Лоренцови трансформации

Лоренцови трансформации във физиката представляват координатни трансформации между две координатни системи, които се движат с постоянна скорост една спрямо друга.

Отправните системи могат да се разделят в две групи: инерционни (относително движение с постоянна скорост) и неинерционни (ускоряващи по криви пътища, ротационно движение с постоянна ъглова скорост). Понятието „Лоренцови трансформации“ се отнася само за трансформации между инерционни отправни системи, обикновено в контекста на специалната теория на относителността.

Във всяка отправна система наблюдател може да използва локална координатна система (най-често декартова), за да измерва разстояние, и часовник за да измерва времевите интервали. Наблюдател е истински или въображаем обект, който може да прави измервания (например човек). Събитие е нещо, което се случва в точка от пространството в даден момент или по-точно точка в пространство-времето. Трансформациите свързват пространствените и времевите координати на дадено събитие, измерено от наблюдател във всяка отправна система.

Те заместват Галилеевите трансформации от класическата механика, които допускат абсолютно пространство и време. Галилеевите трансформации са добро приближение само при относителни скорости, които са много по-малки от скоростта на светлината. Лоренцовите трансформации имат брой неинтуитивни особености, които не присъстват в Галилеевите трансформации. Например, те отчитат факта, че наблюдателите, движещи се с различни скорости, могат да измерят различни разстояния, изтекли времена и дори различна подредба на събитията, но в същото време скоростта на светлината остава инвариантна във всички инерционни отправни системи. Постоянството на скоростта на светлината е един от постулатите на специалната теория на относителността.

В исторически план, трансформациите са резултат от опитите на холандския физик Хендрик Лоренц (чието име носят) и други да обяснят как скоростта на светлината се е наблюдавала да е независима от отправната система и за да се разберат симетриите на законите на електромагнетизма. Лоренцовите трансформации са в съответствие на специалната относителност, но са изведени преди нея.

Лоренцовите трансформации са линейни. Могат да включват ротация на пространството. В пространството на Минковски, математическия модел на пространство-времето в специалната относителност, трансформациите на Лоренц запазват пространство-времевия интервал между кои да е две събития. Това свойство е определящо за Лоренцовите трансформации. Те описват само трансформациите, при които първоначалното събитие в ппространство-времето е фиксирано. Могат да бъдат разглеждани като хиперболична ротация на пространството на Минковски. По-общ набор от трансформации, който включва и транслации, е групата на Поанкаре.

История

Много физици^[1] дискутират физиката, скрита зад тези уравнения след 1887 г.^[2] В началото на 1889 г. Оливър Хевисайд показва от уравненията на Максуел, че електричното поле, заобикалящо сферичен заряд, следва да спре да има сферична симетрия, веднъж щом зарядът се намира в движение спрямо етера. След това Джордж Фицджералд предполага, че деформацията на Хевисайд може да бъде приложена в теория за междумолекулни сили. Няколко месеца след това Фицджералд публикува предположението, че телата в движение се свиват, за да обясни загадъчния изход на експеримента на Майкелсън и Морли от 1887 г. През 1892 г. Лоренц независимо представя същата идея по по-подробен начин, която впоследствие бива наречена Лоренцово съкращение.^[3] Това обяснение става широко известно преди 1905 г.^[4]

Лоренц и Джоузеф Лармор, които вярват в хипотезата за етера, също търсят трансформацията, чрез която уравненията на Максуел са инвариантни, когато се трансформират от етера към движеща се система. Те разширяват хипотезата за Лоренцовото съкращение и откриват, че времевите координати също трябва да бъдат модифицирани. Анри Поанкаре дава физическа интерпретация на локалното време (до първи ред) като последствие от синхронизацията на часовниците, с допускане че скоростта на светлината е константна в движещи се системи.^[5] Лармор се счита за първия, разбрал критичното свойство на релативистичното забавяне на времето, присъщо на уравненията му.^[6]

През 1905 г. Поанкаре става първият, който показва, че трансформацията има свойствата на математическа група и я наименува в чест на Лоренц.^[7] По-късно през същата година Алберт Айнщайн публикува специалната теория на относителността, като я извежда от Лоренцовите трансформации, имайки предвид принципа на относителността и константността на скоростта на светилната в коя да е инерционна отправна система и изоставяйски хипотезата за етера.^[8]

Извеждане на групата Лоренцови трансформации

Във всяка инерционна система едно събитие се характеризира с координата за време ct и ред Декартови координати x, y, z, определящи пространственото положение в дадената система. Индексите обозначават отделни събития.

От втория постулат на относителността на Айнщайн следва:

(D1): ${\displaystyle c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-(x_{2}-x_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})^{2}-(z_{2}-z_{1})^{2}=0\quad {\text{(отделни светлинни събития 1, 2)}}}$

във всички инерционни системи за събития, свързани чрез светлинни сигнали. Количеството отляво се нарича пространство-времеви интервал между събития a₁= (t₁, x₁, y₁, z₁) и a₂= (t₂, x₂, y₂, z₂). Интервалът между всеки две събития, незадължително отделени от светлинни сигнали, е инвариантен, т.е. независим от състоянието на относително движение на наблюдатели в различни инерционни системи. Следователно търсената трансформация трябва да притежава такова свойство, че eq (D2): ${\displaystyle c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-(x_{2}-x_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})^{2}-(z_{2}-z_{1})^{2}=c^{2}(t_{2}'-t_{1}')^{2}-(x_{2}'-x_{1}')^{2}-(y_{2}'-y_{1}')^{2}-(z_{2}'-z_{1}')^{2}\quad {\text{(всички събития 1, 2)}}.}$

където (ct, x, y, z) са пространство-времеви координати, използвани за да се определят събитията в една система, а (ct′, x′, y′, z′) са координатите в друга система. Първоначално се наблюдава, че (D2) се удовлетворява, ако произволен кортеж b с дължина 4 цифри се добавят към събитията a₁ и a₂. Такива трансформации се наричат „пространство-времеви транслации“. След това се наблюдава, че линейно решение, запазило произхода на по-простата задача:

(D3): ${\displaystyle c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=c^{2}t'^{2}-x'^{2}-y'^{2}-z'^{2}\quad {\text{ или }}\quad c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}=c^{2}t'_{1}t'_{2}-x'_{1}x'_{2}-y'_{1}y'_{2}-z'_{1}z'_{2}}$

също решава и общата задача. Решение, удовлетворяващо лявата формула автоматично удовлетворява и дясната формула. Намирането на решение за по-лесната задача е въпрос на търсене в теорията на класическите групи, които запазват билинейни форми. Уравнението (D3) може да бъде изписано по-сбито така:

(D4): ${\displaystyle (a,a)=(a',a')\quad {\text{или}}\quad a\cdot a=a'\cdot a',}$

където (·, ·) се отнася за билинейната форма на (1, 3) от ℝ⁴, открита от дясната формула в уравнение (D3). Алтернативната нотация, определена отдясно се нарича релативистичен продукт. Пространство-времето, математически погледнато като ℝ⁴, надарено с тази билинейна форма, е познато още и като пространство на Минковски M. Лоренцовата трансформация е елемент на Лоренцовата група O(1, 3). Имаме:

(D5): ${\displaystyle (a,a)=(\Lambda a,\Lambda a)=(a',a'),\quad \Lambda \in \mathrm {O} (1,3),\quad a,a'\in M,}$

което е точно запазване на билинейната форма от (D3), което предполага (по линейност на Λ и билинейност на формата), че (D2) е удовлетворено. Елементите на Лоренцовата група са ротации и тласъци, както и смесици от двете. Ако се включат и пространство-времевите транслации, тогава ще получим нехомогенна Лоренцова група или групата на Поанкаре.

Общи сведения

Вертикалната посока показва времето, хоризонталната посока показва разстоянието, а пунктираната линия показва пространство-времевата траектория на ускоряващ наблюдател. Малките точки са случайни събития в пространство-времето, които са неподвижни едно спрямо друго. Събитията, преминаващи двете диагонални линии в долния край на изображението, са тези, които са видими за наблюдателя.

Зависимостите между основните и вторичните пространство-времеви координати са Лоренцовите трансформации. Всяка координата в една система е линейна функция на всички координати в другата система, а обратните функции са обратните трансформации. В зависимост от това как системите се движат една спрямо друга и как са позиционирани в пространството една спрямо друга, други параметри, описващи посока, скорост и позициониране влизат в уравненията на трансформациите.

Трансформации, описващи относително движение с постоянна скорост и без ротация на координатите на пространствените оси се наричат тласъци, а относителната скорост между системите е параметърът на трансформацията. Другият основен тип трансформации на Лоренц са единствено ротации на пространствените координати. Това също са инерционни системи, тъй като няма относително движение, а системите са просто наклонени (не се въртят постоянно). В този случай, числата, определящи ротацията са параметри на трансформацията. Комбинация от ротация и тласък е хомогенна трансформация.

Пълната група на Лоренц O(3, 1) съдържа и специални трансформации, които не са нито ротации, нито тласъци, а по-скоро отражения върху равнина. Две от тях могат да бъдат отделени: пространствена инверсия, при която пространствените координати на всички събития приемат обратен знак, и времева инверсия, при която времевата координата за всяко събитие приема обратен знак.

Тласъците не бива да се смесват просто с премествания в пространство-времето – в такъв случай координатните системи просто се преместват и няма относително движение. Все пак, на това може да се гледа като на симетрии, които са принудени от специалната относителност, тъй като оставят пространство-времевия интервал инвариантен. Комбинация от ротация и тласък, последвана от изместване в пространство-времето, е нехомогенна Лоренцова трансформация, елемент от групата на Поанкаре.

Физична формулировка на Лоренцовите тласъци

Трансформация на координатите

Пространство-времевите координати на събитие, както биха били измерени от всеки наблюдател в неговата инерционна отправна система (в балончетата).
Горе: системата F′ се движи със скорост v по оста x на системата F.
Долу: системата F се движи със скорост −v по оста x′ на системата F′.^[9]

Неподвижен наблюдател в системата F определя събития с координати t, x, y, z. Друга система F′ се движи със скорост v спрямо F, а наблюдател в тази движеща се система F′ определя събития с координати t′, x′, y′, z′.

Координатните оси във всяка система са паралелни (x и x′, y и y′ и z и z′) и взаимно перпендикулярни, а относителното движение е по съвпадащите оси xx′. При t = t′ = 0, центърът на двете координатни системи е един и същ, (x, y, z) = (x′, y′, z′) = (0, 0, 0). С други думи, времената и местоположенията съвпадат при това събитие. Ако всичко това важи, тогава координатните системи са в стандартна конфигурация или синхронизирани.

Ако наблюдател в F измери събитие t, x, y, z, тогава наблюдател в F′ измерва същото събитие с координати^[10]

Лоренцов тласък (направление x) ${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}}$

където v е относителната скорост между системите в направление x, c е скоростта на светлината, а

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

е факторът на Лоренц.

Тук v е параметърът на трансформацията; за даден тласък той е константа, но може да приема непрекъснат диапазон от стойности. В конкретния случай, положителната относителна скорост v > 0 е движение в положителното направление на осите xx′, нулевата относителна скорост v = 0 представлява липса на относително движение, а отрицателната относителна скорост v < 0 е относително движение в отрицателното направление на осите xx′. Големината на относителната скорост v не може да е равна или по-голяма от c, тоест само субсветлинни скорости −c < v < c са позволени. Съответстващата област за γ е 1 ≤ γ < ∞.

Трансформациите са неопределени, ако v е извън тези граници. При скоростта на светлината (v = c) γ е безкраен, а свръхсветлинен (v > c) γ е комплексно число, следователно и двете не биха имали физичен смисъл. Пространствените и времевите координати са измерими количества и трябва да бъдат реални числа.

Наблюдател в F′ вижда координатите на събитието все едно са „изтласкани“ в отрицателното направление на осите xx′, поради −v в трансформациите. Това има еквивалентния ефект на координатната система F′, изтласкана в положителното направление на осите xx′, докато събитието не се променя и единствено се представя в друга координатна система.

Обратните зависимости (t, x, y, z по отношение на t′, x′, y′, z′) могат да бъдат намерени чрез алгебрично пресмятане на първоначалния набор от уравнения. По-ефективен начин е да се използват физични принципи. В този случай F′ е неподвижната система, докато F е движещата се система. Според закона за относителността, няма предпочитана отправна система, така че трансформациите от F′ към F трябва да имат една и съща форма, както и трансформациите от F към F′. Единствената разлика е, че F′ се движи със скорост −v спрямо F (тоест относителната скорост е с еднаква големина, но с обратна посока). Следователно, ако наблюдател в F′ отбележи събитието t′, x′, y′, z′, тогава наблюдател в F би отбелязал същото събитие с координати

Inverse Lorentz boost (x direction) ${\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma \left(t'+{\frac {vx'}{c^{2}}}\right)\\x&=\gamma \left(x'+vt'\right)\\y&=y'\\z&=z',\end{aligned}}}$

и стойността на γ остава непроменена. Този „трик“ на просто обръщане на посоката на относителната скорост, запазвайки големината ѝ и разменяйки основните и вторичните променливи, винаги важи за намиране на обратната трансформация за всеки тласък във всяко направление.

Понякога е по-удобно да се използва β = v/c вместо v, така че

${\displaystyle {\begin{aligned}ct'&=\gamma \left(ct-\beta x\right)\,,\\x'&=\gamma \left(x-\beta ct\right)\,,\\\end{aligned}}}$

което показва доста по-ясно симетрията на трансформацията. От позволената област за v и определението за β следва, че −1 < β < 1. Използването на β и γ е стандартно.

Лоренцовите трансформации могат, също така, да бъдат изведени по начин, напомнящ кръгови ротации в триизмерно пространство, използвайки хиперболични функции. За тласъка в направлението x получаваме

Лоренцов тласък (направление x с бързина ζ) ${\displaystyle {\begin{aligned}ct'&=ct\cosh \zeta -x\sinh \zeta \\x'&=x\cosh \zeta -ct\sinh \zeta \\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}}$

където ζ е параметър, наречен бързина (често се използват и други символи, като например θ, ϕ, φ, η, ψ, ξ). Имайки предвид голямата прилика с ротациите на пространствените координати в триизмерно пространство в Декартовите равнини xy, yz, и zx, Лоренцовият тласък може да бъде представен и като хиперболична ротация на пространство-времевите координати в Декартовите равнини xt, yt, и zt от четириизмерното пространство на Минковски. Параметърът ζ е хиперболичният ъгъл на ротацията, аналогичен на обикновения ъгъл на кръгова ротация. Тази трансформация може да бъде илюстрирана с диаграма на Минковски.

Хиперболичните функции възникват вследствие на разликата между квадратите на времевите и пространствените координати в пространство-времевия интервал. Геометричното значение на хиперболичните функции може да бъде визуализирано, като се вземе x = 0 или ct = 0 в трансформациите. Повдигайки на квадрат и изваждайки резултатите, можем да изведем хиперболични криви на константни координатни стойности, но променливи ζ, което параметризира кривите съгласно

${\displaystyle \cosh ^{2}\zeta -\sinh ^{2}\zeta =1\,.}$

Обратно, осите ct и x могат да бъдат построени за променливи координати, но константни ζ. Определението

${\displaystyle \tanh \zeta ={\frac {\sinh \zeta }{\cosh \zeta }}\,,}$

предоставя връзката между константа за бързина и наклона на оста ct в пространство-времето. Тези две хиперболични формули са тъждество, което съвпада с Лоренцовия фактор

${\displaystyle \cosh \zeta ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\zeta }}}\,.}$

Сравнявайки Лоренцовите трансформации по отношение на относителната скорост и бързина или използвайки горната формула, връзките между β, γ и ζ са

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta &=\tanh \zeta \,,\\\gamma &=\cosh \zeta \,,\\\beta \gamma &=\sinh \zeta \,.\end{aligned}}}$

Взимайки обратния хиперболичен тангенс, получаваме бързината

${\displaystyle \zeta =\tanh ^{-1}\beta \,.}$

Тъй като −1 < β < 1, следователно −∞ < ζ < ∞. От зависимостта между ζ и β, положителната бързина ζ > 0 е движение в положителното направление на осите xx′, нулевата бързина ζ = 0 представлява липса на относително движение, а отрицателната бързина ζ < 0 е относително движение в отрицателното направление на осите xx′.

Обратните трансформации се получават като се разменят основните и вторичните стойности между координатните системи и анулирайки бързината ζ → −ζ, тъй като тя е еквивалентна на това да се анулира относителната скорост. Следователно

Обратен Лоренцов тласък (направление x с бързина ζ) ${\displaystyle {\begin{aligned}ct&=ct'\cosh \zeta +x'\sinh \zeta \\x&=x'\cosh \zeta +ct'\sinh \zeta \\y&=y'\\z&=z'\end{aligned}}}$

Обратните трансформации могат да бъдат сходно илюстрирани като се имат предвид случаите, когато x′ = 0 и ct′ = 0.

Дотук Лоренцовите трансформации бяха прилагани за едно събитие. Ако има две събития, тогава има пространствено отделяне и времеви интервал между тях. От линейността на Лоренцовите трансформации следва, че две стойности за пространствени и времеви координати могат да бъдат избрани, Лоренцовите трансформации могат да бъдат приложени за тях, а след това извадени за да се получат Лоренцовите трнсформации на разликите.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta t'&=\gamma \left(\Delta t-{\frac {v\Delta x}{c^{2}}}\right)\,,\\\Delta x'&=\gamma \left(\Delta x-v\Delta t\right)\,,\end{aligned}}}$

с обратна зависимост

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta t&=\gamma \left(\Delta t'+{\frac {v\Delta x'}{c^{2}}}\right)\,,\\\Delta x&=\gamma \left(\Delta x'+v\Delta t'\right)\,.\end{aligned}}}$

където Δ обозначава разликата между стойностите, например Δx = x₂ − x₁ за две стойности на координатите x и т.н.

Тези трансформации на разлики вместо на пространствени точки или моменти във времето са полезни, поради ред причини:

• при изчисления и опити се измерват разстоянията между две точки или времеви интервали
• трансформациите на скоростта могат лесно да бъдат изведени, като се направи разликата безкрайно малка и уравненията се разделят
• ако координатните системи никога не съвпадат (не са в стандартна конфигурация) и ако и двамата наблюдатели се съгласят за събитие t₀, x₀, y₀, z₀ в F и t₀′, x₀′, y₀′, z₀′ в F′, то те могат да използват това събитие като отправна точка, а разликите между пространство-времевите координати са разликите между техните координати и отправната точка, например Δx = x − x₀, Δx′ = x′ − x₀′

Физични изводи

Критично условие за Лоренцовите трансформации е инвариантността на скоростта на светлината – факт, който се използва в тяхното извеждане и който се съдържа в самите трансформации. Ако в F уравнението за светлинен импулс в направление x е x = ct, тогава в F′ Лоренцовите трансформации дават x′ = ct′ и обратно за всяко −c < v < c.

За относителни скорости, които са много по-малки от скоростта на светлината, Лоренцовите трансформации се свеждат до Галилеева трансформация.

${\displaystyle {\begin{aligned}t'&\approx t\\x'&\approx x-vt\end{aligned}}}$

според принципа на съответствието. Някои учени гледат на нерелативистичната физика като на физика за „мигновено действие на разстояние“.^[11]

Три неинтуитивни, но верни предсказания от трансформациите са:

Релативистично забавяне на времето

Да приемем, че в F има часовник в покой. Ако времеви интервал (например тиктакане) се измери в същата точка, така че Δx = 0, тогава трансформациите дават Δt′ = γΔt за това тиктакане в F′. Обратно, да приемем, че в F′ има часовник в покой. Ако се измери едно тиктакане в същата точка, така че Δx′ = 0, тогава трансформациите дават Δt = γΔt′ за това тиктакане в F. Във всеки случай, изтласканият наблюдател измерва по-дълъг интервал от време, отколкото наблюдателя в другата система.

Относителност на едновременността

Да приемем, че две събития се случват едновременно (Δt = 0) по оста x, но са отделени от ненулево придвижване Δx. Тогава в F′ намираме, че ${\displaystyle \Delta t'=\gamma {\frac {-v\Delta x}{c^{2}}}}$, така че събитията вече не са едновременни, спрямо движещ се наблюдател.

Лоренцово съкращение

Да приемем, че имаме прът в покой в F, успореден на оста x и с дължина Δx. В F′ прътът се движи със скорост -v, така че дължината му трябва да бъде измерена чрез две едновременни (Δt′ = 0) измервания на двата му края. При тези условия обратната Лоренцова трансформация показва, че Δx = γΔx′. В F двете измервания вече не са едновременни, но това е без значение, защото прътът е в покой в F. Можем да заключим, че изтласканият наблюдател измерва по-къса дължина с коефициент γ, отколкото наблюдателя в статичната система на пръта. Съкращението на дължината засяга всяка геометрична величина, която има връзка с дължината, така че от гледната точка на движещ се наблюдател, площ и обем също ще изглеждат по-малки в посока на движението.

Векторни трансформации

Наблюдател в система F наблюдава F′ да се движи със скорост v, докато F′ наблюдава F да се движи със скорост −v. Координатните оси на всяка система са паралелни и ортогонални. Позиционният вектор,, измерен във всяка система се разделен на компоненти, успоредни и перпендикулярни на вектора на относителната скорост v. Ляво: Стандартна конфигурация. Дясно: Обратна конфигурация.

Използването на вектори позволява местоположенията и скоростите да бъдат изразявани в произволни посоки компактно. Тласък в коя да е посока зависи от пълния относителен вектор на скоростта v с големина |v| = v}}, която не може да е равна или да надвишава c, така че 0 ≤ v < c.

Само времето и координатите, успоредни на посоката на относително движение, се променят, докато перпендикулярните координати не се. Имайки това предвид, можем да разделим пространствения позиционен вектор r, измерен в F, и r′, измерен в F′, всеки на съставящи перпендикулярни (⊥) и успоредни (‖) на v,ev

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{\perp }+\mathbf {r} _{\|}\,,\quad \mathbf {r} '=\mathbf {r} _{\perp }'+\mathbf {r} _{\|}'\,,}$

тогава трансформациите са

${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {\mathbf {r} _{\parallel }\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\\\mathbf {r} _{\|}'&=\gamma (\mathbf {r} _{\|}-\mathbf {v} t)\\\mathbf {r} _{\perp }'&=\mathbf {r} _{\perp }\end{aligned}}}$

където · е скаларно произведение. Лоренцовият фактор γ запазва определението си на тласък в кое да е направление, тъй като зависи само от големината на относителната скорост. Определението β = v/c с големина 0 ≤ β < 1 също може да се използва.

Въвеждайки единичен вектор n = v/v = β/β в посоката на относително движение, относителната скорост е v = vn с големина v и посока n, а проекциите на вектора са

${\displaystyle \mathbf {r} _{\parallel }=(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {r} _{\perp }=\mathbf {r} -(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$

Събирайки резултатите, получаваме пълните трансформации,

Лоренцов тласък (в направление n с големина v) ${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {v\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} }{c^{2}}}\right)\,,\\\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} \,.\end{aligned}}}$

Проекциите важат и за r′. За обратните трансформации е нужно да се разменят наблюдаваните координати в r и r′ и да се анулира относителната скорост v → −v (или просто единичния вектор n → −n, тъй като големината на v е винаги положителна), за да се получи

Обратен Лоренцов тласък (в направление n с големина v) ${\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma \left(t'+{\frac {\mathbf {r} '\cdot v\mathbf {n} }{c^{2}}}\right)\,,\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} '+(\gamma -1)(\mathbf {r} '\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} +\gamma t'v\mathbf {n} \,,\end{aligned}}}$

Единичният вектор има предимството да опростява уравнения за единичен тласък и позволява v или β да бъде възстановен, когато ни е удобно, а параметризацията на бързината се получава веднага, като се заместят β и βγ. Това не е удобно за повече тласъци от един.

Векторната зависимост между относителната скорост и бързината е

${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=\beta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh \zeta \,,}$

а векторът на бързината може да бъде записан като

${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}=\zeta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh ^{-1}\beta \,,}$

всяко, от които служи като полезно съкращение в някои случаи. Големината на ζ е абсолютната стойност на скалара на бързината, ограничена от 0 ≤ ζ < ∞, което е съгласувано с границите 0 ≤ β < 1.

Трансформация на скорости

Трансформацията на скорости дава определението на релативистичното допълнение на скоростите ⊕, подредбата на векторите е избрана така, че да отразява подредбата на допълнението на скоростите: първо v (скоростта на F′ спрямо F), а след това u′ (скоростта на X спрямо F′), за да се получи u = v ⊕ u′ (скоростта на X спрямо F).

Определяйки координатните скорости и Лоренцовия фактор чрез

${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\,,\quad \mathbf {u} '={\frac {d\mathbf {r} '}{dt'}}\,,\quad \gamma _{\mathbf {v} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}}}$

вземайки производните на координатите и времето на векторните трансформации, след което разделяйки уравненията, получаваме

${\displaystyle \mathbf {u} '={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {u} }{\gamma _{\mathbf {v} }}}-\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}\left(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {v} \right]}$

Скоростите u и u′ са скоростта на масивен обект. Също така, могат да се отнасят и за трета инерционна система (например F′′), в който случай те трябва да бъдат постоянни. Да отбележим кой да е обект с X. Тогава X се движи относително със скорост u спрямо F или еквивалентно със скорост u′ спрямо F′, а на свой ред F′ се движи относително със скорост v спрямо F. Обратните трансформации могат да се получат по сходен начин или с размяна на позиционните координати u и u′ и замяна на v с −v.

Трансформацията на скоростта е полезна при аберация, опита на Физо и релативистичния Доплеров ефект.

Лоренцовите трансформации за ускорение могат да бъдат получени по подобен начин, като се вземат производните на векторите на скоростта и последните се разделят на производната на времето.

Трансформация на други величини

По принцип четирите величини A и Z = (Z_x, Z_y, Z_z) и техните двойници с Лоренцов тласък A′ и Z′ = (Z′_x, Z′_y, Z′_z), зависимост от типа

${\displaystyle A^{2}-\mathbf {Z} \cdot \mathbf {Z} ={A'}^{2}-\mathbf {Z} '\cdot \mathbf {Z} '}$

предполага, че величините се трансформират с Лоренцова трансформация, подобна на трансформацията на пространство-времевите координати.

${\displaystyle {\begin{aligned}A'&=\gamma \left(A-{\frac {v\mathbf {n} \cdot \mathbf {Z} }{c}}\right)\,,\\\mathbf {Z} '&=\mathbf {Z} +(\gamma -1)(\mathbf {Z} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -{\frac {\gamma Av\mathbf {n} }{c}}\,.\end{aligned}}}$

Разлагането на Z (и Z′) в съставящи, перпендикулярни и успоредни на v, е същото като за позиционния вектор, тъй като е процес на получаване на обратните трансформации (разменяме (A, Z) и (A′, Z′) и обръщаме посоката на относително движение, чрез заменяне n ↦ −n).

Величините (A, Z) колективно образуват 4-вектор, където A е „времеподобната съставяща“, а Z е „пространствоподобната съставяща“.

За даден обект (например частица, флуид, поле, вещество), ако A или Z съответстват на специфични за обекта свойства (например плътност на заряда, плътност на масата, спин и т.н.), свойствата му могат да бъдат фиксирани в неподвижната система на този обект. В такъв случай Лоренцовите трансформации предоставят съответстващите свойства в система, движеща се относително спрямо обекта с постоянна скорост. Това разбива някои понятия, приети за даденост в нерелативистичната физика. Например, енергията E на обект е скаларна величина в нерелативистичната механика, но не и в релативистката механика, защото енергията се променя от Лоренцовите трансфрмации. Стойността ѝ е различна за различни инерционни системи. В неподвижната система на обект има неподвижна енергия и нулев импулс. В изтласкана система енергията е различна и изглежда, че има импулс. Подобно, в нерелативистичната квантова механика синът на дадена частица е постоянен вектор, но в релативистичната квантова механика спинът s зависи от относителното движение. В неподвижната система на частицата псевдовекторът на спина може да бъде фиксиран така, че да бъде обикновеният нерелативистичен спин с нулева времеподобна величина s_t, но изтласкан наблюдател ще възприеме ненулев времеподобен компонент и променен спин.^[12]

Не всички величини са инвариантни във формата, показана по-горе. Например, нито ъгловия момент L няма времеподобна величина, нито електричното поле E, нито магнитното поле B. Определението за ъглов момент е L = r × p, а в изтласкана система промененият ъглов момент е L′ = r′ × p′. Прилагайки това определение, използвайки трансформациите на координатите и импулса, стигаме до трансформацията на ъгловия момент. Излиза, че L се трансформира с друга векторна величина N = (E/c²)r − tp, свързана с тласъците. В случая с полетата E и B трансформациите не могат да бъдат получени директно чрез векторна алгебра. Силата на Лоренц е определението на тези полети, а в F е F = q(E + v × B), докато в F′ е F′ = q(E′ + v′ × B′). Метод за извеждането на трансформациите на електромагнитното поле по ефективен начин, който също илюстрира мерната единица на електромагнитното поле използва тензорна алгебра, която е описана по-долу.

Математическа формулировка

В текста по-долу курсивните неудебелени главни букви са матрици 4×4, а некурсивните удебелени букви са матрици 3×3.

Хомогенна Лоренцова група

Записвайки координатите в колони (вектори) и метриката на Минковски η като квадратна матрица

${\displaystyle X'={\begin{bmatrix}c\,t'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}\,,\quad \eta ={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\,,\quad X={\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}}$

пространство-времевият интервал заема формата (T означава транспонирана)

${\displaystyle X\cdot X=X^{\mathrm {T} }\eta X={X'}^{\mathrm {T} }\eta {X'}}$

и е инвариантен под Лоренцова трансформация

${\displaystyle X'=\Lambda X}$

където Λ е квадратна матрица, която може да зависи от параметри.

Нека множеството на всички Лоренцови трансформации Λ се бележи с ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$. Това множество заедно с матрично умножение сформира група, която в настоящия контекст се нарича Лоренцова група. Горният израз X·X е квадратична форма с идентификация (3,1) в пространство-времето, а групата трансформации, която оставя тази квадратична форма инвариантна, е неопределената ортогонална група O(3,1) – група Ли. С други думи, Лоренцовата група е O(3,1).

От инвариантността на пространство-времевия интервал следва, че

${\displaystyle \eta =\Lambda ^{\mathrm {T} }\eta \Lambda }$

и това матрично уравнение съдържа основните условия на Лоренцовата трансформация, за да осигури инвариантност на пространство-времевия интервал. Вземайки детерминантата на уравнението и използвайки правилото за произведението (за две квадратни матрици: A и B, det(AB) = det(A)det(B)), ни дава

${\displaystyle [\det(\Lambda )]^{2}=1\quad \Rightarrow \quad \det(\Lambda )=\pm 1}$

Записваме метриката на Минковски във вид на матрица, а Лоренцовата трансформация в най-обща форма

${\displaystyle \eta ={\begin{bmatrix}-1&0\\0&\mathbf {I} \end{bmatrix}}\,,\quad \Lambda ={\begin{bmatrix}\Gamma &-\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\\-\mathbf {b} &\mathbf {M} \end{bmatrix}}\,,}$

Извършваме умножение на матриците и получаваме общите условия за Γ, a, b, M, за да осигурим релативистична инвариантност. Малко информация може да бъде извлечена директно от всичките условия, но единият резултат

${\displaystyle \Gamma ^{2}=1+\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} }$

е полезен; b^Tb ≥ 0 винаги, от което следва, че

${\displaystyle \Gamma ^{2}\geq 1\quad \Rightarrow \quad \Gamma \leq -1\,,\quad \Gamma \geq 1}$

Отрицателното неравенство може да е неочаквано, защото Γ умножава времевата координата, а това има ефект на времевата симетрия. Ако положителното уравнение важи, то Γ е Лоренцовият фактор.

Детерминантата и неравенствата предоставят четири начина да се класифицират Лоренцовите трансформации (по-долу съкратени на ЛТ за сбитост). Всяка Лоренцова трансформация има само един знак на детерминантата и само едно неравенство. Съществуват четири множества, които включват всяка възможна двойка, дадена от сечението на тези класифициращи множества.

Сечение, ∩	Антихронни ЛТ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\downarrow }=\{\Lambda \,:\,\Gamma \leq -1\}}$	Ортохронни ЛТ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\uparrow }=\{\Lambda \,:\,\Gamma \geq 1\}}$
Точни ЛТ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{+}=\{\Lambda \,:\,\det(\Lambda )=+1\}}$	Точни антихронни ЛТ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{+}^{\downarrow }={\mathcal {L}}_{+}\cap {\mathcal {L}}^{\downarrow }}$	Точни ортохронни ЛТ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }={\mathcal {L}}_{+}\cap {\mathcal {L}}^{\uparrow }}$
Неточни ЛТ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{-}=\{\Lambda \,:\,\det(\Lambda )=-1\}}$	Неточни антихронни Лт ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }={\mathcal {L}}_{-}\cap {\mathcal {L}}^{\downarrow }}$	Неточни ортохронни ЛТ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{-}^{\uparrow }={\mathcal {L}}_{-}\cap {\mathcal {L}}^{\uparrow }}$

където „+“ и „−“ указват знака на детерминантата, докато „↑“ за ≥ и „↓“ за ≤ указват неравенствата.

Пълната Лоренцова група се разделя на обединение на четири непресечени множества.

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }\cup {\mathcal {L}}_{-}^{\uparrow }\cup {\mathcal {L}}_{+}^{\downarrow }\cup {\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }}$

Една подгрупа на дадена група трябва да бъде затворена при същото действие на групата (в случая умножение на матрици). С други думи, за две Лоренцови трансформации Λ и L от дадено множество, комбинираните Лоренцови трансформации ΛL и LΛ трябва да бъдат в същото множество като Λ и L. Обаче, това невинаги е така – може да бъде показано, че комбинацията на всеки две Лоренцови трансформации винаги има положителна детерминанта и положително неравенство, точна ортохронна трансформация. Множествата ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }}$, ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{+}}$, ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\uparrow }}$ и ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}={\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }\cup {\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }}$ всичките формират подгрупи. Другите множества, включващи неточни и/или антихронни свойства (т.е. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{+}^{\downarrow }}$, ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }}$, ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{-}^{\uparrow }}$) не формират подгрупи, защото комбинираната трансформация винаги има положителна детерминанта или неравенство, докато първоначалните отделни трансформации биха имали отриателни детерминанти и/или неравенства.

Нехомогенна Лоренцова група

За да може пространство-времевият интервал да е инвариантен, може да се докаже, че е нужно и достатъчно координатната трансформация да е във формата

${\displaystyle X'=\Lambda X+C}$

където C е константа на колоната, съдържаща транслации във времето и пространството. Ако C ≠ 0, то това е нехомогенна Лоренцова трансформация или трансформация на Поанкаре.^[13][14] Ако C = 0, то това е хомогенна Лоренцова трансформация.

Формулировка на тензорите

Контравариантни вектори

Написвайки общата матрична трансформация на координати като матрично уравнение

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{x'}^{0}\\{x'}^{1}\\{x'}^{2}\\{x'}^{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\Lambda ^{0}}_{0}&{\Lambda ^{0}}_{1}&{\Lambda ^{0}}_{2}&{\Lambda ^{0}}_{3}\\{\Lambda ^{1}}_{0}&{\Lambda ^{1}}_{1}&{\Lambda ^{1}}_{2}&{\Lambda ^{1}}_{3}\\{\Lambda ^{2}}_{0}&{\Lambda ^{2}}_{1}&{\Lambda ^{2}}_{2}&{\Lambda ^{2}}_{3}\\{\Lambda ^{3}}_{0}&{\Lambda ^{3}}_{1}&{\Lambda ^{3}}_{2}&{\Lambda ^{3}}_{3}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x^{0}\\x^{1}\\x^{2}\\x^{3}\end{bmatrix}}}$

позволява трансформацията на други физични величини, които не могат да бъдат изразени като 4-вектори (например тензори или спинори от кой да е ред в четириизмерно пространство-време). В съответстващата тензорна нотация, горният матричен израз е

${\displaystyle {x^{\prime }}^{\nu }={\Lambda ^{\nu }}_{\mu }x^{\mu },}$

където долният и горният индекс показват съответно ковариантни и контравариантни компоненти,^[15] и се прилага Айнщайновата нотация. Обикновено се използват гръцки индекси, които приемат стойност 0 за времеви компоненти и 1, 2, 3 за пространствени компоненти, докато латинските индекси просто приемат стойности 1, 2, 3 за времеви компоненти. Също така, първият индекс (от ляво надясно) в матрична нотация съответства на индекс за ред, а вторият индекс съответства на индекс за колона.

Трансформацията на матрицата е универсална за всички 4-вектори, не само за четириизмерни пространство-времеви координати. Ако A е какъв да е 4-вектор, тогава в тензорната нотация

${\displaystyle {A^{\prime }}^{\nu }={\Lambda ^{\nu }}_{\mu }A^{\mu }\,.}$

Алтернативно, може да се запише

${\displaystyle A^{\nu '}={\Lambda ^{\nu '}}_{\mu }A^{\mu }\,.}$

като тук индексите с прим обозначават индекси на A в система с прим. Тази нотация намалява риска да свършат гръцките букви наполовина.

За общ обект с n компоненти можем да запишем

${\displaystyle {X'}^{\alpha }={\Pi (\Lambda )^{\alpha }}_{\beta }X^{\beta }\,,}$

където Π е подходящото представяне на Лоренцовата група, матрица n×n за всяка Λ. В този случай, индексите не трябва да се считат за пространство-времеви индекси (още наричани и Лоренцови индекси) и се поставят от 1 към n.

Ковариантни вектори

Съществуват, също така, векторни величини с ковариантни индекси. Обикновено се получават от съответстващите им обекти с ковариантни обекти, чрез действие за понижаване на индекс, като

${\displaystyle x_{\nu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu },}$

където η е метричния тензор. Обратното на горната трансформация е

${\displaystyle x^{\mu }=\eta ^{\nu \mu }x_{\nu },}$

където, разглеждани като матрици, η^μν е обратната на η_μν. Получава се, че η^μν= η_μν. Това се нарича повишаване на индекс. За да се трансформира ковариантен вектор A_μ, първо трябва да се повиши индекса му, след това да се трансформира, според същото правило за контравариантни 4-вектори, и накрая да се понижи индекса му.

${\displaystyle {A'}_{\nu }=\eta _{\rho \nu }{\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }\eta ^{\mu \sigma }A_{\mu }.}$

Но

${\displaystyle \eta _{\rho \nu }{\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }\eta ^{\mu \sigma }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu },}$

тоест, това е (μ, ν) компонентата на обратната Лоренцова трансформация. Можем да определим

${\displaystyle {\Lambda _{\nu }}^{\mu }\equiv {\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu },}$

и да запишем

${\displaystyle {A'}_{\nu }={\Lambda _{\nu }}^{\mu }A_{\mu }.}$

Сумата от дясната страна на

${\displaystyle {A'}_{\nu }={\Lambda _{\nu }}^{\mu }A_{\mu }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu }A_{\mu }}$

няма място за „индекс на ред“ за матрица, представляваща Λ⁻¹. Оттук, по отношение на матриците, тази трансформация трябва да бъде считана за обратно транспониране на Λ, действащо по колонния вектор A_μ. В чисто матрична нотация

${\displaystyle A'=\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mathrm {T} }A.}$

Това означава, че ковариантните вектори (считани за колонни матрици) се трансформират според двойното представяне на стандартното представяне на Лоренцовата група. Тази нотация обобщава общите представяния.

Тензори

Ако A и B са линейни оператори на векторните пространства U и V, тогава линеен оператор A ⊗ B може да бъде определен от тензорното произведение на U и V, обозначено U ⊗ V, според^[16]

${\displaystyle (A\otimes B)(u\otimes v)=Au\otimes Bv,\qquad u\in U,v\in V,u\otimes v\in U\otimes V.}$ (T1)

От това веднага става ясно, че ако u и v са 4-вектори в V, тогава u ⊗ v ∈ T₂V ≡ V ⊗ V се трансформира така

${\displaystyle u\otimes v\rightarrow \Lambda u\otimes \Lambda v={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }u^{\nu }\otimes {\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }v^{\sigma }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }{\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }u^{\nu }\otimes v^{\sigma }\equiv {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }{\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }w^{\nu \sigma }.}$ (T2)

Втората стъпка използва билинейността на тензорното произведение, а последната стъпка дефинира 2-тензор в компонентна форма или просто преименува тензора u ⊗ v.

Тези наблюдения се обобщават по очевиден начин за повече фактори, а използвайки факта, че общ тензор във векторно пространство V може да бъде записан като сбор на произведенията на тензорните компоненти на основни вектори и ковектори, можем да стигнем до закона за трансформация на всякаква тензорна величина T. Разписва се^[17]

${\displaystyle T_{\theta '\iota '\cdots \kappa '}^{\alpha '\beta '\cdots \zeta '}={\Lambda ^{\alpha '}}_{\mu }{\Lambda ^{\beta '}}_{\nu }\cdots {\Lambda ^{\zeta '}}_{\rho }{\Lambda _{\theta '}}^{\sigma }{\Lambda _{\iota '}}^{\upsilon }\cdots {\Lambda _{\kappa '}}^{\zeta }T_{\sigma \upsilon \cdots \zeta }^{\mu \nu \cdots \rho },}$ (T3)

където Λ_χ′^ψ е дефинирано по-горе. Тази форма може да бъде съкратена до формата за общи обекти с n компоненти, дадена по-горе с матрица (Π(Λ)), работеща по колонни вектори.

Трансформация на електромагнитното поле

Лоренцов тласък на електричен заряд. Зарядът е в покой в едната система или другата.

Лоренцовите трансформации могат да се използват за да онагледяват това, че магнитното поле B и електричното поле E са просто различни аспекти на една и съща сила – електромагнитната, като следствие на относителното движение между електричния заряд и наблюдателя.^[18] Фактът, че електромагнитното поле проявява релативистичен ефекти, става ясен, чрез провеждането на прост експеримент.^[19]

• Наблюдател измерва заряд в покой в система F. Наблюдателят ще засече статично електрично поле. Докато зарядът е неподвижен в тази система, няма електрически ток, така че наблюдателят на наблюдава никакво магнитно поле.
• Другият наблюдател в система F′ се движи със скорост v, спрямо F и заряда. Този наблюдател вижда друго електрично поле, защото зарядът се движи със скорост −v в неговата неподвижна система. Движението на заряда съответства на електрически ток и следователно наблюдателят в F′ вижда магнитно поле.

Електричното и магнитно полета се трансформират по различен начин от пространството и времето, но по същия начин, както релативистичния ъглов момент и вектора на тласъка.

${\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-{\frac {1}{c}}E_{x}&-{\frac {1}{c}}E_{y}&-{\frac {1}{c}}E_{z}\\{\frac {1}{c}}E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {1}{c}}E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {1}{c}}E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}$

в SI. В относителността, Гаусовата система единици често се използва за сметка на SI, защото в нея електричното поле и магнитната индукция използват една и съща мерна единица, което прави вида на тензора на електромагнитното поле по-естествен. Да погледнем Лоренцов тласък в направлението x. Записваме го като^[20]

${\displaystyle {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}},\qquad F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&B_{z}&-B_{y}\\-E_{y}&-B_{z}&0&B_{x}\\-E_{z}&B_{y}&-B_{x}&0\end{bmatrix}},}$

където тенорът на полето е показан един до друг за по-лесна справка в манипулацията по-долу.

Общият закон за трансформация (T3) става

${\displaystyle F^{\mu '\nu '}={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }{\Lambda ^{\nu '}}_{\nu }F^{\mu \nu }.}$

За магнитното поле получаваме

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{x'}&=F^{2'3'}={\Lambda ^{2}}_{\mu }{\Lambda ^{3}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{2}}_{2}{\Lambda ^{3}}_{3}F^{23}=1\times 1\times B_{x}\\&=B_{x},\\B_{y'}&=F^{3'1'}={\Lambda ^{3}}_{\mu }{\Lambda ^{1}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{3}}_{3}{\Lambda ^{1}}_{\nu }F^{3\nu }={\Lambda ^{3}}_{3}{\Lambda ^{1}}_{0}F^{30}+{\Lambda ^{3}}_{3}{\Lambda ^{1}}_{1}F^{31}\\&=1\times (-\beta \gamma )(-E_{z})+1\times \gamma B_{y}=\gamma B_{y}+\beta \gamma E_{z}\\&=\gamma \left(\mathbf {B} -{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} \right)_{y}\\B_{z'}&=F^{1'2'}={\Lambda ^{1}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{1}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{2}F^{\mu 2}={\Lambda ^{1}}_{0}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{02}+{\Lambda ^{1}}_{1}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{12}\\&=(-\gamma \beta )\times 1\times E_{y}+\gamma \times 1\times B_{z}=\gamma B_{z}-\beta \gamma E_{y}\\&=\gamma \left(\mathbf {B} -{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} \right)_{z}\end{aligned}}}$

За електричното поле получаваме

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{x'}&=F^{0'1'}={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{1}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{0}}_{1}{\Lambda ^{1}}_{0}F^{10}+{\Lambda ^{0}}_{0}{\Lambda ^{1}}_{1}F^{01}\\&=(-\gamma \beta )(-\gamma \beta )(-E_{x})+\gamma \gamma E_{x}=-\gamma ^{2}\beta ^{2}(E_{x})+\gamma ^{2}E_{x}=E_{x}(1-\beta ^{2})\gamma ^{2}\\&=E_{x},\\E_{y'}&=F^{0'2'}={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{2}F^{\mu 2}={\Lambda ^{0}}_{0}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{02}+{\Lambda ^{0}}_{1}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{12}\\&=\gamma \times 1\times E_{y}+(-\beta \gamma )\times 1\times B_{z}=\gamma E_{y}-\beta \gamma B_{z}\\&=\gamma \left(\mathbf {E} +{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} \right)_{y}\\E_{z'}&=F^{0'3'}={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{3}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{3}}_{3}F^{\mu 3}={\Lambda ^{0}}_{0}{\Lambda ^{3}}_{3}F^{03}+{\Lambda ^{0}}_{1}{\Lambda ^{3}}_{3}F^{13}\\&=\gamma \times 1\times E_{z}-\beta \gamma \times 1\times (-B_{y})=\gamma E_{z}+\beta \gamma B_{y}\\&=\gamma \left(\mathbf {E} +{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} \right)_{z}.\end{aligned}}}$

Тук се използва β = (β, 0, 0). Тези резултат могат да бъдат обобщени така

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} _{\parallel '}&=\mathbf {E} _{\parallel }\\\mathbf {B} _{\parallel '}&=\mathbf {B} _{\parallel }\\\mathbf {E} _{\bot '}&=\gamma \left(\mathbf {E} _{\bot }+{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} _{\bot }\right)=\gamma \left(\mathbf {E} +{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} \right)_{\bot },\\\mathbf {B} _{\bot '}&=\gamma \left(\mathbf {B} _{\bot }-{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} _{\bot }\right)=\gamma \left(\mathbf {B} -{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} \right)_{\bot },\end{aligned}}}$

и са независими от метричното обозначение. За SI, трябва да се замести E → ^E⁄_c.

Съкращаването на дължината влияе върху плътността на заряда ρ и плътността на тока J, а забавянето на времето влияе на потока на заряда (тока), така че разпределянето на заряда и тока трябва да се трансформира по подобен начин на тласък. Оказва се, че те се трансформират точно както пространство-времевите и енергийно-импулсните 4-вектори,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} '&=\mathbf {j} -\gamma \rho v\mathbf {n} +\left(\gamma -1\right)(\mathbf {j} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\rho '&=\gamma \left(\rho -\mathbf {j} \cdot {\frac {v\mathbf {n} }{c^{2}}}\right),\end{aligned}}}$

или в по-простия геометричен вид,

${\displaystyle j^{\mu ^{\prime }}={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }j^{\mu }.}$

Уравненията на Максуел за инвариантни под Лоренцови трансформации.

Спинори

Уравнение (T1) остава непроменено за всякакво представяне на Лоренцовата група, включително и биспинорно представяне. В (T2) може просто да се заместят всички Λ с биспинорно представяне Π(Λ),

${\displaystyle u\otimes v\rightarrow \Pi (\Lambda )u\otimes \Pi (\Lambda )v={\Pi (\Lambda )^{\alpha }}_{\beta }u^{\beta }\otimes {\Pi (\Lambda )^{\rho }}_{\sigma }v^{\sigma }={\Pi (\Lambda )^{\alpha }}_{\beta }{\Pi (\Lambda )^{\rho }}_{\sigma }u^{\beta }\otimes v^{\sigma }\equiv {\Pi (\Lambda )^{\alpha }}_{\beta }{\Pi (\Lambda )^{\rho }}_{\sigma }w^{\alpha \beta }.}$ (T4)

Горното уравнение може, например, да бъде трансформацията на състояние в пространството на Фок, описващо два свободни електрона.

Трансформация на общи полета

Общо невзаимодействащо състояние на няколко частици в квантовата теория на полето се трансформира според правилото^[21]

|${\displaystyle {\begin{aligned}&U(\Lambda ,a)\Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2};\cdots }\\={}&e^{-ia_{\mu }\left[(\Lambda p_{1})^{\mu }+(\Lambda p_{2})^{\mu }+\cdots \right]}{\sqrt {\frac {(\Lambda p_{1})^{0}(\Lambda p_{2})^{0}\cdots }{p_{1}^{0}p_{2}^{0}\cdots }}}\left(\sum _{\sigma _{1}'\sigma _{2}'\cdots }D_{\sigma _{1}'\sigma _{1}}^{(j_{1})}\left[W(\Lambda ,p_{1})\right]D_{\sigma _{2}'\sigma _{2}}^{(j_{2})}\left[W(\Lambda ,p_{2})\right]\cdots \right)\Psi _{\Lambda p_{1}\sigma _{1}'n_{1};\Lambda p_{2}\sigma _{2}'n_{2};\cdots },\end{aligned}}}$

където W(Λ, p) е ротацията на Уигнър, а D^(j) е (2j + 1)-измерното представяне на SO(3).

Вижте също

• Галилееви трансформации

Източници

1. Lorentz, Hendrik Antoon. Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller than that of light. Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences. Т. 6. 1904. с. 809 – 831.
2. John J. O'Connor John & Edmund F. Robertson. A History of Special Relativity // 1996.
3. Harvey R. Brown. Michelson, FitzGerald and Lorentz: the Origins of Relativity Revisited // 2003.
4. Tony Rothman. Lost in Einstein's Shadow. American Scientist. с. 112.
5. Olivier Darrigol. The Genesis of the theory of relativity. 2005. с. 1 – 22.
6. Michael N. Macrossan. A Note on Relativity Before Einstein. Brit. Journal Philos. Science, 1986. с. 232 – 234.
7. Henri Poincaré. On the Dynamics of the Electron, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. 1905. с. 1504 – 1508.
8. Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Annalen der Physik. 1905. с. 891 – 921.
9. H. D. Young, R. A. Freedman. University Physics – With Modern Physics. 2008. ISBN 0-321-50130-6.
10. J. R. Forshaw, A. G. Smith. Dynamics and Relativity. Manchester Physics Series. John Wiley & Sons Ltd., 2009. ISBN 978-0-470-01460-8. с. 124 – 126.
11. A. Einstein. Relativity: The Special and General Theory. 1916.
12. Masud Chaichian, Rolf Hagedorn. Symmetry in quantum mechanics: From angular momentum to supersymmetry. 1997. ISBN 0-7503-0408-1. с. 239.
13. S. Weinberg. The quantum theory of fields. Cambridge University Press, 2005. ISBN 978-0-521-67053-1.
14. T. Ohlsson. Relativistic Quantum Physics. Cambridge University Press, 2011. ISBN 978-0-521-76726-2.
15. Dennery, Philippe, Krzywicki, André. Mathematics for Physicists. Courier Corporation, 2012. ISBN 978-0-486-15712-2. с. 138.
16. Brian C. Hall. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations. An Elementary Introduction. Springer Publishing, 2003. ISBN 0-387-40122-9.
17. S. M. Carroll. Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. Addison Wesley, 2004. ISBN 0-8053-8732-3. с. 22.
18. I. S. Grant, W. R. Phillips. Electromagnetism. Manchester Physics. 2. John Wiley & Sons, 2008. ISBN 0-471-92712-0.
19. D. J. Griffiths. Introduction to Electrodynamics. 3. Pearson Education, 2007. ISBN 81-7758-293-3.
20. Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler. Gravitation. Сан Франциско, 1973. ISBN 978-0-7167-0344-0.
21. S. Weinberg. The Quantum Theory of Fields. Т. I. Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-55001-7.

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата Lorentz transformation в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите. ​ ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.​