Površina

Površina je mjera veličine regije na površini, to jeste količina koja opisuje u kojoj je mjeri dvodimenzionalna figura ili oblik, ili planarne lamine, u ravni. Površina je njen analogni pojam na dvodimenzionalnoj površi trodimenzionalnog oblika. Površina može biti shvaćena kao količina materijala sa datom debljinom koja bi bila potrebna da obuče model oblika, ili količina boje potrebne da prekrije površ pri jednom nanosom.^[1] To je dvodimenzionalni analog dužine krivulje (jednodimenzionalni koncept) ili zapremine čvrstog tijela (trodimenzionalni koncept).

Površina
Opći simboli	A ili S
SI jedinica	Kvadratni metar (m2)
U osnovnim jedinicama	1 m2
SI dimenzija	L2

Površina oblika može biti izmjerena poredeći oblik sa kvadratima fiksne veličine.^[2] U SI sistemu, standardna jedinica površine je kvadratni metar (piše se kao m²), što je površina kvadrata čije su stranice duge po jedan metar.^[3] Oblik sa površinom od tri kvadratna metra bi imao istu površinu kao i tri takva kvadrata. U matematici, jedinica kvadrata je definisana da ima površinu od jedan, i površinu od bilo kojeg oblika ili površi je bezdimenzioni realni broj.

Postoji nekoliko dobro poznatih formula za površine manjih oblika kao što su trouglovi, pravougaonici i krugovi. Koristeći ove formule, površina svakog poligona može se naći dijeljenjem poligona u trouglove.^[4] Za oblike sa zakrivljenim granicama, kalkulus se često koristi da se izračuna površina. Doista, problem određivanja površine ravnih figura bio je veća motivacija za historijski razvoj kalkulusa (matematička analiza).^[5]

Za čvrsti oblik kao što je sfera, konus ili cilindar, površina njihovih površi naziva se površina površi.^[1][6] formule za površine jednostavnih oblika bile su računate u doba drevnih Grka, ali računanje površine komplikovanijih oblika obično zahtijeva multivarijabilni kalkulus.

Površina igra važnu ulogu u modernoj matematici. U dodatku sa očiglednom važnošću u geometriji i kalkulusu, površina je vezana za definiciju determinanti u linearnoj algebri, te je osnovna osobina površi u diferencijalnoj geometriji.^[7] U analizi, površina podskupa ravni je definisana korištenjem mjere Lebega,^[8] ipak nije svaki podskup mjerljiv.^[9] Generalno, površina u višoj matematici vidi se kao specijalan slučaj zapremine za dvodimenzionalne regije.^[1]

Površina može biti definisana kroz upotrebu aksioma, definirajući je kao funkciju kolekcije određenih ravnih figura u skup realnih brojeva. Može biti dokazano da takva funkcija postoji.

Formalna definicija

Ukupna površina ova tri oblika je približno 15,57 kvadrata.

Pristup definisanju šta se misli pod pojmom "površina" jesu aksiomi. "Površina" može biti definisana kao funkcija iz kolekcije M specijalne vrste ravnih figura (nazvani mjerljivi skupovi) ka skupu realnih brojeva koji zadovoljavaju sljedeće osobine:

• Za sve S u M, a(S) ≥ 0.
• Ako su S i T u M tada su i S ∪ T i S ∩ T, i također a(S∪T) = a(S) + a(T) − a(S∩T).
• Ako su S i T u M sa S ⊆ T tada je T − S u M i a(T−S) = a(T) − a(S).
• Ako je skup S u M i S je kongruentno sa T tada T je također u M i a(S) = a(T).
• Svaki pravougaonik R je u M. Ako pravougaonik ima dužinu h i širinu k tada je a(R) = hk.
• Neka Q bude skup zatvoren između dvije step regije S i T. Step regija je formirana od ograničene unije susjednih pravougaonika koji se nalaze na istoj bazi, npr. S ⊆ Q ⊆ T. Ako postoji unikatan broj c takav da je a(S) ≤ c ≤ a(T) za sve takve step regije S i T, tada je a(Q) = c.

Može biti dokazano da takva površinska funkcija doista postoji.^[10]

Osnovne formule za računanje površine

Geometrijski lik	Formula
Romb	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab}$
Pravougaonik	${\displaystyle ab}$
Kvadar	${\displaystyle 2(ab+ac+bc)}$
Kocka	${\displaystyle 6a^{2}}$
Tetraedar	${\displaystyle A={\sqrt {3}}\,a^{2}}$
Trapez	${\displaystyle {\frac {(a+b)h}{2}}\,}$
Pravilan šestougao	${\displaystyle {\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}a^{2}\,\!}$
Pravilan osmougao	${\displaystyle 2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\,\!}$
Pravilan mnogougao	${\displaystyle {\frac {1}{4}}na^{2}\cdot \cot(\pi /n)\,\!}$
Trougao	${\displaystyle {\frac {ah}{2}}}$
Trougao	${\displaystyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\,\!}$
Jednakostraničan trougao	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}s^{2}\,\!}$
Krug	${\displaystyle r^{2}\pi }$
Elipsa	${\displaystyle ab\pi }$
Sfera	${\displaystyle 4r^{2}\pi }$, ili ${\displaystyle d^{2}\pi }$
Valjak	${\displaystyle 2r(h+r)\pi }$
Omotač valjka	${\displaystyle 2rh\pi \,}$
Kupa	${\displaystyle r(l+r)\pi }$
Omotač kupe	${\displaystyle rl\pi }$
Kružni isječak	${\displaystyle {\frac {1}{2}}r^{2}\theta \,}$
Torus	${\displaystyle 4\pi ^{2}\cdot R\cdot r}$
Piramida	${\displaystyle B+{\frac {PL}{2}}\,\!}$

Reference

1. Eric W. Weisstein. "Area". Wolfram MathWorld. Pristupljeno 3. 7. 2012.
2. "Area Formulas". Math.com. Pristupljeno 2. 7. 2012.
3. Bureau International des Poids et Mesures Resolution 12 of the 11th meeting of the CGPM (1960), retrieved 15 July 2012
4. Mark de Berg; Marc van Kreveld; Mark Overmars; Otfried Schwarzkopf (2000). "Chapter 3: Polygon Triangulation". Computational Geometry (2nd revised izd.). Springer-Verlag. str. 45–61. ISBN 3-540-65620-0CS1 održavanje: postscript (link)
5. Boyer, Carl B. (1959). A History of the Calculus and Its Conceptual Development. Dover. ISBN 0-486-60509-4. CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)
6. Eric W. Weisstein. "Surface Area". Wolfram MathWorld. Pristupljeno 3. 7. 2012.
7. do Carmo, Manfredo.
8. Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1966, ISBN 0-07-100276-6.
9. Gerald Folland, Real Analysis: modern techniques and their applications, John Wiley & Sons, Inc., 1999,Page 20,ISBN 0-471-31716-0
10. Moise, Edwin (1963). Elementary Geometry from an Advanced Standpoint. Addison-Wesley Pub. Co. Pristupljeno 15. 7. 2012.