Квадрат

Квадратът (от латински: quadrātum – „четириъгълник“) представлява равнинна геометрична фигура, правилен четириъгълник. Има четири равни страни и четири равни ъгли.

Тази статия е за четириъгълника. За повдигането на квадрат вижте квадрат (алгебра). За римския политик вижте Квинт Корнелий Квадрат.

---

Определение

Квадратът е правилен многоъгълник с четири страни и ъгли, но може да се дефинира и посредством други геометрични фигури като:

• четириъгълник, успоредник или трапец с равни страни и равни/прави ъгли;
• правоъгълник с равни страни;
• ромб с перпендикулярни страни.

Свойства

Квадрат с дължина на страната ${\displaystyle a}$ и диагонал ${\displaystyle d}$

За квадрата са валидни следните твърдения:

• Четирите му страни са равни.
• Четирите вътрешни ъгли са еднакви и сборът им е 360° (2π), затова всичките са прави (по 90°).
• Има четири оси на симетрия – двата диагонала и двете симетрали на страните.
• Има център на симетрия – пресечната точка на диагоналите.
• Двата диагонала са равни, разполовяват се и са взаимно перпендикулярни.
• Диагоналите разполовяват ъглите на квадрата.
• Пресечната точка на диагоналите му е център на вписаната и на описаната окръжност.
• Всеки квадрат е подобен на всеки друг квадрат.
• Квадратът е правилен четириъгълник с централен ъгъл π /2 и ${\displaystyle a=R{\sqrt {2}}}$, където R е радиусът на описаната около квадрата окръжност.

За да начертаем квадрат, е достатъчно да знаем дължината на страната му или дължината на диагонала му.

Формули

Формули за квадрат
Дължина на страната	${\displaystyle a}$
Дължина на диагонала	${\displaystyle d=a{\sqrt {2}}}$
Периметър	${\displaystyle P=4\,a}$
Лице	${\displaystyle S=a^{2}={\frac {d^{2}}{2}}}$ ${\displaystyle S=4\,r^{2}=2\,R^{2}}$
Радиус на описаната окръжност	${\displaystyle R={\frac {a}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {a}{\sqrt {2}}}}$
Радиус на вписаната окръжност	${\displaystyle r={\frac {a}{2}}}$

Построение

Тъй като 4 е степен на 2, квадрат може да бъде построен с линийка и пергел:^[1]

Квадратът в неевклидовата геометрия

Шест квадрата покриват сфера, като във всеки връх се допират точно три квадрата с вътрешни ъгли от по 120°. Това се нарича сферичен куб.

Евклидовата равнина може да бъде покрита с квадрати, като във всеки връх се допират точно четири квадрата с вътрешни ъгли по 90°. (Вижте Квадратно пано)

Квадрати покриват хиперболичната сфера, като във всеки връх се допират точно пет квадрата с вътрешни ъгли по 72°. (Вижте Петоредово квадратно пано)

В неевклидовата геометрия квадратите са по-общи многоъгълници с четири равни страни и равни ъгли.

В сферичната геометрия квадратът е многоъгълник, чиито ръбове са дъги от големи окръжности на равни разстояния, които се пресичат в равните ъгли. За разлика от квадрата в равнинната геометрия ъглите на сферичния квадрат са по-големи от правия ъгъл.

В хиперболичната геометрия не съществуват квадрати с прави ъгли. Там квадратите имат остри ъгли.

Кръстосан квадрат

Кръстосан квадрат

Кръстосаният квадрат е диагонално сечение на квадрата, самопресичащ се многоъгълник, създаден чрез премахване на два срещуположни ръба на квадрат и повторно свързване чрез двата му диагонала. Той има половината от симетрията на квадрата, Dih₂, ред 4. Има същото разположение на върховете като квадрата и е транзитивен по върховете. Изглежда като два равнобедрени правоъгълни триъгълника с общ връх на правите ъгъл, но геометричното пресичане не се счита за връх.

Кръстосаният квадрат понякога се оприличава на папийонка или пеперуда. Кръстосаният правоъгълник се получава чрез сечение на правоъгълника и двата специални случая на кръстосани четириъгълници. ^[2]

Вътрешността на пресечен квадрат може да има многоъгълна плътност ±1 във всеки триъгълник, в зависимост от ориентацията на навиването по посока на часовниковата стрелка или обратно на часовниковата стрелка.

Квадратът и кръстосаният квадрат имат следните общи свойства:

• Противоположните страни са равни по дължина.
• Двата диагонала са еднакви по дължина.
• Има две линии на отражателна симетрия и ротационна симетрия от порядък 2 (през 180°).

Съществува в конфигурацията на върха на еднакви звездни многостени, тетрахемихексахедър.

Вижте също

• Четириъгълник
• Успоредник
• Правоъгълник
• Ромб
• Трапец

Източници

1. Constructible Polygon, mathworld.wolfram.com
2. Wells, Christopher J. Quadrilaterals // Посетен на 2017-12-12.