120nadstěn

V geometrii je stodvacetinadstěn (což je volný překlad anglického 120-cell), nebo také hekatonikosachoron platónské těleso ve čtyřrozměrném prostoru. Bývá považován za čtyřrozměrnou analogii dvanáctistěnu.

120nadstěn
Stodvacetinadstěn
Typ	Pravidelný polychoron
Nadstěn	120 (5.5.5)
Stěn	720 {5}
Hran	1200
Vrcholů	600
Uspořádání vrcholů	4 (5.5.5) (čtyřstěn)
Schläfliho symbol	{5,3,3}
Grupa symetrie	grupa [3,3,5]
Duální těleso	600nadstěn
Vlastnosti	konvexní
Tento box: zobrazit diskuse

3povrch 120nadstěnu je tvořen ze 120 nadstěn majících tvar dvanáctistěnu. V jednom vrcholu se potkávají 4 nadstěny.

Objem, povrch a další parametry

Následující vzorce udávají, jaký je objem 120nadstěnu, a jeho k-rozměrné povrchy (což je vždy obsah k-rozměrné stěny krát počet těchto stěn) v závislosti na hraně a.^[1][2]

${\displaystyle S_{1D}}$ je tedy délka všech hran kostry 120nadstěnu.

${\displaystyle V_{4D}={\sqrt {{\frac {1125}{8}}\left(2207+987{\sqrt {5}}\right)}}a^{4}}$

${\displaystyle S_{3D}=30(15+7{\sqrt {5}})a^{3}}$

${\displaystyle S_{2D}=180{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\;a^{2}}$

${\displaystyle S_{1D}=1200\;a\,}$

Poloměr vepsané koule je

${\displaystyle \rho ={\frac {7+3{\sqrt {5}}}{4}}\;a}$

a poloměr koule opsané je

${\displaystyle r={\sqrt {7+3{\sqrt {5}}}}\;a}$

Kartézská soustava souřadnic

600 vrcholů 120nadstěnu má následující souřadnice: Všechny permutace znamének

(0, 0, ±2, ±2)

(±1, ±1, ±1, ±√5)

(±τ⁻², ±τ, ±τ, ±τ)

(±τ⁻¹, ±τ⁻¹, ±τ⁻¹, ±τ²)

a všechny sudé permutace

(0, ±τ⁻², ±1, ±τ²)

(0, ±τ⁻¹, ±τ, ±√5)

(±τ⁻¹, ±1, ±τ, ±2)

kde τ (nebo také φ) je zlatý řez, (1+√5)/2.

Vícerozměrná geometrická tělesa
d=2	trojúhelník	čtverec	šestiúhelník	pětiúhelník
d=3	tetraedr	krychle, oktaedr	krychloktaedr, kosočtverečný dvanáctistěn	dvanáctistěn, dvacetistěn
d=4	5nadstěn	teserakt, 16nadstěn	24nadstěn	120nadstěn, 600nadstěn
d=5	5simplex	penterakt, 5ortoplex
d=6	6simplex	hexerakt, 6ortoplex
d=7	7simplex	hepterakt, 7ortoplex
d=8	8simplex	okterakt, 8ortoplex
d=9	9simplex	ennerakt, 9ortoplex
d=10	10simplex	dekerakt, 10ortoplex
d=11	11simplex	hendekerakt, 11ortoplex
d=12	12simplex	dodekerakt, 12ortoplex
d=13	13simplex	triskaidekerakt, 13ortoplex
d=14	14simplex	tetradekerakt, 14ortoplex
d=15	15simplex	pentadekerakt, 15ortoplex
d=16	16simplex	hexadekerakt, 16ortoplex
d=17	17simplex	heptadekerakt, 17ortoplex
d=18	18simplex	oktadekerakt, 18ortoplex
d=19	19simplex	ennedekerakt, 19ortoplex
d=20	20simplex	ikosarakt, 20ortoplex

Reference

1. KLITZING, Richard. Archivovaná kopie [online]. [cit. 2010-08-02]. Dostupné v archivu pořízeném dne 2010-08-09. (anglicky)
2. FONTAINE, David A. [cit. 2010-08-02]. Dostupné v archivu pořízeném dne 02-07-2004. (anglicky)

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu 120nadstěn na Wikimedia Commons

Portály: Matematika