Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung

Die Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung^[1] ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die 1931 von Harold Hotelling erstmals beschrieben wurde.^[2] Sie ist eine Verallgemeinerung der Studentschen t-Verteilung.

Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung
Dichtefunktion
Verteilungsfunktion
Parameter	p – Dimension der Zufallsvariablen m – verknüpft mit der Stichprobengröße
Träger	${\displaystyle x\in (0,+\infty )\;}$ if ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle x\in [0,+\infty )\;}$ otherwise.

Definition

Die quadratische Form

${\displaystyle t^{2}=n({\mathbf {x} }-{\mathbf {\mu } })'{\mathbf {W} }^{-1}({\mathbf {x} }-{\mathbf {\mu } })\sim T(p,n-1)}$

folgt einer Hotellingschen T-Quadrat-Verteilung mit

• ${\displaystyle n}$ einer Anzahl von Punkten
• ${\displaystyle {\mathbf {x} }}$ ist ein Spaltenvektor mit ${\displaystyle p}$ Elementen
• ${\displaystyle {\mathbf {W} }}$ ist eine ${\displaystyle p\times p}$-Kovarianzmatrix

Eigenschaften

Es sei ${\displaystyle x\sim N_{p}(\mu ,{\mathbf {V} })}$ eine Zufallsvariable mit einer multivariaten Normalverteilung und ${\displaystyle {\mathbf {W} }\sim W_{p}(m,{\mathbf {V} })}$ (unabhängig von ${\displaystyle x}$) habe eine Wishart-Verteilung mit einer nicht-singulären Kovarianzmatrix ${\displaystyle \mathbf {V} }$ und mit ${\displaystyle m=n-1}$. Dann ist die Verteilung von ${\displaystyle t^{2}}$: ${\displaystyle T^{2}(p,m)}$, Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung mit Parametern ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle m}$.

Für die F-Verteilung ${\displaystyle F}$ gilt:

${\displaystyle {\frac {m-p+1}{pm}}T^{2}\sim F_{p,m-p+1}}$.

Unter der Annahme, dass

${\displaystyle {\mathbf {x} }_{1},\dots ,{\mathbf {x} }_{n}}$

${\displaystyle p\times 1}$-Spaltenvektoren mit reellen Zahlen sind.

${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}=(\mathbf {x} _{1}+\cdots +\mathbf {x} _{n})/n}$

sei der Mittelwert. Die positiv definite ${\displaystyle p\times p}$-Matrix

${\displaystyle {\mathbf {W} }=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})(\mathbf {x} _{i}-{\overline {\mathbf {x} }})'/(n-1)}$

sei ihre Stichproben-Kovarianzmatrix. (Die Transponierte einer Matrix ${\displaystyle M}$ sei mit ${\displaystyle M'}$ bezeichnet). ${\displaystyle \mu }$ sei ein ${\displaystyle p\times 1}$-Spaltenvektor (bei Anwendung ein Schätzer des Mittelwertes). Dann ist die Hotellingsche T-Quadrat-Verteilung

${\displaystyle t^{2}=n({\overline {\mathbf {x} }}-{\mathbf {\mu } })'{\mathbf {W} }^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\mathbf {\mu } }).}$

${\displaystyle t^{2}}$ hat eine enge Beziehung zum quadrierten Mahalanobis-Abstand.

Wenn ${\displaystyle {\mathbf {x} }_{1},\dots ,{\mathbf {x} }_{n}\sim N_{p}(\mu ,{\mathbf {V} })}$ unabhängig sind und ${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}}$ und ${\displaystyle {\mathbf {W} }}$ wie oben definiert sind, dann hat ${\displaystyle {\mathbf {W} }}$ eine Wishart-Verteilung mit ${\displaystyle n-1}$ Freiheitsgraden, so dass^[3]

${\displaystyle \mathbf {W} \sim W_{p}(V,n-1)}$

und ist unabhängig von ${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}}$ und

${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}\sim {\mathcal {N}}_{p}(\mu ,V/n)}$.

Daraus folgt

${\displaystyle t^{2}=n({\overline {\mathbf {x} }}-{\mathbf {\mu } })'{\mathbf {W} }^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\mathbf {\mu } })\sim T^{2}(p,n-1).}$

Einzelnachweise

1. Hotelling's T². Glossary of statistical terms. In: International Statistical Institute. 1. Juni 2011, abgerufen am 25. September 2020 (englisch).
2. H. Hotelling (1931). The generalization of Student’s ratio, Ann. Math. Statist., 2(3), S. 360–378, doi:10.1214/aoms/1177732979 JSTOR:2957535.
3. K.V. Mardia, J.T. Kent, and J.M. Bibby (1979) Multivariate Analysis, Academic Press, ISBN 0-12-471250-9.

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | Dirac | diskret uniform | empirisch | hypergeometrisch | kategorial | negativ hypergeometrisch | Rademacher | verallgemeinert binomial | Zipf | Zipf-Mandelbrot | Zweipunkt

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | discrete-Phase-Type | erweitert negativ binomial | Gauss-Kuzmin | gemischt Poisson | geometrisch | logarithmisch | negativ binomial | parabolisch-fraktal | Poisson | Skellam | verallgemeinert Poisson | Yule-Simon | Zeta

Kontinuierliche univariate Verteilungen

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall:
Beta | Cantor | Kumaraswamy | raised Cosine | Dreieck | Trapez | U-quadratisch | stetig uniform | Wigner-Halbkreis

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall:
Beta prime | Bose-Einstein | Burr | Chi | Chi-Quadrat | Coxian | Erlang | Exponential | Extremwert | F | Fermi-Dirac | Folded normal | Fréchet | Gamma | Gamma-Gamma | verallgemeinert invers Gauß | halblogistisch | halbnormal | Hartman-Watson | Hotellings T-Quadrat | hyper-exponentiale | hypoexponential | invers Chi-Quadrat | scale-invers Chi-Quadrat | Invers Normal | Invers Gamma | Kolmogorow-Verteilung | Lévy | log-normal | log-logistisch | Maxwell-Boltzmann | Maxwell-Speed | Nakagami | nichtzentriert Chi-Quadrat | Pareto | Phase-Type | Rayleigh | relativistisch Breit-Wigner | Rice | Rosin-Rammler | shifted Gompertz | truncated normal | Type-2-Gumbel | Weibull | Wilks’ Lambda

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy | Extremwert | exponential Power | Fishers z | Fisher-Tippett (Gumbel) | generalized hyperbolic | Hyperbolic-secant | Landau | Laplace | alpha-stabil | logistisch | normal (Gauß) | normal-invers Gauß’sch | Skew-normal | Studentsche t | Type-1-Gumbel | Variance-Gamma | Voigt

Multivariate Verteilungen

Diskrete multivariate Verteilungen:
Dirichlet compound multinomial | Ewens | gemischt Multinomial | multinomial | multivariat hypergeometrisch | multivariat Poisson | negativmultinomial | Pólya/Eggenberger | polyhypergeometrisch

Kontinuierliche multivariate Verteilungen:
Dirichlet | GEM | generalized Dirichlet | multivariat normal | multivariat Student | normalskaliert invers Gamma | Normal-Gamma | Poisson-Dirichlet

Multivariate Matrixverteilungen:
Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit | Invers Wishart | Matrix Beta | Matrix Gamma | Matrix invers Beta | Matrix invers Gamma | Matrix Normal | Matrix Student-t | Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung | Normal-invers-Wishart | Normal-Wishart | Wishart