Reproduktivitätseigenschaft

Die Reproduktivitätseigenschaft einer Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen besagt, dass die Summe von stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen mit Verteilungen aus dieser Familie eine Verteilung aus derselben Familie besitzt.^[1]

Reproduktiv in diesem Sinn sind etwa die Normalverteilungen, die Poisson-Verteilungen, die Gammaverteilungen, die Chi-Quadrat-Verteilungen und die Cauchy-Verteilungen. Eine mit Reproduktivität zusammenhängende Eigenschaft ist die unendliche Teilbarkeit. Für eine Diskussion der Unterschiede siehe dort.

Beispiel

Sind die reellen Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1}}$ und ${\displaystyle X_{2}}$ stochastisch unabhängig und normalverteilt mit

${\displaystyle X_{1}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{1},\sigma _{1}^{2})\quad {\text{und}}\quad X_{2}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{2},\sigma _{2}^{2})}$,

so ist die Zufallsvariable ${\displaystyle Y=X_{1}+X_{2}}$ ebenfalls normalverteilt mit

${\displaystyle Y\sim {\mathcal {N}}(\mu _{1}+\mu _{2},\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})}$.

Allgemein gilt: Aus ${\displaystyle X_{i}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}),\quad i=1,\ldots ,k}$ stochastisch unabhängig folgt:^[2]

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{k}X_{i}\sim {\mathcal {N}}\left(\sum \limits _{i=1}^{k}\mu _{i},\sum \limits _{i=1}^{k}\sigma _{i}^{2}\right)}$.

Mehrere Parameter

Wird eine Verteilung durch zwei oder mehrere Parameter beschrieben, so kann es vorkommen, dass Abgeschlossenheit nur bzgl. eines Parameters bei Festhalten der übrigen Parameter vorliegt. Sind zum Beispiel ${\displaystyle X_{n},X_{m}}$ binomialverteilt mit Parametern ${\displaystyle n,m}$ und ${\displaystyle p}$, also ${\displaystyle X_{n}\sim B_{n,p}}$ und ${\displaystyle X_{m}\sim B_{m,p}}$, so ist ${\displaystyle (X_{n}+X_{m})\sim B_{n+m,p}}$. Für festes ${\displaystyle p}$ ist also die Binomialverteilung ${\displaystyle B_{n,p}}$ reproduktiv bezüglich ${\displaystyle n}$. Obiges Beispiel der Normalverteilung zeigt, dass Abgeschlossenheit bei mehreren Parametern auch ohne eine solche Einschränkung vorliegen kann.

Literatur

• Karl Mosler, Friedrich Schmid: Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. 2. Auflage. Springer, Berlin 2006. ISBN 978-3-540-27787-3.

Einzelnachweise

1. Mosler, Schmid, Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik, 2006, S. 149.
2. Mosler, Schmid, Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik, 2006, S. 151.