Důkaz sporem

Tento článek je o důkazu sporem jako o neformálním důkazu ve smyslu běžně používaném v matematice, logice i v běžném uvažování. O formálním sporu jako o pojmu matematické logiky pojednává článek bezesporná teorie.

Důkaz sporem (reductio ad absurdum) je typ logického důkazu, ve kterém se prokáže, že předpoklad vede k nesmyslnému výsledku (ke sporu), což znamená, že předpoklad je nepravdivý, a tedy platí jeho negace. Jelikož je důkaz sporem založen na zákonu o vyloučení třetího, lze jej použít pouze v těch logických systémech, ve kterých tento zákon platí. Důkaz sporem tedy nelze využít např. ve vícehodnotových logikách či v intuicionistické logice.

Použití ve formální logice

Řekněme, že je cílem dokázat tvrzení p. Důkaz sporem probíhá tak, že se odvodí, že tvrzení „není pravda, že p“ vede k logickému sporu. Tvrzení p tedy nemůže být nepravdivé a musí být, díky zákonu o vyloučení třetího, pravdivé.

Příklad

Úkolem je dokázat tvrzení „neexistuje nejmenší racionální číslo větší než nula“. V důkazu sporem se nejprve předpokládá opak, tedy že takové číslo existuje, označme je třeba r₀. Nyní buď x = r₀ : 2. Tím se získá číslo x, které je racionální, je větší než nula a je menší než r₀, což je ve sporu s předpokladem. Tím důkaz sporem končí, původní předpoklad („neexistuje nejmenší racionální číslo větší než nula“) byl správný.

Použití ve filosofii

Důkaz sporem může být využit mnoha způsoby, například tak jako v následujícím příkladu.

Vyvracené tvrzení: Žádné náboženství by nemělo být omezováno.

Důkaz sporem:

• Empiricky víme, že existují taková náboženství (např. aztécké náboženství), jejichž podstatnou složkou je provádění lidských obětí.
• Jestliže platí tvrzení, že žádné náboženství by nemělo být omezováno, pak z toho vyplývá, že by neměla být omezována ani náboženství provádějící lidské oběti a jejich věřící mohou provádět lidskou oběť, kdykoli to pokládají za vhodné.
• Odmítáme-li tvrzení, že právo věřících určitého náboženství na vykonávání lidských obětí by nemělo být omezováno, pak musíme odmítnout i tvrzení, že žádné náboženství by nemělo být omezováno, protože existuje alespoň jedno náboženství, které by omezeno být mělo.

Není tedy pravda, že žádné náboženství by nemělo být omezováno.

Z tohoto důkazu nicméně nelze vyvozovat, že by měla být omezována všechna náboženství (protože nepřijatelné praktiky netvoří podstatný prvek všech náboženství), pouze to, že existují taková, která by omezována být měla.

Použití v právu

V právu patří argumentum reductionis ad absurdum k často užívaným metodám výkladu právních předpisů. Jestliže určitý výklad vede v jednom případě ke zjevně nepřijatelnému, absurdnímu závěru, pak je tento výklad třeba pokládat za nesprávný i v jiných případech, resp. jsou-li možné dva výklady a dokážeme-li, že jeden by vedl k absurdním důsledkům, pak je správný výklad druhý.

Související články

• Přímý důkaz
• Nepřímý důkaz
• Matematická indukce