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mathematische Funktion Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Die Möbiusfunktion (auch Möbiussche μ-Funktion genannt) ist eine wichtige multiplikative Funktion in der Zahlentheorie und der Kombinatorik. Sie ist nach dem deutschen Mathematiker August Ferdinand Möbius benannt, der sie erstmals im Jahr 1831 eingeführt hat. Diese Funktion ist ein Spezialfall der allgemeiner definierten Möbiusfunktion einer Halbordnung, wobei sich die hier zugrunde liegende Halbordnung durch Teilbarkeitsrelationen ergibt.
Leonhard Euler betrachtete schon im 18. Jahrhundert Reihen mit der Möbiusfunktion in den Koeffizienten, ohne diese explizit zu definieren.[1]
Der Wert ist für alle natürlichen Zahlen definiert und nimmt nur Werte aus der Menge an. Die Funktionswerte hängen von der Primfaktorzerlegung von ab:
wobei voneinander verschiedene Primzahlen bezeichnen soll. ist als leeres Produkt und Zerlegung von zu verstehen.
Die Möbiusfunktion wird nun wie folgt definiert:
Der Funktionswert bleibt undefiniert oder wird auf gesetzt.
Die ersten 20 Werte der Möbiusfunktion lauten (Folge A008683 in OEIS):
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
μ(n) | 1 | −1 | −1 | 0 | −1 | 1 | −1 | 0 | 0 | 1 | −1 | 0 | −1 | 1 | 1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 |
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 30, 31, 37, … | (Folge A030059 in OEIS) | |
4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, … | (Folge A013929 in OEIS) | |
1, 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35, 38, 39, … | (Folge A030229 in OEIS) |
Die nach Franz Mertens benannte Mertens-Funktion stellt eine Summation über die Möbiusfunktion dar:
Dies entspricht der Differenz der Anzahl an quadratfreien Zahlen mit einer geradzahligen Anzahl von Primfaktoren zur Anzahl solcher mit einer ungeradzahligen Anzahl von Primfaktoren bis zur Zahl . Die Mertens-Funktion oszilliert anscheinend chaotisch.
Nulldurchgänge der Mertens-Funktion finden sich bei:
Vermutungen über das asymptotische Verhalten von Möbius- und Mertensfunktion stehen im Zusammenhang mit der Riemannschen Vermutung, die äquivalent zu folgender Aussage ist: Für alle gilt
unter Verwendung der Landau-Symbole. Die Aussage
ist nach Edmund Landau äquivalent zum Primzahlsatz.[3]
Die Chowla-Vermutung lässt sich sowohl für die Liouville-Funktion als auch für die Möbiusfunktion formulieren:
für beliebige natürliche Zahlen und , bei denen nicht alle gerade sind (wobei man sich wegen auf beschränken kann). bedeutet asymptotisch verschwindend mit (siehe Landau-Symbole). Falls nur eine der Zahlen ungerade ist, ist dies äquivalent zum Primzahlsatz in arithmetischen Progressionen. Ansonsten ist die Vermutung offen.
Eine weitere Vermutung, die das zufällige Verhalten der Vorzeichen der Möbiusfunktion beschreibt, ist die Vermutung von Peter Sarnak. Sei eine komplexwertige, beschränkte arithmetische Funktion, die deterministisch sei (die topologische Entropie der Folge verschwindet).[4] Dann gilt nach der Sarnak-Vermutung:
Sie ist im Allgemeinen offen, allerdings sind Spezialfälle bekannt. Für eine konstante Folge ist das im Wesentlichen der Primzahlsatz, für periodische Folgen der Primzahlsatz in arithmetischen Progressionen, für quasiperiodische Folgen folgt das aus einem Satz von Harold Davenport und für Horozyklen-Flüsse aus einem Satz von Sarnak, Tamar Ziegler und Jean Bourgain. Die Sarnak-Vermutung folgt nach Sarnak aus der Chowla-Vermutung.
Die Umformulierung des Siebes des Eratosthenes durch Adrien-Marie Legendre mit Hilfe der Möbiusfunktion und einer zugehörigen, nach Legendre benannten Identität, steht am Anfang der modernen Siebtheorie.
Sie spielt eine Rolle in der Fermionen-Version des Toy-Modells zur Interpretation der Riemannschen Zetafunktion beim Primonengas.
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