Teorema de Banach-Steinhaus

En matemàtiques, en l'àrea d'anàlisi funcional, el teorema de Banach-Steinhaus o principi de la fita uniforme^[1][2] és un dels resultats bàsics. El seu enunciat és el següent:

Siguin ${\displaystyle E}$ i ${\displaystyle F}$ dos espais de Banach. Sigui ${\displaystyle {\mathcal {T}}\subset {\mathcal {L}}(E,F)}$ un subconjunt (no necessàriament numerable). Suposem que per a tot ${\displaystyle x\in {\mathcal {T}}}$ es tingui que ${\displaystyle \sup\{\|Tx\|_{F};T\in {\mathcal {T}}\}<\infty }$. Aleshores, ${\displaystyle \sup\{\|T\|_{{\mathcal {L}}(E,F)};T\in {\mathcal {T}}\}<\infty }$.

La demostració es basa en el teorema de categories de Baire.

Referències

1. Rudin, Walter. Functional Analysis (en anglès). New Delhi: Tata MacGraw-Hill, 1973. ISBN 978-0070542259.
2. Brézis, Haim. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations (en anglès). Nova York: Springer, 2011. ISBN 9780387709130.