Přímý důkaz

Tento článek je o přímém důkazu v matematice. O přímém důkazu v právu pojednává článek Důkaz (právo).

Přímý důkaz se v matematice používá k dokázání výroku, který má tvar implikace, kde ${\displaystyle A}$ je výchozí předpoklad a ${\displaystyle B}$ je výrok, který má být dokázán resp. odvozen (zápis ${\displaystyle A\Rightarrow B}$; věta ve tvaru „Jestliže platí předpoklad ${\displaystyle A}$, pak platí také tvrzení ${\displaystyle B}$“). Při dokazování pomocí přímého důkazu, je nutné si uvědomit, že pravdivost implikace lze dokázat bez znalosti pravdivosti jednotlivých výroků, které spojuje (na základě pravdivostní tabulky implikace). Důkaz vychází z předpokladu, na jehož základě jsou odvozována dílčí tvrzení tak dlouho, až se dospěje k dokazovanému tvrzení. Všechny kroky implikací jsou vyhodnoceny jako pravdivé, a tedy i odvozovaná tvrzení jsou pravdivá.

Zápis schematicky: ${\displaystyle (A\Rightarrow A_{1})\land (A_{1}\Rightarrow A_{2})\land \cdots \land (A_{n-1}\Rightarrow A_{n})\land (A_{n}\Rightarrow B)}$^[1]

Přímý důkaz jednoduchého výroku

Příklad1: ${\displaystyle a>1\Rightarrow a^{2}>1}$ (dokažte: jestliže platí, že a je větší než 1 pak platí také, že a na druhou je větší než 1)

Postup po krocích:

• Protože ${\displaystyle a>1}$, jistě platí také ${\displaystyle a>0}$ a též .
• Protože ${\displaystyle a}$ není rovno nule a je kladné, proměnnou lze vynásobit celou nerovnici. (Pokud ${\displaystyle a=0,}$ nelze násobit, pokud ${\displaystyle a<0,}$ při násobení by se obrátila nerovnost). Po vynásobení proměnnou ${\displaystyle a}$ : ${\displaystyle a>1=a^{2}>a}$.
• Je zřejmé , že ${\displaystyle a>1}$ a zároveň platí ${\displaystyle a^{2}>a}$. Složením výrazů vznikne: ${\displaystyle a^{2}>a>1}$
• Odstraněním prostředního výrazu vznikne výraz: ${\displaystyle a^{2}>1}$. To lze zapsat, protože ${\displaystyle a}$ je větší než jedna a ${\displaystyle a^{2}}$ je větší než ${\displaystyle a}$. Pokud je ${\displaystyle a^{2}}$ větší než ${\displaystyle a}$, je zároveň větší než jedna, pak je jistě ${\displaystyle a^{2}}$ větší než jedna.

Symbolicky lze zapsat: ${\displaystyle a>1\Rightarrow a>0\Rightarrow a^{2}>a>1\Rightarrow a^{2}>1}$

Přímý důkaz implikace

Implikaci lze dokázat podobně jako jednoduchý výrok. Místo úvodního pravdivého tvrzené (výroku) se vezme „levá strana“ implikace. Pro dokázání implikace ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ , se vyjde z výroku ${\displaystyle A}$  a vytvoří se řetězec pravdivých implikací: ${\displaystyle A\Rightarrow C\Rightarrow D\Rightarrow ...\Rightarrow B}$.

Příklad 2: Dokažte, že pro všechna reálná čísla platí nerovnice$${\displaystyle {\sqrt {\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}\geq {\frac {|x+y|}{2}}.}$$

Ekvivalentní úpravy - umocnění obou stran nerovnice: $${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}\geq {\Bigl (}{\frac {x+y}{2}}{\Bigr )}^{2},}$$

umocnění pravé strany nerovnice, odstranění zlomku a zjednodušení:$${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}\geq {\frac {x^{2}+2xy+y^{2}}{4}},}$$$${\displaystyle 2x^{2}+2y^{2}\geq x^{2}+2xy+y^{2},}$$$${\displaystyle x^{2}-2xy+y^{2}\geq 0,}$$$${\displaystyle (x-y)^{2}\geq 0.}$$

Protože všechny provedené úpravy byly ekvivalentní, vyplývá z platného tvrzení ${\displaystyle (x-y)^{2}\geq 0}$ platnost všech předchozích úprav. Proto musí být nutně platné i původní tvrzení ${\displaystyle {\sqrt {\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}\geq {\frac {|x+y|}{2}}}$

Z úprav také plyne, že ve všech případech také nastane rovnost, a to pro hodnotu, kdy ${\displaystyle x=y.}$

Reference

1. Matematická logika. www2.karlin.mff.cuni.cz [online]. [cit. 2021-04-12]. Dostupné online.

Související články

• Matematický důkaz
• Nepřímý důkaz
• Důkaz sporem
• Matematická indukce

Externí odkazy

Řešené příklady (SŠ)