přirozené číslo větší než 1 dělitelné jen jedničkou a samo sebou From Wikipedia, the free encyclopedia
Prvočíslo je přirozené číslo větší než 1, které je beze zbytku dělitelné jen dvěma děliteli: jedničkou a samo sebou. Jednička není prvočíslo, neboť nemá dva různé dělitele. Přirozená čísla větší než jedna, která nejsou prvočísly, se nazývají složená čísla. Prvním prvočíslem je číslo 2, které je jediným sudým prvočíslem.
Číslo je prvočíslem právě když platí: nebo ekvivalentně .
Číslo 13 má při dělení dvěma zbytek 1, při dělení třemi zbytek 1, při dělení pěti zbytek 3 atd. Říkáme, že je těmito čísly nedělitelné. Pouze při dělení 1 a 13 je zbytek 0 (dělitelné). Proto je 13 prvočíslo.
Číslo 24 je dělitelné čísly 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Není proto prvočíslem, ale složeným číslem.
Jak říká základní věta aritmetiky, každé přirozené číslo je možno rozložit na právě jeden prvočíselný součin (např. 12 = 2×2×3). Pokud by byla jednička zahrnuta do množiny prvočísel, bylo by takových rozkladů vždy nekonečně mnoho (12 = 2×2×3 = 1×2×2×3 = 1×1×2×2×3 = …). Proto se jednička za prvočíslo nepovažuje, přestože podmínku dělitelnosti pouze sebou samým a jedničkou splňuje. V rámci obecnějších teorií jsou prvočísla takzvanými prvočiniteli, zatímco jednička patří mezi takzvané jednotky.
Zkoumáním vlastností prvočísel se zabývá teorie čísel. Zobecněním prvočísel jsou v abstraktní algebře prvočinitelé.
Prvočísel je nekonečně mnoho. (Důkaz sporem: Nechť existuje jen konečně mnoho prvočísel. Označme je . Potom číslo není dělitelné žádným z těchto prvočísel, jelikož při dělení dostaneme vždy zbytek 1. Tím pádem číslo musí být buď prvočíslo, nebo musí být dělitelné nějakým jiným prvočíslem. To ale znamená, že množina prvočísel z počátku důkazu nebyla úplná, což je spor s předpokladem. Tento důkaz předvedl Eukleidés.)
Podle Bertrandova postulátu lze nalézt vždy alespoň jedno prvočíslo mezi čísly a pro . Ve skutečnosti jich však existuje pro vyšší daleko více. (I z této věty lze dovodit, že prvočísel je nekonečně mnoho.)
Naproti tomu lze nalézt libovolně dlouhé intervaly přirozených čísel, kde se nevyskytuje žádné prvočíslo. Například interval obsahuje složených čísel. Tato čísla jsou totiž po řadě dělitelná dvěma, třemi, …, .
Mnoho hypotéz o rozložení prvočísel je dodnes nevyřešených. Jeden otevřený problém je tzv. Riemannova hypotéza, která souvisí s pravidelností rozložení prvočísel a za jejíž důkaz je vypsána odměna milion dolarů.
Některá prvočísla lze vyjádřit v některé z několika matematicky zajímavých podob. Patří sem například:
Velký praktický význam mají prvočísla v kryptografii, například v šifrovacích systémech jako je RSA.
Pro vytvoření seznamu prvočísel existují různé algoritmy, např. Eratosthenovo síto.
Otestovat, zda je číslo prvočíslem, tedy testovat prvočíselnost je možné asymptoticky v polynomiálním čase algoritmem AKS, nalezeným roku 2002. Asymptoticky rekordní rychlost ovšem neznamená, že se jedná o algoritmus prakticky nejvýhodnější. V praxi bývá častější použití některého z pravděpodobnostních algoritmů, například Millerova-Rabinova algoritmu.
Testování prvočíselnosti pomocí algoritmu využívajícího vlastností eliptických křivek (ECPP) je nejrychlejší známý algoritmus.[3]
Následující jednoduchý algoritmus implementovaný v jazyce C++ zkouší dělit vstup všemi menšími čísly od 2 do jeho odmocniny - pokud nalezne v tomto intervalu dělitele zadaného čísla, je jasné, že zadané číslo není prvočíslo. Testovat stačí pouze do odmocniny, protože pokud n je složené číslo, můžeme psát: pro . Pokud by nestačilo testovat do odmocniny, znamenalo by to, že a současně , vynásobíme-li ale tyto dva vztahy, máme , což je spor.
public static bool IsPrvocislo(int num)
{
if (num == 1)
return false;
int odmocnina = (int) floor(sqrt(num));
for (int i = 2; i <= odmocnina; i++)
{
if (num % i == 0)
return false;
}
return true;
}
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997
Největší známé prvočíslo je 282 589 933 − 1. Jedná se o číslo, které má 24 862 048 číslic v desítkové soustavě. Číslo bylo objeveno v rámci projektu GIMPS v prosinci 2018.[4] Jeho přesná podoba je uvedena níže, kde je pro zjednodušení zobrazeno pouze prvních a posledních 120 číslic.
148894445742041325547806458472397916603026273992795324185271289425213239361064475310309971132180337174752834401423587560 ...
(mezitím je 24 861 808 dalších číslic)
... 062107557947958297531595208807192693676521782184472526640076912114355308311969487633766457823695074037951210325217902591
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.