Dělitelnost

Dělitelnost je vlastnost dvojic celých čísel. Celé číslo p je dělitelné nenulovým celým číslem q (číslo q dělí p) právě tehdy, když p je celočíselným násobkem q, tj. jestliže existuje takové celé číslo k, pro které platí, že

p = kq.

Tato relace se obvykle značí ${\displaystyle q\mid p}$. Např. číslo 27 je dělitelné třemi, neboť 27 = 9 · 3. Jiná definice: p je dělitelné q, jestliže zbytek po dělení ${\displaystyle p/q}$ je nula.

Formální definice

Pro ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {Z} }$ definujeme relaci dělitelnosti jako ${\displaystyle q\mid p\iff \exists k\in \mathbb {Z} :p=k\cdot q.}$ Podle konvence se někdy přidává předpoklad ${\displaystyle q\neq 0}$, ale obvykle není nutný.

Obecně

• Číslo p se nazývá dělenec,
• číslo q se nazývá dělitel,
• číslo k se nazývá podílem čísla p při dělení číslem q, (jednoznačně určen s výjimkou pro p=0)
• v oboru celých čísel mají čísla p a −p tytéž dělitele,
• čísla 1, −1, p a −p se nazývají nevlastní (triviální) dělitelé čísel p a −p,
• existují-li ještě další dělitelé, nazývají se vlastní dělitelé (netriviální),
• každé celé číslo mimo nulu je dělitelem nuly, nula ale není dělitelem žádného celého čísla různého od nuly.

Vlastnosti dělitelnosti

Pro všechna ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} }$ platí:

• ${\displaystyle a\mid a}$ (reflexivita)
• ${\displaystyle (a\mid b\land b\mid c)\implies a|c}$ (tranzitivita)
• ${\displaystyle a\mid b\implies \forall k\in \mathbb {Z} :a\mid (k\cdot b)}$ (Jestliže a dělí b, tak a dělí jakýkoli násobek b.)
• ${\displaystyle a\mid b\land a\mid c\implies a\mid (b+c)}$ (Když a dělí dvě čísla, tak a dělí i jejich součet.)

Prvočísla

Přirozené číslo větší než 1, které je dělitelné pouze číslem 1 a samo sebou, se nazývá prvočíslo. Přirozené číslo větší než 1, které není prvočíslem, se nazývá složené číslo.

Dělitelnost prvočíslem

Pro každé přirozené číslo a větší jedné existuje alespoň jedno prvočíslo p, které dělí a. Pokud navíc a je složené, tak ${\displaystyle p\leq {\sqrt {a}}}$.

Důkaz je následovný:

Množina dělitelů a bez 1 je konečná, nechť tedy p je její minimum. Pokud a je prvočíslo, tak a = p, tím pádem existuje prvočíslo, které dělí a.

Pokud a je složené, tak p je prvočíslo. Tento fakt lze dokázat sporem. Předpokládejme, že p není prvočíslo. Potom p = q · r (1 < q < p < a). Ovšem pokud p dělí a a q dělí p, tak q dělí a. Avšak 1 < q < p, což odporuje faktu, že p je nejmenší dělitel a větší jedné. Z toho vyplývá, že p je prvočíslo.

Zbývá dokázat, že ${\displaystyle p\leq {\sqrt {a}}}$.

Nechť a = p · k ( k ∈${\displaystyle \mathbb {N} }$). Platí p ≤ k · p ≤ ${\displaystyle k^{2}}$, p · k = a ≤ ${\displaystyle k^{2}}$

${\displaystyle p\leq {\sqrt {a}}\leq k}$

Prvočinitel

Prvočíslo, které dělí číslo p, se nazývá prvočinitel. Každé složené číslo lze napsat jako součin prvočinitelů. Tento zápis (pokud nebereme v úvahu pořadí prvočinitelů) je pro každé číslo jedinečný (viz faktorizace).

Každé prvočíslo s výjimkou čísla 1 má jen 2 dělitele; sebe samo a 1. Číslo 1 má jen sebe samo a tudíž má exkluzivní postavení, není ani prvočíslem ani číslem složeným.

Dvě čísla se nazývají soudělná, když mají společného dělitele většího než 1. Pokud takového dělitele nemají, pak se nazývají nesoudělná.

Kritéria dělitelnosti

Následující tabulka obsahuje kritéria dělitelnosti celých čísel v desítkové číselné soustavě, která umožňují snadno zjistit, je-li celé číslo dělitelné malým číslem q. Pokud je kritériem dělitelnost výsledku nějakého postupu, lze na něj opět použít stejný postup.

q	kritérium	příklad
0	dělení nulou není v celých číslech definováno
1	všechna celá čísla jsou dělitelná 1	1, 6, 329
2	je-li na místě jednotek sudé číslo	128, 1 102
3	je-li ciferný součet dělitelný 3	228 → 2+2+8 = 12 → 1+2 = 3
4	je-li poslední dvojčíslí dělitelné 4	612, 1 108
5	je-li na místě jednotek 5 nebo 0	35, 10 040
6	je-li číslo dělitelné 2 a 3 (viz výše)	924, 29 952
7	je-li rozdíl součtu lichých a sudých trojic cifer dělitelný 7	2 022 048 → 002-022+048 = 28
	je-li sedmi dělitelný součet vypočtený tak, že se první až n-tá číslice odzadu vynásobí postupně čísly (periodicky se opakujícími): 1, 3, 2, 6, 4, 5	138 309 241 → 1×1+4×3+2×2+9×6+0×4+3×5+8×1+3×3+1×2=105 → 5×1+0×3+1×2=7
	je-li rozdíl zbývající části a poslední číslice vynásobené 2 dělitelný 7	1 946 → 194 − (2×6) = 182 → 18 − (2×2) = 14
	je-li součet zbývající části a poslední číslice vynásobené 5 dělitelný 7	1 946 → 194 + (5×6) = 224 → 22 + (5×4) = 42
	je-li po opakovaném odečítání z čísla násobků 7 končících na stejnou cifru (mohou být jakékoliv) a následném dělení čísla deseti výsledek nula (když číslo není dělitelné 7, výsledek přejde do záporných čísel)	7 436 429 − 49 = 7 436 380 / : 10 743 638 − 28 = 743 610 / : 10 74 361 − 91 = 74 270 / : 10 7 427 − 7 = 7 420 / : 10 742 − 42 = 700 / : 10 70 - 70 = 0
8	je-li poslední trojčíslí dělitelné 8	12 504
	je-li poslední dvojčíslí dělitelné 8 a na místě stovek je sudé číslo	208, 123 672
	je-li poslední dvojčíslí zvětšené (či zmenšené) o 4 dělitelné 8 a na místě stovek je liché číslo	104, 234 760
9	je-li ciferný součet dělitelný 9	1 683 → 1+6+8+3=18 → 1+8 = 9 → OK
10	je-li na místě jednotek 0	1 120, 2 280
11	je-li rozdíl součtu číslic na sudém a lichém místě dělitelný jedenácti	5 357 → −5 +3 −5 +7 = 0 → OK
	je-li součet jednotlivých dvojčíslí dělitelný 11	5 357 → 53 + 57= 110 → OK
	je-li rozdíl trojčíslí na sudých a lichých místech dělitelný 11	5 357 → −5 + 357 = 352
12	je-li číslo dělitelné 3 a 4 (viz výše)	65 520 → 6+5+5+2+0=18 → dělitelné 3 → OK; 65 520 → 20/4=5 → OK
13	je-li rozdíl součtů lichých a sudých trojic cifer dělitelný třinácti	2 022046 → 2 + 46 − 22 = 26 → dělitelné 13 → OK
14	je-li číslo dělitelné 2 a 7 (viz výše)	868, 5 564
15	je-li číslo dělitelné 3 a 5 (viz výše)	930, 1 170
16	je-li poslední čtyřčíslí dělitelné 16	736, 1 156, 21 152
	je-li součet čtyřnásobku zbývající části a posledního dvojčíslí dělitelný 16	11 312 → (4×113) + 12 = 464 → (4×4) + 64 = 80
17	je-li výsledek následujícího postupu dělitelný sedmnácti: střídavě se odečítají a přičítají dvojice cifer vynásobené 2 a mezivýsledky se vždy dělí dvěma. Konečný výsledek se pak vynásobí násobkem deseti tak, aby vyšlo celé číslo.	51 153 → ((53−(2×11))/2 + 2×5 = 25,5 a 255 je dělitelné 17)
	je-li rozdíl zbývající části a pětinásobku poslední číslice dělitelný 17	867 → 86 − (5×7) = 51 je dělitelné 17
18	je-li číslo dělitelné 2 a 9 (viz výše)	1 134, 162
19	je-li součet zbývající části a dvojnásobku poslední číslice dělitelný 19	10 735 → 1 073+(2×5) = 1 083 → 108+(2×3) =114 → 11+(2×4) = 19
20	je-li číslo dělitelné 4 a 5 (viz výše)
	je-li poslední dvojčíslí dělitelné 20	1 180, 5 542 200
21	je-li číslo dělitelné 3 a 7 (viz výše)
	je-li rozdíl zbývající části a dvojnásobku poslední číslice dělitelný 21	273 → 27 − (2×3) = 21
22	je-li číslo dělitelné 2 a 11 (viz výše)	396, 1 474
23	je-li součet zbývající části a sedminásobku poslední číslice dělitelný 23	3128 → 312+(7×8) = 368 → 36+(7×8) = 92
	je-li součet zbývající části a trojnásobku posledních 2 číslice dělitelný 23	1725 → 17+(3×25) = 92
24	je-li číslo dělitelné 3 a 8 (viz výše)	456, 1 656
25	je-li poslední dvojčíslí 00 nebo dělitelné 25 – tedy 25, 50 nebo 75	125, 15 575
30	je-li číslo dělitelné 3 a 10 (viz výše)	4 490, 631 110
40	je-li poslední trojčíslí 000 nebo dělitelné 40	5 200, 6 840
50	je-li poslední dvojčíslí 00 nebo 50	550, 700
100	je-li poslední dvojčíslí 00	15 500, 700
1000	je-li poslední trojčíslí 000	154 000, 7 000
10 000	je-li poslední čtyřčíslí 0000	154 0000, 7 0000

Obecné kritérium dělitelnosti

Libovolné kritérium dělitelnosti lze zapsat jako ciferný součet s vahami – číslo x je dělitelné prvočíslem n právě když Σ_k α_ka_k je dělitelné n, kde x = a₀ + 10a₁ + 100a₂ + 1000a₃ + … + 10ⁿa_n, neboli je zapsáno v poziční soustavě se základem 10.

Jednotlivé váhy v ciferném součtu jsou řešení jednoduchých kongruencí ${\displaystyle \alpha _{k}\equiv 10^{k}\,(mod\ n)}$. Řešení jsou tedy zbytky po dělení 10^k/n.

Například číslo x je dělitelné 17 právě když a₀ − 7a₁ − 2a₂ − 3a₃ + 4a₄ + 6a₅ − 8a₆ + 5a₇ − a₈ + 7a₉ + 2a₁₀ + 3a₁₁ − 4a₁₂ − 6a₁₃ + 8a₁₄ − 5a₁₅ + a₁₆ + … je dělitelné 17.

Externí odkazy

• BAKALÁŘSKÁ PRÁCE DĚLITELNOST – modely dělitelnosti v různých soustavách a v gaussových oborech integrity