Remove ads
en anàlisi funcional, espai vectorial topològic que generalitza els espais de Banach From Wikipedia, the free encyclopedia
En anàlisi funcional i àrees relacionades de les matemàtiques, un espai de Fréchet, nom provinent de Maurice Fréchet, són un tipus d'espais vectorials topològics. Són la generalització dels Espais de Banach (espais vectorials normats que són complets respecte a la mètrica provinent de la norma). Els espais de Fréchet són espais localment convexos que són complets respecte a una mètrica translacionalment simètrica. Al contrari que als espais de Banach, la mètrica no necessàriament prové d'una norma.
Per a altres significats, vegeu «Espai T1». |
Tot i que l'estructura topològica dels espais de Fréchet és més complicada que la dels espais de Banach degut a la falta de norma, molts resultats importants per a l'anàlisi funcional, com el teorema de la funció oberta, el teorema de la gràfica tancada i el teorema de Banach–Steinhaus, s'hi segueixen complint.
Espais de funcions contínuament diferenciables són exemples típics d'espais de Fréchet.
Els espais de Fréchet es poden definir de dues maneres equivalents. La primera implica una mètrica translacionalment simètrica, mentre que la segona implica una família numerable de seminormes.
Un espai vectorial topològic X és un Espai de Fréchet si i només si satisfà les tres propietats següents:
Noti's que no hi ha una noció de distància natural entre dos punts d'un espai de Fréchet: moltes mètriques translacionalment simètriques poden induir la mateixa topologia.
La definició alternativa (i en certa manera més pràctica) és la següent: un espai topològic X és un espai de Fréchet si i només si satisfà les següents tres propietats:
Una família de seminormes a topologia de Hausdorff si i només si:[1]
Una seqüència (xn) a X convergeix a x a l'espai de Fréchet definit per una família de seminormes si i només si convergeix a x respecte a cadascuna de les seminormes.
Recordem que una seminorma ǁ ⋅ ǁ és una funció d'un espai vectorial X als nombres reals que satisfà les propietats, per qualsevol x i y a X i qualssevol escalars c:
Si ǁxǁ = 0 implica x = 0, aleshores ǁ ⋅ ǁ és una norma. D'altra banda, les seminormes són útils per a construir espais de Fréchet.
Per construir un espai de Fréchet, normalment es comença amb un espai vectorial X i es defineix una família numerable de seminormes ǁ ⋅ ǁk sobre X amb les següents propietats:
Aleshores la topologia induïda per aquestes seminormes converteix X en un espai de Fréchet; la primera propietat implica que és Hausdorff, i la segona implica que és complet. Una mètrica completa translacionalment simètrica que indueix la mateixa topologia a X pot ser definida per:
Noti's que la funció u → u/(1+u) situa [0, ∞) monòtonament a [0, 1), i per tant la definició anterior assegura que d(x, y) és "petita" si i només si existeix K "gran" tal que ǁx - yǁk és "petita" per k = 0, …, K.
No tots els espais vectorials amb mètriques completament translacionalment simètriques són espais de Fréchet. Un exemple és l'espai Lp([0, 1]) amb p < 1. Aquest espai no és localment convex. És un F-espai.
Si un espai de Fréchet admet una norma contínua, podem prendre totes les seminormes com a normes afegint aquesta norma contínua a cadascuna. Un espai de Banach, C∞([a,b]), C∞(X, V) amb X compacte, i H admeten normes, mentre que Rω i C(R) no ho fan.
Un subespai tancat d'un espai de Fréchet també és de Fréchet. El quocient d'un espai de Fréchet per un subespai tancat també és de Fréchet. La suma directa d'un nombre finit d'espais de Fréchet és també de Fréchet.
Moltes eines d'anàlisi funcional basades en el teorema de categories de Baire romanen certes als espais de Fréchet, com per exemple el teorema de la gràfica tancada i el teorema de la funció oberta.
Tots els espais de Fréchet són estereotips. En la teoria d'espais estereotip els espais de Fréchet són duals respecte als espais de Brauner.
Si X i Y són espais de Fréchet, aleshores l'espai L(X,Y) de totes les aplicacions lineals contínues d' X a Y no és un espai de Fréchet de cap manera natural. Aquesta és una gran diferència entre la teoria dels espais de Banach i la dels espais de Fréchet i requereix una definició diferent per la diferenciabilitat contínua de funcions definides als espais de Fréchet, la derivada de Gâteaux:
Suposant que X i Y són espais de Fréchet, U és un subconjunt obert de X, P: U → Y és una funció, x ∈ U i h ∈ X. Diem que P és diferenciable a x en la direcció h si el límit
existeix. Es diu que P és contínuament diferenciable a U si
és contínua. Com el producte d'espais de Fréchet és de Fréchet, podem diferenciar D(P) i definir les derivades majors de P d'aquesta manera.
L'operador derivada P : C∞([0,1]) → C∞([0,1]) definit per P(ƒ) = ƒ′ és en si mateix infinitament diferenciable. La primera derivada ve donada per
per qualssevol dos elements ƒ i h a C∞([0,1]). Aquest és un gran avantatge de l'espai de Fréchet C∞([0,1]) sobre l'espai de Banack Ck([0,1]) per a k finit.
Si P : U → Y és una funció contínuament diferenciable, aleshores l'equació diferencial
no necessàriament té solució, i, encara que en tingui, les solucions no necessàriament són úniques. Això és un gran contrast amb la situació als espais de Banach.
El teorema de la funció inversa no es compleix als espais de Fréchet; n'és un substitut parcial el teorema de Nash-Moser.
Es pot definir les varietats de Fréchet com espais que "s'assemblen localment" a espais de Fréchet (de la manera que les variacions ordinàries s'assemblen localment a un espai euclidià Rn), i un pot estendre, doncs, el concepte de grup de Lie a aquestes varietats. Això és útil, ja que per a C∞-varietat M (ordinària) compacta, el conjunt de tots C∞ difeomorfismes ƒ: M → M forma un grup de Lie generalitzat en aquest sentit, i aquest grup de Lie captura les simetries de M. Algunes de les relacions entre les àlgebres de Lie i els grups de Lie es mantenen vigents.
Un altre exemple important de grup de Lie de Fréchet és el grup bucle d'un grup de Lie G compacte, els morfismes contínuament derivables (C∞) γ : S¹ → G, multiplicats puntualment per (γ1 γ₂)(t) = γ1(t) γ₂(t).[2][3]
Si no exigim que l'espai sigui localment convex, obtenim F-espais: espais vectorials amb mètriques completament translacionalment simètriques.
Els espais LF són límits inductius numerables dels espais de Fréchet.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.