0 (лік)

0 (нуль ад лац.: nullus — ніякі) — цэлы лік, які раздзяляе на лікавай прамой дадатныя і адмоўныя лікі. Выконвае цэнтральную роль у матэматыцы як элемент, нейтральны^[en] адносна складання цэлых, рэчаісных лікаў, і іншых алгебраічных структур^[en].

У пазіцыйнай натацыі^[en], напрыклад дзесятковай, нуль выступае яшчэ і як лічба для пазначэння таго, што адпаведная ступень 10 не дамнажаецца ні на што і не дадаецца да выніку. Здаецца, што гістарычна такую канцэпцыю было цяжка прыдумаць.

Асноўныя ўласцівасці нуля

• Нуль не мае знака.
• Любы лік пры складанні з нулём не мяняецца.
• Пры адніманні нуля з любога ліку атрымліваецца той жа лік.
• Дамнажэнне любога ліку на нуль дае нуль.
• Пры дзяленні нуля на любы лік, акрамя самога 0, атрымліваецца нуль. Дзяленне нуля на нуль прыводзіць да нявызначанасці ${\displaystyle (0/0)}$.
• Нуль з’яўляецца цотным лікам, бо пры дзяленні на 2 атрымліваецца цэлы лік.
• Дзяленне на нуль немагчыма ў прасторы камплексных лікаў. На самай справе, калі абазначыць ${\displaystyle {\frac {a}{0}}=b}$, то па азначэнні дзялення фармальна павінна быць ${\displaystyle b\cdot 0=a}$, у той час як выраз ${\displaystyle b\cdot 0}$, пры любым камплексным ${\displaystyle b}$, ровен нулю. Іншымі словамі, для нуля не існуе адваротнага ліку ў прасторы комплексных лікаў. Але гэта магчыма на пашыранай камплекснай плоскасці.
• Пры ўзвядзенні любога ліку, акрамя нуля, ў нулявую ступень па азначэнні атрымліваецца 1: ${\displaystyle n^{0}=1}$, пры ${\displaystyle n\neq 0}$.

Абагульненні

Аналаг нуля можна ўвесці ў любым мностве, на якім вызначана аперацыя складання; у вышэйшай алгебры такі элемент называецца нейтральным элементам (або, у залежнасці ад умоўнай назвы групавой аперацыі, адытыўным нулём, ці мультыплікатыўнай адзінкай). Часцей за ўсё выкарыстоўваецца рэчаісны нуль, г.зн. нуль у кантэксце мноства рэчаісных лікаў. Іншыя распаўсюджаныя варыяцыі:

• Нулявая матрыца
• Нуль-вектар
• Пункт (як нульмерны аб'ект, ці нульмерная прастора)
• Нулявы мнагачлен

Адносіны да натуральных лікаў

Існуюць два падыходы да вызначэння натуральных лікаў — адны аўтары адносяць нуль да натуральных лікаў^[1], іншыя — не. У краінах былога СССР (у тым ліку, і Беларусі) у школьных праграмах па матэматыцы не прынята адносіць нуль да натуральных лікаў (бо натуральнымі лікамі там азначаюцца як лікі, якія выкарыстоўваюцца пры лічэнні, а 0 пры лічэнні не выкарыстоўваецца), хоць гэта абцяжарвае некаторыя фармулёўкі (напрыклад, прыходзіцца адрозніваць дзяленне з астачай і дзяленне без астачы).

Ужыванне

У матэматыцы

• Нулявы лік Фібаначы, нулявы лік Мерсена, нулявы трохвугольны лік і г. д.
• 0! (Нуль фактарыял) вызначаецца як 1.
• Становішчы 0 і 360 градусаў супадаюць
• Нуль функцыі

Нявызначанасці з удзелам нуля

У матэматычным аналізе магчыма 7 нявызначаных сітуацый, у 4 з якіх фармальна прысутнічае нуль (ён абазначае бесканечна малую велічыню):

${\displaystyle \left({\frac {0}{0}}\right)}$

${\displaystyle (0^{0})}$

${\displaystyle (\infty ^{0})}$

${\displaystyle (0\cdot \infty )}$

І цалкам вызначаная сітуацыя, калі разглядаецца граніца бесканечна малой велічыні (справа ці злева):

• Правая граніца: ${\displaystyle \lim _{x\to 0+0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=+\infty }$   ці   ${\displaystyle \left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x{\xrightarrow {}}0+0}]{}}+\infty }$
• Левая граніца: ${\displaystyle \lim _{x\to 0-0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=-\infty }$   ці   ${\displaystyle \left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x{\xrightarrow {}}0-0}]{}}-\infty }$

У фізіцы

• Абсалютны нуль тэмпературы.

У іншых галінах

• ASCII — код кіруючага сімвала NULL.
• Нулявога года ў юліянскім і Грыгарыянскім календары няма, гэтак жа, як няма нулявога дня ў годзе і нулявога дня ў месяцы. Аднак існуе астранамічнае летазлічэнне^be_en, у якім нулявы год ёсць.
• Нулявы кіламетр.

Гісторыя

Старажытны Блізкі Усход

нефер	сэрца з трахеяй прыгожы, прыемны, добры

Старажытныя егіпецкія лічбы былі дзесятковымі^[2]. Іерогліфы выкарыстоўваліся ў якасці лічбаў у непазіцыйнай натацыі^[en]. К 1770 г. да н.э. у егіпцян з’явіўся сімвал нуля ў гаспадарчых тэкстах. Сімвал нефер^[en], што значыць прыгожы, выкарыстоўвалі яшчэ і для абазначэння базавага ўзроўню на малюнках магільняў і пірамід, ад якога адмяраліся ўсе адлегласці зверху і знізу^[3].

К сярэдзіне 2-га тысячагоддзя да н.э. вавілонская матэматыка^[en] мела складаную шасцідзесятковую^[en] сістэму злічэння. Адсутнасць пазіцыйнага значэння пазначалася прабелам паміж шасцідзесятковымі лічбамі. На таблічцы, раскапанай у Кішы (якая датуецца яшчэ 700 г. да н. э.), перапісчык Бел-бан-аплу выкарыстаў тры кручкі замест прабелу ў той жа вавілонскай сістэме^[en][4]. К 300 г. да н.э. знак двух нахіленых кліноў ужываўся ў якасці запаўняльніка^[5][6].

Дакалумбава Амерыка

Нуль у мая

Мезаамерыканскі каляндар доўгага падліку^[en], распрацаваны ў паўднёва-цэнтральнай частцы Мексікі і Цэнтральнай Амерыцы, патрабаваў выкарыстання нуля ў якасці запаўняльніка ў сваёй дваццатковай^[en] пазіцыйнай сістэме злічэння. Многія гліфы, у тым ліку частковы чатырохліснік^[en], выкарыстоўваліся ў якасці нулявога сімвала для запісу дат, найраннейшы з якіх (на Стэле 2 у Ч’япа-дэ-Корса, Ч’япас) датуецца 36 г. да н.э.^{[заўв 1]}

Восем найраннейшых дат доўгага падліку з’яўляюцца па-за межамі рассялення мая^[7], таму звычайна ўважаецца, што выкарыстанне нуля ў Амерыцы пачалося раней за мая і, магчыма, было вынаходніцтвам альмекаў^[8]. Многія з ранніх дат доўгага падліку былі знойдзены ў асяродку рассялення альмекаў, хаця іх цывілізацыя знікла ў 4 стагоддзі да н.э., за некалькі стагоддзяў да найраннейшых вядомых дат доўгага падліку.

Нягледзячы на тое, што нуль стаў неад’емнай часткай злічэння мая^[en] з пустой чарапахападобнай «формай панцыра», якая часта выкарыстоўвалася для адлюстравання лічбы «нуль», мяркуецца, што гэта не паўплывала на сістэмы злічэння Старога Свету.

Кіпу, прылада з шнуроў з вузламі, якая выкарыстоўвалася ў Імперыі Інкаў і папярэдніх грамадствах у рэгіёне Анд для запісу бухгалтарскіх і іншых лічбавых даных, адпавядае дзесятковай пазіцыйнай сістэме. Нуль прадстаўлены адсутнасцю вузла ў адпаведным становішчы.

Класічная антычнасць

Старажытныя грэкі не мелі сімвала для нуля (стар.-грэч.: μηδέν, вымаўляецца як «мідэн») і не выкарыстоўвалі лічбавы запаўняльнік для яго^[9]. Паводле матэматыка Чарлза Сайфэ^[en], старажытныя грэкі сапраўды пачалі карыстацца вавілонскім нулём для прац па астраноміі пасля 500 г. да н.э., прадстаўляючы яго малой грэчаскай літарай ό (о мікрон)^[10]. Тым не менш, пасля выкарыстання вавілонскага нуля для астранамічных разлікаў яны звычайна пераводзілі лічбы назад у грэчаскія^[10]. Грэкі, здавалася, мелі філасофскую апазіцыю да выкарыстання нуля ў якасці ліку^[10]. Іншыя навукоўцы прысвойваюць грэчаскаму частковаму прыняццю вавілонскага нуля пазнейшую дату, так навуковец Андрэас Нідэр датуе гэта пасля 400 г. да н.э., а матэматык Роберт Каплан называе перыяд пасля заваёў Аляксандра Македонскага^[en][11][12] .

Грэкі, здаецца, не былі ўпэўненыя ў статусе нуля як ліку. Некаторыя з іх задаваліся пытаннем: «Як небыццё можа быць?», што прывяло да філасофскіх, а ў перыяд сярэднявечча і рэлігійных аргументаў аб прыродзе і існаванні нуля і вакууму. Апорыі^[en] Зянона Элейскага шмат у чым грунтуюцца на няпэўнай інтэрпрэтацыі нуля^[13].

Прыклад ранняга грэчаскага сімвала нуля (правы ніжні кут) з папіруса 2-га стагоддзя

К 150 г. нашай эры Пталемей пад уплывам Гіпарха і вавілонян выкарыстоўваў сімвал нуля ${\displaystyle {\overline {\circ }}}$^[14][15] у сваёй працы па тэарэтычнай астраноміі пад назвай Syntaxis Mathematica, таксама вядомай як Альмагест^[en][16]. Гэты эліністычны нуль быў, мабыць, самым раннім дакументальна пацверджаным выкарыстаннем лічбы, якая прадстаўляе нуль, у Старым Свеце^[17]. Пталамей шмат разоў выкарыстоўваў яго ў сваім Альмагесце (VI.8) для апісання сонечных і месячных зацьменняў.

Самае ранняе выкарыстанне нуля пры вылічэнні даты юліянскага Вялікадня^[en] адбылося да 311 года н.э., у першым запісе ў табліцы эпактаў^[en], захаванай у эфіопскім дакуменце за 311—369 гады, з выкарыстаннем геэзскага^[en] слова для «нішто» разам з геэзскімі лічбамі (на аснове грэчаскіх лічбаў). Табліца была перакладзена з эквівалентнай табліцы, апублікаванай Александрыйскай царквой^[en] на сярэднягрэчаскай мове^[en][18]. Тое ж фіксуецца ў 525 годзе ў эквівалентнай табліцы, пры перакладзе якой на лацінскую Дыянісій Малы ўжываў слова nulla ў адным шэрагу з рымскімі лічбамі^[19]. Калі дзяленне давала нуль у якасці рэшты, выкарыстоўваўся nihil, што азначае «нічога». Гэтыя сярэднявечныя нулі выкарыстоўвалі ўсе наступныя сярэднявечныя вылічальнікі Вялікадня. Ініцыял «N» выкарыстоўваў у якасці нулявога сімвала ў табліцы рымскіх лічбаў Беда Вялебны або яго калегі каля 725 г. н.э.^[20]

Кітай

Адлюстраванне нуля з дапамогай кітайскіх лічыльных палачак^[en] на прыкладзе з «Гісторыі матэматыкі». Пустая клетка выкарыстоўваецца для прадстаўлення нуля^[21].

Матэматычны дапаможнік Суньцзы^[en], датаваны, паводле ацэнак, з 1-е па 5-е стагоддзямі нашай эры, і японскія запісы, датаваныя 18-м стагоддзем, апісваюць, як кітайская сістэма лічыльных палачак^[en] у 4-м стагоддзі да н.э. дазваляла выконваць дзесятковыя вылічэнні. Як адзначаецца ў матэматычным дапаможніку Сяхоу Яна^[en] (425—468 гг. н. э.), каб памножыць або падзяліць лік на 10, 100, 1000 ці 10000, усё, што трэба зрабіць, трымаючы палачкі на дошцы для падліку, гэта перасунуць іх наперад, або назад, на адну, дзве, тры або чатыры клеткі^[22], Згодна з «Гісторыяй матэматыкі», палачкі «давалі дзесятковае прадстаўленне ліку, дзе пустая клетка абазначала нуль»^[21]. Сістэма лічыльных палачак лічыцца пазіцыйнай сістэмай запісу^[en][23].

У 690 г. н. э. імператрыца У Цзэцянь абнародавала іерогліфы^[en], адным з якіх быў «〇» (сін); першапачаткова іерогліф абазначаў зорку, а пазней стаў выкарыстоўвацца для запісу нуля.

Нуль у той час разглядаўся не як лік, а як «пустая пазіцыя»^[24]. Матэматычны трактат у дзевяці раздзелах^[en] Цынь Цзюшаа 1247 года з’яўляецца найстарэйшым захаваным кітайскім матэматычным тэкстам, які выкарыстоўвае круглы сімвал для нуля^[25]. Кітайскія аўтары былі знаёмыя з ідэяй адмоўных лікаў у часы дынастыі Хань (2 стагоддзе нашай эры), як відаць у Дзевяці раздзелах матэматычнага мастацтва^[en][26].

Індыя

Пінгала^[en] (прыблізна 3-е/2-е стагоддзі да н.э.^[27]), даследуючы метр санскрыцкіх вершаў^[28], выкарыстоўваў двайковыя лікі ў выглядзе кароткіх і доўгіх складоў (апошнія роўныя па даўжыні двум кароткім складам) — запіс, падобны да азбукі Морзэ^[29]. Пінгала яўна выкарыстоўваў санскрыцкае слова шунья^[en] для абазначэння нуля^[27].

Канцэпцыя нуля як пісьмовай лічбы ў дзесятковай пазіцыйнай натацыі была распрацавана ў Індыі^[30]. Сімвал нуля, вялікая кропка, якая, верагодна, з’яўляецца папярэднікам распаўсюджанага цяпер пустога сімвала, выкарыстоўваецца ў рукапісе Бахшалі^[en], практычным дапаможніку па арыфметыцы для гандляроў^[31]. У 2017 годзе радыевугляроднае датаванне паказала, што тры ўзоры з рукапісу паходзяць з трох розных стагоддзяў: з 224—383, 680—779 і 885—993 гг. н.э. Невядома, якім чынам фрагменты берасцянай кары розных стагоддзяў, якія складалі рукапіс, былі ўкладзеныя разам^[32][33][34].

Локавібхага^[en], джайнісцкі тэкст па касмалогіі 458 г. н.э. (эра Сака 380), што захаваўся ў сярэднявечным санскрыцкім перакладзе з пракрыту, выкарыстоўвае дзесятковую пазіцыйную^[en] сістэму з нулём. У гэтым тэксце шунья («пусты») таксама выкарыстоўваецца для абазначэння нуля^[35].

Ар’ябхатыя^[en] (каля 500 г.) сцвярджае, што «ад месца да месца кожнае ў дзесяць разоў перавышае папярэдняе»^[36][37][38].

Правілы, якія рэгулююць выкарыстанне нуля, з’явіліся ў Брахмаспутасідханце^[en] Брахмагупты (7-е стагоддзе), дзе гаворыцца, што сума нуля з самім сабой роўная нулю, і згадваецца дзяленне нуля і на нуль^[en][39][40]:

Дадатны або адмоўны лік пры дзяленні на нуль утварае дроб з нулём у якасці назоўніка. Нуль, падзелены на адмоўны або дадатны лік, альбо роўны нулю, альбо выражаецца ў выглядзе дробу з нулём у якасці лічніка і канечнай велічыні ў якасці назоўніка. Нуль, падзелены на нуль, — гэта нуль. Брахмагупта

Першае вядомае выкарыстанне гліфа нуль у сучасным выглядзе маленькага круга, знойдзена на каменным надпісе ў храме Чатурбхудж^[en], Гваліёр, у Індыі, датаваным 876 г.^[41][42]

Сярэднявечча

З'яўленне ў ісламскім свеце

Арабскамоўная навука збольшага грунтавалася на грэчаскай^[43] з індускімі ўплывамі^[44]. У 773 годзе на загад Аль-Мансура^[en] былі зробленыя пераклады многіх старажытных трактатаў, у тым ліку грэчаскіх, рымскіх, індыйскіх і іншых.

У 813 г. н.э. персідскі матэматык Мухамад Аль-Харэзмі падрыхтаваў астранамічныя табліцы, у якіх карыстаўся індыйскімі лікамі^[44]. Каля 825 г. ён апублікаваў кнігу ў якой сумяшчалася грэцкая і індуская навука, а таксама яго ўласны ўнёсак у матэматыку, у тым ліку тлумачэнне выкарыстання нуля^[45]. Гэтая кніга была перакладзена на лаціну ў XII ст. пад назвай Algoritmi de numero Indorum (Аль-Харэзмі пра лікі індыйцаў). Слова "Algoritmi" было перакладчыцкай лацінізацыяй імя Аль-Харэзмі, і з тых пор пачало набываць значэнне якой-кольвек арыфметычнай працэдуры^[44].

У 976 годзе Мухамад аль-Харэзмі сцвярджаў, што калі ў падліках на месцы дзясяткаў не з'яўляецца лік, трэба выкарыстоўваць маленькі кружок, «каб захаваць радкі». Гэты кружок называўся ṣifr^[46].

З'яўленне ў Еўропе

Дзесятковая інда-арабская сістэма злічэння^[en] патрапіла ў Заходнюю Еўропу ў XI ст. праз Аль-Андалус ад іспанскіх мусульман, маўраў, разам з класічнай астраноміяй і такімі інструментамі як астралябія. Вяртанне забытай навукі ў каталіцкую Еўропу прыпісваецца Герберту Арыльякскаму. З гэтай прычыны лічбы сталі вядомыя ў Еўропе як "арабскія лічбы". Італьянскі матэматык Фібаначы, або Леанарда Пізанскі, адыграў важную ролю ў распаўсюдзе сістэмы лікаў у Еўрапейскай матэматыцы, напісаўшы ў 1202 г.:

Пасля прызначэння майго бацькі на радзіме дзяржаўным чыноўнікам на мытні Буджа для пізанскіх гандляроў, якія тоўпіліся ля яе, ён узяў на сябе кіраўніцтва; і для карысці і зручнасці, перавёз мяне малога да сябе і хацеў, каб я прысвяціў сябе і быў навучаны лічэнню некаторы час. Там, пасля майго знаёмства, як следства цудоўнага навучання майстэрству, з дзевяццю лічбамі індусаў, гэтае майстэрства вельмі спадабалася мне перад усімі іншымі, і я зразумеў, што ўсе яго аспекты вывучаліся ў Егіпце, Сірыі, Грэцыі, Сіцыліі і Правансе з іх рознымі метадамі. Я працягваў паглыбленае вывучэнне і навучыўся кампрамісам у спрэчках. Але нават усё гэта, і алгарызм, як і майстэрства Піфагора, я лічыў ледзь не памылкай у параўнанні з метадам індусаў (Modus Indorum). Дзеля таго я больш строга прытрымліваўся гэтага індускага метаду і больш рупліва стараўся яго вывучаць, адначасова дадаючы некаторыя рэчы з майго ўласнага разумення і ўстаўляючы таксама некаторыя рэчы з тонкасцей геаметрычнага майстэрства Эўкліда. Я імкнуўся скласці гэтую кнігу як мага больш зразумелай, падзяліўшы яе на пятнаццаць раздзелаў. Амаль усё, што я прадставіў, я паказаў з дакладнымі доказамі, каб тыя, хто далей паглыбляецца ў гэтую навуку з яе найвыдатнейшым метадам, маглі атрымаць інструкцыі, а таксама каб лацінскі народ не быў пазбаўлены яе, як да гэтага часу. Калі я выпадкова прапусціў што-небудзь больш-менш належнае або неабходнае, прашу паблажлівасці, бо няма нікога, хто быў бы беззаганным і цалкам прадбачлівым ва ўсім. Дзевяць індыйскіх лічбаў: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. З дапамогай гэтых дзевяці лічбаў і са знакам 0 ... можа быць запісаны любы лік^[47][48][49].

Тут Леанарда Пізанскі піша "знак 0" маючы на ўвазе што ён падобны да знакаў арыфметычных дзеянняў, такіх як складанне і множанне. З XIII ст. у Еўропе становяцца папулярнымі падручнікі па лічэнні (складанне, множанне, караняванне і інш.), якія называліся алгарызмамі^[en] паводле персідскага матэматыка Аль-Харэзмі. Найвядомейшы падручнік быў напісаны Іаганам дэ Сакрабоска^[en] каля 1235 г. і ў 1488 г. стаў адной з першых надрукаваных навуковых кніг. Да канца XV-га стагоддзя сярод матэматыкаў, падобна, пераважалі інда-арабскія лічбы, у той час як гандляры аддавалі перавагу рымскім. У XVI стагоддзі арабскія лічбы сталі шырока ўжывацца ў Еўропе.

У Еўропе доўгі час нуль лічыўся ўмоўным знакам і не прызнаваўся лікам. Нават у XVII стагоддзі Валіс пісаў: «Нуль не ёсць лік». У арыфметычных працах адмоўны лік тлумачыўся як доўг, а нуль — як сітуацыя поўнага спусташэння. Поўнаму ўраўнаванню яго ў правах з іншымі лікамі асабліва спрыялі працы Леанарда Эйлера.

Гл. таксама

• -0 і +0 — фіктыўныя паняцці ў матэматычным аналізе.
• Машынны нуль
• Лічба 0
• Адмоўны лік
• Дзельнік нуля
• Лік 1 — мультыплікатыўная адзінка

Заўвагі

1. Да 3-га стагоддзя нашай эры не было знойдзена ніводнай даты доўгага падліку з выкарыстаннем лічбы 0, але праз тое, што сістэма доўгага падліку не мела б сэнсу без нейкага запаўняльніка і тое, што мезаамерыканскія гліфы звычайна не пакідалі пустых месцаў, гэтыя больш раннія даты ўважаюцца ўскоснымі доказамі таго, што канцэпцыя нуля ўжо існавала ў той час.

Зноскі

1. Bunt, Lucas Nicolaas Hendrik; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. (1976). The historical roots of elementary mathematics. Courier Dover Publications. pp. 254–255. ISBN 0-486-13968-9., Extract of pages 254—255
2. Egyptian numerals (нявызн.). mathshistory.st-andrews.ac.uk. Архівавана з першакрыніцы 15 November 2019. Праверана 21 December 2019.
3. Joseph, George Gheverghese (2011). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (Third ed.). Princeton UP. p. 86. ISBN 978-0-691-13526-7.
4. Kaplan, Robert. (2000). The Nothing That Is: A Natural History of Zero. Oxford: Oxford University Press.
5. Zero (англ.). Maths History. Архівавана з першакрыніцы 21 September 2021. Праверана 7 верасня 2021.
6. Babylonian mathematics: View as single page (нявызн.). www.open.edu. Архівавана з першакрыніцы 7 September 2021. Праверана 7 верасня 2021.
7. Diehl, p. 186
8. Mortaigne, Véronique (28 November 2014). "The golden age of Mayan civilisation – exhibition review". The Guardian. Архівавана з арыгінала 28 November 2014. Праверана 10 October 2015.
9. Wallin, Nils-Bertil. The History of Zero (нявызн.)(недаступная спасылка). YaleGlobal online. The Whitney and Betty Macmillan Center for International and Area Studies at Yale. (19 лістапада 2002). Архівавана з першакрыніцы 25 August 2016. Праверана 1 September 2016.
10. Seife, Charles (1 September 2000). Zero: The Biography of a Dangerous Idea. Penguin. p. 39. ISBN 978-0-14-029647-1. OCLC 1005913932. Архівавана з арыгінала 30 April 2022. Праверана 30 April 2022.
11. Nieder, Andreas (19 November 2019). A Brain for Numbers: The Biology of the Number Instinct. MIT Press. p. 286. ISBN 978-0-262-35432-5. Архівавана з арыгінала 30 April 2022. Праверана 30 April 2022.
12. Kaplan, Robert (28 October 1999). The Nothing that Is: A Natural History of Zero. Oxford University Press. p. 17. ISBN 978-0-19-802945-8. OCLC 466431211. Архівавана з арыгінала 24 June 2014. Праверана 30 April 2022.
13. Huggett, Nick (2019). "Zeno's Paradoxes". In Zalta, Edward N. (рэд.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2019 ed.). Metaphysics Research Lab, Stanford University. Архівавана з арыгінала 10 January 2021. Праверана 2020-08-09.
14. Neugebauer, Otto (1969) [1957]. The Exact Sciences in Antiquity. Vol. 9 (2 ed.). Dover Publications. pp. 13–14, plate 2. ISBN 978-0-486-22332-2. PMID 14884919. {{cite book}}: |journal= ігнараваны (даведка)
15. Mercier, Raymond. Consideration of the Greek symbol 'zero' (нявызн.). Home of Kairos. Архівавана з першакрыніцы 5 November 2020. Праверана 28 March 2020.
16. Ptolemy (1998) [1984, каля 150]. Ptolemy's Almagest. Перакладчык Toomer, G. J. Princeton University Press. pp. 306–307. ISBN 0-691-00260-6.
17. A history of Zero (нявызн.). MacTutor History of Mathematics. Архівавана з першакрыніцы 7 April 2020. Праверана 28 March 2020.
18. Neugebauer, Otto (2016) [1979]. Ethiopic Astronomy and Computus (Red Sea Press ed.). Red Sea Press. pp. 25, 53, 93, 183, Plate I. ISBN 978-1-56902-440-9.. The pages in this edition have numbers six less than the same pages in the original edition.
19. Deckers, Michael. Cyclus Decemnovennalis Dionysii – Nineteen Year Cycle of Dionysius (нявызн.) (2003). Архівавана з першакрыніцы 15 January 2019.
20. C. W. Jones, ed., Opera Didascalica, vol. 123C in Corpus Christianorum, Series Latina.
21. Hodgkin, Luke (2005). A History of Mathematics : From Mesopotamia to Modernity: From Mesopotamia to Modernity. Oxford University Press. p. 85. ISBN 978-0-19-152383-0.
22. O'Connor, J.J.. Chinese numerals (нявызн.). Mac Tutor. School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland (1 студзеня 2004). Архівавана з першакрыніцы 14 June 2020. Праверана 14 June 2020.
23. Crossley, Lun. 1999, p. 12 «the ancient Chinese system is a place notation system»
24. Kang-Shen Shen; John N. Crossley; Anthony W.C. Lun; Hui Liu (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford UP. p. 35. ISBN 978-0-19-853936-0. zero was regarded as a number in India ... whereas the Chinese employed a vacant position
25. Mathematics in the Near and Far East (нявызн.). grmath4.phpnet.us. Архівавана з першакрыніцы 10 August 2018. Праверана 7 June 2012.
26. Struik, Dirk J. (1987). A Concise History of Mathematics. New York: Dover Publications. pp. 32-33. «In these matrices we find negative numbers, which appear here for the first time in history.»
27. Plofker, Kim (2009). Mathematics in India. Princeton University Press. pp. 54–56. ISBN 978-0-691-12067-6.
28. Vaman Shivaram Apte (1970). Sanskrit Prosody and Important Literary and Geographical Names in the Ancient History of India. Motilal Banarsidass. pp. 648–649. ISBN 978-81-208-0045-8. Архівавана з арыгінала 22 April 2017. Праверана 21 April 2017.
29. Math for Poets and Drummers (нявызн.)(недаступная спасылка). people.sju.edu. Архівавана з першакрыніцы 22 January 2019. Праверана 20 December 2015.
30. Bourbaki, Nicolas Elements of the History of Mathematics (1998), p. 46
31. Weiss, Ittay (20 September 2017). "Nothing matters: How India's invention of zero helped create modern mathematics". The Conversation. Архівавана з арыгінала 12 July 2018. Праверана 12 July 2018.
32. Devlin, Hannah (13 September 2017). "Much ado about nothing: ancient Indian text contains earliest zero symbol". The Guardian. ISSN 0261-3077. Архівавана з арыгінала 20 November 2017. Праверана 14 September 2017.
33. Revell, Timothy (14 September 2017). "History of zero pushed back 500 years by ancient Indian text". New Scientist. Архівавана з арыгінала 25 October 2017. Праверана 25 October 2017.
34. "Carbon dating finds Bakhshali manuscript contains oldest recorded origins of the symbol 'zero'". Bodleian Library. 14 September 2017. Архівавана з арыгінала 14 September 2017. Праверана 25 October 2017.
35. Ifrah, Georges (2000), p. 416.
36. Aryabhatiya of Aryabhata, translated by Walter Eugene Clark.
37. O'Connor, Robertson, J.J., E.F.. Aryabhata the Elder (нявызн.). School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland. Архівавана з першакрыніцы 11 July 2015. Праверана 26 May 2013.
38. William L. Hosch, рэд. (15 August 2010). The Britannica Guide to Numbers and Measurement (Math Explained). The Rosen Publishing Group. pp. 97–98. ISBN 978-1-61530-108-9. Архівавана з арыгінала 4 August 2016. Праверана 26 September 2016.
39. Algebra with Arithmetic of Brahmagupta and Bhaskara, translated to English by Henry Thomas Colebrooke (1817) London
40. Kaplan, Robert (1999). The Nothing That Is: A Natural History of Zero. New York: Oxford University Press. pp. 68–75. ISBN 978-0-19-514237-2.
41. Casselman, Bill. All for Nought (нявызн.). ams.org. University of British Columbia), American Mathematical Society. Архівавана з першакрыніцы 6 December 2015. Праверана 20 December 2015.
42. Ifrah, Georges (2000), p. 400.
43. Pannekoek, A. (1961). A History of Astronomy. George Allen & Unwin. p. 165.
44. Will Durant (1950), The Story of Civilization, Volume 4, The Age of Faith: Constantine to Dante – A.D. 325–1300, Simon & Schuster, ISBN 978-0-9650007-5-8, p. 241, "The Arabic inheritance of science was overwhelmingly Greek, but Hindu influences ranked next. In 773, at Mansur's behest, translations were made of the Siddhantas – Indian astronomical treatises dating as far back as 425 BC; these versions may have the vehicle through which the "Arabic" numerals and the zero were brought from India into Islam. In 813, al-Khwarizmi used the Hindu numerals in his astronomical tables."
45. Brezina, Corona (2006). Al-Khwarizmi: The Inventor of Algebra. The Rosen Publishing Group. ISBN 978-1-4042-0513-0. Архівавана з арыгінала 29 February 2020. Праверана 26 September 2016.
46. Will Durant (1950), The Story of Civilization, Volume 4, The Age of Faith, Simon & Schuster, ISBN 978-0-9650007-5-8, p. 241, "In 976, Muhammad ibn Ahmad, in his Keys of the Sciences, remarked that if, in a calculation, no number appears in the place of tens, a little circle should be used "to keep the rows". This circle the Mosloems called ṣifr, "empty" whence our cipher."
47. Sigler, L., Fibonacci's Liber Abaci. English translation, Springer, 2003.
48. Grimm, R.E., "The Autobiography of Leonardo Pisano", Fibonacci Quarterly 11/1 (February 1973), pp. 99–104.
49. Hansen, Alice (2008-06-09). Primary Mathematics: Extending Knowledge in Practice(англ.). SAGE. ISBN 978-0-85725-233-3. Архівавана з арыгінала 7 March 2021. Праверана 7 November 2020.

Спасылкі

• История нуля
• Почему нельзя делить на ноль? Архівавана 2 красавіка 2015.
• Символика чисел (нуль) Архівавана 2 красавіка 2015. /С. Курий/ «Время Z» № 2/2007
• О сопоставлении понятий «нуль» и «ничто» Архівавана 4 сакавіка 2016. Смирнов О. А. — Научная сессия МИФИ-2003.
• Свойства числа ноль (руск.)