Квадрат (алгебра)

Квадратът на дадено число е алгебрична величина, равняваща се на произведението на числото със самото него.^[1] Действието, описващо получаването на този резултат, се нарича повдигане на квадрат и е идентично със степенуване на степен 2. Аналогично на другите форми на степенуване, повдигането на квадрат се обозначава с горен индекс 2 – например квадратът на 3 може да се запише като 3² и се равнява на числото 9. Важно свойство на повдигането на квадрат е, че квадратът на всяко число x е равен на квадрата на неговото противоположно число −x, като по този начин е изпълнено тъждеството x² = (−x)².

5⋅5 или 5² (5 на квадрат) може да се изобрази графично с помощта на квадрат: всяко съставно квадратче представя една единица 1⋅1, а големият квадрат представя 5⋅5.

Числовата редица от квадратите на първите 50 цели числа (редица A000290 в ИЕЧР) има следния вид: ^[2]

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116 , 2209, 2304, 2401, 2500.

Исторически естествените числа от тази редица са били наричани „квадратни“.

Графика на квадратната функция ${\displaystyle y=x^{2}}$ при цели значения на ${\displaystyle x}$ в интервала от 1 до 25

Начини за представяне

Квадратът на естественото число ${\displaystyle n}$ може да се представи като:

• Сума от първите ${\displaystyle n}$ нечетни числа:
  

${\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}{(2k-1)}}$
Примери:

1: ${\displaystyle 1=1}$

2: ${\displaystyle 4=1+3}$

3: ${\displaystyle 9=1+3+5}$

4: ${\displaystyle 16=1+3+5+7}$

5: ${\displaystyle 25=1+3+5+7+9}$

6: ${\displaystyle 36=1+3+5+7+9+11}$

7: ${\displaystyle 49=1+3+5+7+9+11+13}$

…

• Сбор от числото и удвоената сума на естествените числа преди него:
  

${\displaystyle n^{2}=2\sum _{k=1}^{n-1}k+n=1+1+2+2+\ldots +(n-1)+(n-1)+n}$
Примери:

1: ${\displaystyle 1=1}$

2: ${\displaystyle 4=1+1+2}$

3: ${\displaystyle 9=1+1+2+2+3}$

4: ${\displaystyle 16=1+1+2+2+3+3+4}$

5: ${\displaystyle 25=1+1+2+2+3+3+4+4+5}$

6: ${\displaystyle 36=1+1+2+2+3+3+4+4+5+5+6}$

…

Сумата от квадратите на първите ${\displaystyle n}$ естествени числа се изчислява по формулата:
${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}$

Бележки и източници

1. Squares and Square Roots in Algebra.
2. N. J. A. Sloane – The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, 1964.