Aplicació lineal

En matemàtiques, una aplicació lineal és un morfisme entre dos espais vectorials que respecta l'operació suma de vectors i la multiplicació escalar definides en aquests espais vectorials, o, en altres paraules que preserven les combinacions lineals.

Definicions

Sigui ${\displaystyle f:\mathbf {E} \rightarrow \mathbf {F} }$ una aplicació on ${\displaystyle \mathbf {E} }$ i ${\displaystyle \mathbf {F} }$ són dos ${\displaystyle \mathbb {K} }$-espais vectorials.

${\displaystyle \,f}$ és una aplicació lineal (o un morfisme de ${\displaystyle \mathbb {K} }$-espais vectorials) si: ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y),\;\forall x,y\in E}$ ${\displaystyle f(\lambda \cdot x)=\lambda \cdot f(x),\;\forall \lambda \in \mathbb {K} ,\;\forall x\in E}$

Una aplicació que compleixi la primera condició es diu additiva, si, en canvi compleix la segona es diu homogènia.

Propietats

Si ${\displaystyle f:\mathbf {E} \rightarrow \mathbf {F} }$ és una aplicació lineal, ${\displaystyle \forall x,y\in \mathbf {E} }$, i ${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {K} }$ es compleix:

• ${\displaystyle f(ax+by)=af(x)+bf(y)\,}$
• ${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{m}a_{i}x_{i}\right)=\sum _{i=1}^{m}a_{i}f(x_{i})}$
• ${\displaystyle f({\vec {0}})={\vec {0}}}$
• ${\displaystyle f(-x)=-f(x)\,}$
• Si ${\displaystyle g:\mathbf {F} \rightarrow \mathbf {G} }$ també és una aplicació lineal, aleshores:${\displaystyle g\circ f:\mathbf {E} \rightarrow \mathbf {G} }$, també és una aplicació lineal.

Nucli i imatge

Sigui ${\displaystyle f:\mathbf {E} \rightarrow \mathbf {F} }$

• S'anomenarà nucli de ${\displaystyle f}$ al subespai vectorial de ${\displaystyle \mathbf {E} }$

${\displaystyle \operatorname {Nuc} f=\left\{x\in \mathbf {E} |f(x)=0\right\}}$

• S'anomenarà imatge de ${\displaystyle f}$ al subespai vectorial de ${\displaystyle \mathbf {F} }$

${\displaystyle \operatorname {Im} f=\left\{y\in \mathbf {F} |\exists x\in \mathbf {E} ,y=f(x)\right\}}$

Teorema del rang

${\displaystyle \dim(\operatorname {Nuc} f)+\dim(\operatorname {Im} f)=\dim(\mathbf {E} )}$

Teorema d'isomorfisme

${\displaystyle \operatorname {Im} f\cong \mathbf {E} /\operatorname {Nuc} f}$

Matriu associada a una aplicació lineal

Siguin ${\displaystyle \mathbf {E} }$ i ${\displaystyle \mathbf {F} }$ dos espais vectorials de dimensió finita, ${\displaystyle \{u_{1},\dots ,u_{n}\}}$ i ${\displaystyle \{v_{1},\dots ,v_{m}\}}$ les seves respectives bases i ${\displaystyle f:\mathbf {E} \rightarrow \mathbf {F} }$ una aplicació lineal, ${\displaystyle \ f}$ queda definida si es coneixen les coordenades de ${\displaystyle f(u_{1}),\dots ,f(u_{n})}$ en la base de ${\displaystyle \mathbf {F} }$:

${\displaystyle f(u_{i})=\sum _{j=1}^{m}\lambda _{i}^{j}v_{j},i=1,\dots ,n}$

${\displaystyle \ A}$ S'anomena matriu associada a l'aplicació lineal ${\displaystyle \ f}$ en les bases ${\displaystyle \{u_{1},\dots ,u_{n}\}}$ i ${\displaystyle \{v_{1},\dots ,v_{m}\}}$

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}\lambda _{1}^{1}&\cdots &\lambda _{n}^{1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda _{1}^{m}&\cdots &\lambda _{n}^{m}\end{pmatrix}}}$

Aquesta matriu ens permet calcular les coordenades de la imatge d'un vector:

${\displaystyle w\in \mathbf {E} =\sum _{i=1}^{n}w_{i}u_{i}}$

${\displaystyle \ f(w)\in F=f(\sum _{i=1}^{n}w_{i}u_{i})=\sum _{i=1}^{n}w_{i}(\sum _{j=1}^{m}\lambda _{i}^{j}v_{j})=\sum _{j=1}^{m}(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}^{j}w_{i})v_{j}}$

Les coordenades de ${\displaystyle \ f(w)}$ en la base ${\displaystyle \{v_{1},\dots ,v_{m}\}}$ de ${\displaystyle \mathbf {F} }$ són:

${\displaystyle {\bar {w_{j}}}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}^{j}w_{i},i=1,\dots ,m}$

${\displaystyle \Rightarrow {\bar {w}}=A\cdot w}$

Composició d'aplicacions lineals

Donades dues aplicacions lineals ${\displaystyle f:\mathbf {E} \rightarrow \mathbf {F} }$ i ${\displaystyle g:\mathbf {F} \rightarrow \mathbf {G} }$ (on ${\displaystyle \{u_{1},\dots ,u_{n}\}}$, ${\displaystyle \{v_{1},\dots ,v_{m}\}}$ i ${\displaystyle \{w_{1},\dots ,w_{s}\}}$ són les bases de ${\displaystyle \mathbf {E} }$, ${\displaystyle \mathbf {F} }$ i ${\displaystyle \mathbf {G} }$) amb ${\displaystyle \ A}$ i ${\displaystyle \ B}$ com a matrius associades en aquestes bases. Aleshores la matriu ${\displaystyle C=B\cdot A}$ és la matriu associada a l'aplicació ${\displaystyle g\circ f}$

Demostració

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}f(u_{i})=\sum _{j=1}^{m}a_{i}^{j}v_{j}\\g(v_{j})=\sum _{k=1}^{s}b_{j}^{k}w_{k}\end{matrix}}\right\}\Rightarrow g\circ f(u_{i})=g(f(u_{i}))=g(\sum _{j=1}^{m}a_{i}^{j}v_{j})=\sum _{j=1}^{m}a_{i}^{j}g(v_{j})=\sum _{j=1}^{m}a_{i}^{j}(\sum _{k=1}^{s}b_{j}^{k}w_{k})=\sum _{k=1}^{s}(\sum _{j=1}^{m}a_{i}^{j}b_{j}^{k})w_{k}\Rightarrow }$

${\displaystyle C_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}a_{i}^{j}b_{j}^{k}}$

${\displaystyle (C=B\cdot A)}$

Canvi de base

Sigui ${\displaystyle f:\mathbf {E} \rightarrow \mathbf {F} }$ una aplicació lineal amb la matriu ${\displaystyle \ A}$ respecte a les bases ${\displaystyle \{u_{1},\dots ,u_{n}\}}$ i ${\displaystyle \{v_{1},\dots ,v_{m}\}}$ de ${\displaystyle \mathbf {E} }$ i ${\displaystyle \mathbf {F} }$ i la matriu ${\displaystyle \ B}$ respecte a les bases ${\displaystyle \{u_{1}',\dots ,u_{n}'\}}$ i ${\displaystyle \{v_{1}',\dots ,v_{m}'\}}$ es pot escriure ${\displaystyle {\text{f}}\;}$ com la següent composició

${\displaystyle B=Q\cdot A\cdot P}$

on ${\displaystyle \ P}$ és la matriu del canvi de base de ${\displaystyle \{u_{i}'\}\;}$ a ${\displaystyle \{u_{i}\}\;}$ i ${\displaystyle \ Q}$ és la matriu del canvi de base de ${\displaystyle \{v_{j}\}\;}$ a ${\displaystyle \{v_{j}'\}\;}$.

L'espai dual

L'espai dual és l'espai de les aplicacions lineals que van de ${\displaystyle \mathbf {E} }$ a ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

${\displaystyle \mathbf {E} \rightarrow \mathbb {R} }$

Les aplicacions lineals a ${\displaystyle \mathbb {R} }$ s'anomenen formes, i a l'espai ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {E} ,\mathbb {R} )=\mathbf {E^{*}} }$ se l'anomena espai dual de ${\displaystyle \mathbf {E} }$, on ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {E} ,\mathbb {R} )}$ és el conjunt de totes les aplicacions lineals de ${\displaystyle \mathbf {E} }$ a ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

${\displaystyle \mathbf {E^{*}} }$ és un espai vectorial de la mateixa dimenió que ${\displaystyle \mathbf {E} }$ (si ${\displaystyle \mathbf {E} }$ té dimensió finita):

${\displaystyle \dim {\mathcal {L}}(\mathbf {E} ,\mathbb {R} )=\dim \mathbf {E} \cdot \underbrace {\dim \mathbb {R} } _{\text{1}}=\dim \mathbf {E} }$

${\displaystyle \Rightarrow \dim \mathbf {E^{*}} =\dim \mathbf {E} }$

Donada una base de ${\displaystyle \mathbf {E} =\{u_{1},...,u_{n}\}}$, les aplicacions:

${\displaystyle u_{i}':}$	${\displaystyle \mathbf {E} \rightarrow \mathbb {R} }$
	${\displaystyle u_{j}\mapsto 0}$	${\displaystyle \quad {\text{si }}~j\neq i}$
	${\displaystyle u_{j}\mapsto 1}$	${\displaystyle \quad {\text{si }}~j=i}$

${\displaystyle u_{i}^{'}(u_{j})=\delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{si}}&i=j\\0&{\mbox{si}}&i\neq j\end{matrix}}\right.}$

On ${\displaystyle u_{i}'}$ és l'aplicació, ${\displaystyle u_{j}}$ és l'element i ${\displaystyle \delta _{ij}}$ és la funció delta de Kronecker.

Les aplicacions ${\displaystyle \{u_{i}'\}(i=1,...,n)}$ formen una base de ${\displaystyle \mathbf {E} ^{*}}$ que s'anomena base dual de ${\displaystyle \{u_{1},...,u_{n}\}}$.

Observació

Suposem que ${\displaystyle \{u_{1},...,u_{n}\}}$ i ${\displaystyle \{v_{1},...,v_{n}\}}$ són bases diferents de ${\displaystyle \mathbf {E} }$ amb algun vector en comú (suposem que ${\displaystyle u_{1}=v_{1}}$), aleshores, en les dues bases duals ${\displaystyle \{u_{1}',...,u_{n}'\}}$ i ${\displaystyle \{v_{1}',...,v_{n}'\}}$, ${\displaystyle u_{1}'}$ i ${\displaystyle v_{1}'}$ no tenen per què ser iguals.

Proposició

Sigui ${\displaystyle \{u_{1},...,u_{n}\}}$ una base de ${\displaystyle \mathbf {E} }$ i ${\displaystyle \{u_{1}',...,u_{n}'\}}$ la seva base dual, les coordenades d'una forma qualsevol ${\displaystyle \omega \in \mathbf {E} ^{*}}$ en la base ${\displaystyle \{u_{1}',...,u_{n}'\}}$ són ${\displaystyle (\omega (u_{1}),...,\omega (u_{n}))}$.

${\displaystyle \omega$ :}	${\displaystyle \mathbf {E} \rightarrow \mathbb {R} }$
	${\displaystyle u_{1}\mapsto \omega (u_{1})}$
	${\displaystyle u_{j}\mapsto \omega (u_{2})}$
	${\displaystyle \vdots }$
	${\displaystyle u_{n}\mapsto \omega (u_{n})}$

${\displaystyle \omega =\alpha _{1}u_{1}'+,,,+\alpha _{n}u_{n}'~~~~~~~~~~\alpha _{i}=\omega (u_{i})~~~i=1,...,n}$

${\displaystyle \Rightarrow \omega =\omega (u_{1})\cdot u_{1}'+...+\omega (u_{n})\cdot u_{n}'}$

${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}\omega (u_{i})\cdot u_{i}'}$

Demostració

Per tot vector ${\displaystyle u_{k}}$ de la base de ${\displaystyle \mathbf {E} }$ tenim: ${\displaystyle {\bigg (}\sum _{i=1}^{n}\omega (u_{i})\cdot u_{i}'{\bigg )}(u_{k})=\sum _{i=1}^{n}\omega (u_{i})\cdot u_{i}'(u_{k})=\omega (u_{1})\cdot \underbrace {u_{1}'(u_{k})} _{\text{0}}+...+\omega (u_{k})\cdot \underbrace {u_{k}'(u_{k})} _{\text{1}}+...+\omega (u_{n})\cdot \underbrace {u_{n}'(u_{k})} _{\text{0}}=\omega (u_{k})}$

${\displaystyle \Rightarrow \omega =\sum _{i=1}^{n}\omega (u_{i})\cdot u_{i}'}$

Aplicacions duals

Fixada una aplicació lineal ${\displaystyle f:\mathbf {E} \rightarrow \mathbf {F} }$ i ${\displaystyle \mathbf {F} ^{*}={\mathcal {L}}(\mathbf {F} ,\mathbb {R} )}$, al compondre un element ${\displaystyle \omega \in \mathbf {F} ^{*}}$ amb ${\displaystyle f}$, obtenim un element ${\displaystyle \omega \circ f\in \mathbf {E} ^{*}}$:

Per tant, existeix una aplicació ${\displaystyle f'}$ que designarem per aplicació dual de ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle {\begin{matrix}f':&\mathbf {F} ^{*}\rightarrow \mathbf {E} ^{*}\\&\omega \mapsto \omega \circ f\end{matrix}}}$

i té les següents propietats:

• Lineal:

${\displaystyle f'(\omega +v)=(\omega +v)\circ f=(\omega \circ f)+(v\circ f)=f'(\omega )+f'(v)}$

${\displaystyle f'(\lambda \omega )=(\lambda \omega )\circ f=\lambda (\omega \circ f)=\lambda f'(\omega )}$

• ${\displaystyle (g\circ f)'=f'\circ g'}$:

${\displaystyle (g\circ f)'(\omega )=\omega \circ (g\circ f)=(\omega \circ g)\circ f=f'(\omega \circ g)=f'(g'(\omega ))=f'\circ g'(\omega )}$

Relació entre matrius

• ${\displaystyle f:\mathbf {E} \rightarrow \mathbf {F} }$ té per matriu associada ${\displaystyle A=(a_{i}^{j})}$ en les bases ${\displaystyle \{u_{1},...,u_{n}\}}$ i ${\displaystyle \{v_{1},...,v_{m}\}}$ de ${\displaystyle \mathbf {E} }$ i ${\displaystyle \mathbf {F} }$ respectivament.
• ${\displaystyle f':\mathbf {F} ^{*}\rightarrow \mathbf {E} ^{*}}$ tindrà una matriu associada ${\displaystyle B=(b_{i}^{j})}$ en les dues bases duals ${\displaystyle \{v_{1},...,v_{m}\}}$ i ${\displaystyle \{u_{1},...,u_{n}\}}$ de ${\displaystyle \mathbf {F} ^{*}}$ i ${\displaystyle \mathbf {E} ^{*}}$ respectivament.

Proposició

La matriu de l'aplicació dual ${\displaystyle f'}$ en les bases duals és la matriu transposada de ${\displaystyle A}$.

${\displaystyle B=(b_{i}^{j})=(a_{j}^{i})=A^{t}}$

Demostració

${\displaystyle b_{i}^{j}=(f'(v_{i}'))(u_{j})=(v_{i}'\circ f)(u_{j})=v_{i}'(f(u_{j}))=v_{i}'(\sum _{k=1}^{m}a_{j}^{k}v_{k})=\sum _{k=1}^{m}a_{j}^{k}v_{i}'(v_{k})=a_{j}^{1}\underbrace {v_{i}'(v_{1})} _{\text{0}}+...+a_{j}^{i}\underbrace {v_{i}'(v_{i})} _{\text{1}}+...+a_{j}^{m}\underbrace {v_{i}'(v_{m})} _{\text{0}}=a_{j}^{i}}$ ${\displaystyle \Rightarrow b_{i}^{j}=a_{j}^{i}\Rightarrow B=A^{t}}$

Vegeu també

• funció lineal
• Àlgebra lineal
• Estructura lineal dual
• Forma lineal

Bibliografia

• Castellet, Manuel; Llerena, Irene. Universitat Autònoma de Barcelona. Àlgebra lineal i geometria, 2005. ISBN 84-7488-943-X.