Mersenne-primtal

Mersenne-primtal er primtal på formen 2ⁿ-1. Dvs. alle de primtal der kan skrives som en potens af 2 minus 1. De er opkaldt efter den franske munk Marin Mersenne (1588–1648), som undersøgte disse tal, herunder specielt hvorvidt de var primtal. En nødvendig (men ikke tilstrækkelig) betingelse for, at 2ⁿ-1 er primtal, er, at n selv er et primtal, idet hvis p er en ægte divisor i n, så er 2^p-1 en ægte divisor i 2ⁿ-1.

Udviklingen siden 1950 i antallet af cifre i det størst kendte mersenne-primtal

Der findes forholdsvis simple metoder til at beregne, om et mersennetal er et primtal. Lucas–Lehmer-testen kan bevise, at mersennetallet er primisk ved hjælp af kun n operationer. Dette betyder, at verdens største kendte primtal som regel er mersenneprimtal.

Marin Mersenne påstod, at mersennetallene var primiske for n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 og 257 og sammensatte for øvrige værdier af n. Senere undersøgelser har vist, at n = 67 og 257 ikke giver primtal, og at n = 61, 87 og 107 giver mersenneprimtal.

Der formodes at være uendeligt mange mersenneprimtal, men dette er ikke bevist.

Fra et mersenneprimtal kan man konstruere et fuldkomment tal (Euklid), og alle lige fuldkomne tal fremkommer på denne måde (Euler).

GIMPS er en gruppe på Internettet, som bruger deres ledige computertid til at finde nye og større mersenneprimtal. I oktober 2024 kendtes der i alt 52 mersenneprimtal hvoraf GIMPS havde fundet de 18 største:

#	n	Cifre i 2n-1	Fundet	Opdager
1	2	1	oldtiden	ukendt
2	3	1	oldtiden	ukendt
3	5	2	oldtiden	ukendt
4	7	3	oldtiden	ukendt
5	13	4	1456	ukendt
6	17	6	1588	Cataldi
7	19	6	1588	Cataldi
8	31	10	1772	Euler
9	61	19	1883	Pervushin
10	89	27	1911	Powers
11	107	33	1914	Powers
12	127	39	1876	Lucas
13	521	157	1952	Robinson
14	607	183	1952	Robinson
15	1.279	386	1952	Robinson
16	2.203	664	1952	Robinson
17	2.281	687	1952	Robinson
18	3.217	969	1957	Riesel
19	4.253	1.281	1961	Hurwitz
20	4.423	1.332	1961	Hurwitz
21	9.689	2.917	1963	Gillies
22	9.941	2.993	1963	Gillies
23	11.213	3.376	1963	Gillies
24	19.937	6.002	1971	Tuckerman
25	21.701	6.533	1978	Noll & Nickel
26	23.209	6.987	1979	Noll
27	44.497	13.395	1979	Nelson & Slowinski
28	86.243	25.962	1982	Slowinski
29	110.503	33.265	1988	Colquitt & Welsh
30	132.049	39.751	1983	Slowinski
31	216.091	65.050	1985	Slowinski
32	756.839	227.832	1992	Slowinski & Gage
33	859.433	258.716	1994	Slowinski & Gage
34	1.257.787	378.632	1996	Slowinski & Gage
35	1.398.269	420.921	13. november 1996	GIMPS
36	2.976.221	895.932	24. august 1997	GIMPS
37	3.021.377	909.526	27. januar 1998	GIMPS
38	6.972.593	2.098.960	1. juni 1999	GIMPS
39	13.466.917	4.053.946	14. november 2001	GIMPS
40	20.996.011	6.320.430	17. november 2003	GIMPS
41	24.036.583	7.235.733	15. maj 2004	GIMPS
42	25.964.951	7.816.230	18. februar 2005	GIMPS
43	30.402.457	9.152.052	15. december 2005	GIMPS
44	32.582.657	9.808.358	4. september 2006	GIMPS
45	37.156.667	11.185.272	6. september 2008	GIMPS
46	42.643.801	12.837.064	12. april 2009	GIMPS
47	43.112.609	12.978.189	23. august 2008	GIMPS
48	57.885.161	17.425.170	25. januar 2013	GIMPS
49*	74.207.281	22.338.618	17. september 2015	GIMPS
50*	77.232.917	23.249.425	26. december 2017	GIMPS
51*	82.589.933	24.862.048	7. december 2018	GIMPS
52*	136.279.841	41.024.320	21. oktober 2024	GIMPS

^*Det er endnu ikke bevist at der ikke eksisterer andre mersenneprimtal mellem det 48. og 52. mersenneprimtal. Nummereringen er derfor kun foreløbig.

Se også

• Fermatprimtal

Eksterne henvisninger

• www.mersenne.org – GIMPS (The Great Internet Mersenne Prime Search)