Negative hypergeometrische Verteilung

Die negative hypergeometrische Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einem endlichen Träger. Sie gehört zu den univariaten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen und lässt sich aus dem Urnenmodell ableiten.

Eine Zufallsvariable $X$ auf dem Träger $T=\{k,\dots ,k+N-M\}$ heißt negativ hypergeometrisch verteilt, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion

f(n)={\frac {{\binom {n-1}{k-1}}\cdot {\binom {N-n}{M-k}}}{\binom {N}{M}}}={\frac {{\binom {-k}{n-k}}\cdot {\binom {k-M-1}{N-M-n+k}}}{\binom {-M-1}{N-M}}}

hat. Dabei ist $k\leq M\leq N$ . Man schreibt dann $X\sim \operatorname {NH} (N,M,k)$ .

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Die negativ hypergeometrische Verteilung entsteht elementar aus dem Urnenmodell. Betrachtet man eine Urne mit $N$ Kugeln, von denen $M$ markiert sind, und zieht aus dieser Urne ohne Zurücklegen, bis man $k$ markierte Kugeln gezogen hat, so ist die Wahrscheinlichkeit, dafür $n$ Ziehungen zu benötigen, negativ hypergeometrisch verteilt.

Denkt man sich dazu in $N$ Ziehungen nacheinander alle Kugeln einzeln aus der Urne gezogen, dann gibt es insgesamt ${\tbinom {N}{M}}$ Möglichkeiten, die $M$ markierten Kugeln auf die $N$ Ziehungen zu verteilen. Das Ereignis, dass genau im $n$ -ten Zug die $k$ -te markierte Kugel gezogen wird, tritt genau dann ein, wenn in den $n-1$ Zügen davor $k-1$ markierte Kugeln gezogen werden und in den $N-n$ Zügen danach die restlichen $M-k$ markierten Kugeln. Hierfür gibt es ${\tbinom {n-1}{k-1}}\cdot {\tbinom {N-n}{M-k}}$ Möglichkeiten.