg nennt man Erfolgswahrscheinlichkeit und die Wahrscheinlichkeit eines Misserfolgs. Beispiele:
Die Bezeichnung Bernoulli-Versuch (Bernoullian trials nach Jakob I Bernoulli) wurde erstmals 1937 in dem Buch Introduction to Mathematical Probability von James Victor Uspensky verwendet.[4]
Eine diskrete Zufallsgröße mit Werten in der Menge unterliegt der Bernoulli-Verteilung oder Null-Eins-Verteilung mit dem Parameter , wenn sie der folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktion folgt
Die Verteilungsfunktion ist dann
Man schreibt dann , oder . Der Parameter heißt in diesem Zusammenhang auch Bernoulli-Parameter.
Eine Zufallsvariable, deren Verteilung eine Bernoulli-Verteilung ist, heißt Bernoulli-verteilt. Eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable wird auch als Bernoulli-Variable bezeichnet.
Ein Zufallsexperiment, dessen Ausgang durch eine Bernoulli-Variable beschrieben ist, heißt Bernoulli-Experiment oder Bernoulli-Versuch. Eine Folge von Bernoulli-Versuchen, deren Zufallsvariablen stochastisch unabhängig und identisch – d. h. mit demselben Bernoulli-Parameter – verteilt sind, heißt Bernoulli-Prozess oder bernoullisches Versuchsschema.
Für bestimmte statistische Anwendungen ist es sinnvoll, den erweiterten Parameterraum ergänzt durch die beiden Grenzfälle und zugrunde zu legen, bei denen die Bernoulli-Verteilung zu einer Einpunktverteilung auf 0 oder 1 degeneriert. In diesen Fällen gilt bzw. .
Im Folgenden ist mit vorausgesetzt.
Die Bernoulli-Verteilung mit Parameter hat den Erwartungswert:
Dies hat den Grund, dass für eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable mit und gilt:
Die Bernoulli-Verteilung besitzt die Varianz
denn es ist und damit
Damit ist die Standardabweichung
und der Variationskoeffizient
Für den Parameter ist die Bernoulli-Verteilung symmetrisch um den Punkt .
Die Schiefe der Bernoulli-Verteilung ist
Dies kann folgendermaßen gezeigt werden. Eine standardisierte Zufallsvariable mit Bernoulli-verteilt nimmt den Wert mit Wahrscheinlichkeit an und den Wert mit Wahrscheinlichkeit . Damit erhalten wir für die Schiefe
Der Exzess der Bernoulli-Verteilung ist
und damit ist die Wölbung
Alle k-ten Momente sind gleich und es gilt
Es ist nämlich
Die Entropie der Bernoulli-Verteilung ist
gemessen in Bit.
Der Modus der Bernoulli-Verteilung ist
Der Median der Bernoulli-Verteilung ist
falls gilt, ist jedes ein Median.
Die kumulantenerzeugende Funktion ist
Damit sind die ersten Kumulanten und es gilt die Rekursionsgleichung
Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ist
Die charakteristische Funktion ist
Die momenterzeugende Funktion ist
Die Bernoulli-Verteilung ist ein Spezialfall der Binomialverteilung für . Mit anderen Worten, die Summe von unabhängigen Bernoulli-verteilten Zufallsgrößen mit identischem Parameter genügt der Binomialverteilung, demnach ist die Bernoulli-Verteilung nicht reproduktiv. Die Binomialverteilung ist die -fache Faltung der Bernoulli-Verteilung bei gleichem Parameter bzw. mit gleicher Wahrscheinlichkeit .
Die Summe von voneinander unabhängigen Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen, die alle einen unterschiedlichen Parameter besitzen, ist verallgemeinert binomialverteilt.
Die Summe von Bernoulli-verteilten Zufallsgrößen genügt für , und einer Poisson-Verteilung mit dem Parameter . Dies folgt direkt daraus, dass die Summe binomialverteilt ist und für die Binomialverteilung die Poisson-Approximation gilt.
Die Bernoulli-Verteilung ist ein Spezialfall der Zweipunktverteilung mit . Umgekehrt ist die Zweipunktverteilung eine Verallgemeinerung der Bernoulli-Verteilung auf beliebige zweielementige Punktmengen.
Sowohl die Bernoulli-Verteilung mit als auch die Rademacher-Verteilung modellieren einen fairen Münzwurf (oder eine faire, zufällige Ja/Nein-Entscheidung). Der Unterschied besteht lediglich darin, dass Kopf (Erfolg) und Zahl (Misserfolg) unterschiedlich codiert werden.
Bei Hintereinanderausführung von Bernoulli-verteilten Experimenten ist die Wartezeit auf den ersten Erfolg (oder letzten Misserfolg, je nach Definition) geometrisch verteilt.
Die Bernoulli-Verteilung mit ist eine diskrete Gleichverteilung auf .
Die Bernoulli-Verteilung lässt sich auch aus dem Urnenmodell erzeugen, wenn mit ist. Dann entspricht dies dem einmaligen Ziehen aus einer Urne mit Kugeln, von denen genau rot sind und alle anderen eine andere Farbe besitzen. Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, ist dann .
Bei der Simulation macht man sich zunutze, dass, wenn eine stetig gleichverteilte Zufallsvariable auf ist, die Zufallsvariable Bernoulli-verteilt ist mit Parameter . Da fast jeder Computer Standardzufallszahlen erzeugen kann, ist die Simulation wie folgend:
Dies entspricht genau der Inversionsmethode. Die einfache Simulierbarkeit von Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen kann auch zur Simulation von binomialverteilten oder verallgemeinert Binomialverteilten Zufallsvariablen genutzt werden.
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