Скалярны здабытак

Скалярны здабытак (часам унутраны здабытак) — аперацыя над двума вектарамі, вынікам якой з’яўляецца лік (скаляр^[1]), што не залежыць ад сістэмы каардынат і характарызуе даўжыні вектараў-сумножнікаў і вугал паміж імі. Дадзенай аперацыі адпавядае памнажэнне даўжыні вектара x на праекцыю вектара y на вектар x. Гэта аперацыя звычайна разглядаецца як камутатыўная і лінейная па кожным сумножніку.

Звычайна выкарыстоўваецца адно з наступных абазначэнняў:

${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle }$,

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$,

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$,

ці (абазначэнне Дырака, якое часта ўжываецца ў квантавай механіцы для вектараў стану):

${\displaystyle \langle a|b\rangle }$.

Звычайна лічыцца, што скалярны здабытак дадатна вызначаны, то бок

${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle >0}$ для ўсіх ${\displaystyle a\not =0}$.

Калі гэтага не прадугледжваецца, то здабытак завецца індэфінітным (няпэўным).

Вызначэнне

Скалярным здабыткам у вектарнай прасторы ${\displaystyle \mathbb {L} }$ над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$ кaмплексных (ці ${\displaystyle \mathbb {R} }$ рэчаісных) лікаў называецца функцыя ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ для элементаў ${\displaystyle x,y\in \mathbb {L} }$, якая прымае значэнні ў ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (ці ${\displaystyle \mathbb {R} }$), якая вызначана для кожнай пары элементаў і задавальняе наступным умовам:

1. для любых трох элементаў ${\displaystyle ~x_{1},x_{2}}$ і ${\displaystyle ~y}$ прасторы ${\displaystyle \mathbb {L} }$ і любых лікаў ${\displaystyle ~\alpha ,\beta }$ з ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (ці ${\displaystyle \mathbb {R} }$) справядліва роўнасць ${\displaystyle \langle \alpha x_{1}+\beta x_{2},y\rangle =\alpha \langle x_{1},y\rangle +\beta \langle x_{2},y\rangle }$ (лінейнасць скалярнага здабытка па першым аргуменце);
2. для любых ${\displaystyle ~x}$ і ${\displaystyle ~y}$ справядліва роўнасць ${\displaystyle \langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}}$, дзе рыса азначае комплекснае спалучэнне (эрмітава сіметрычнасць);
3. для любога ${\displaystyle ~x}$ маем ${\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0}$, прычым ${\displaystyle \langle x,x\rangle =0}$ толькі пры ${\displaystyle ~x=0}$ (дадатная вызначанасць скалярнага здабытка).

Заўважым, што з п.2 вызначэння вынікае, што ${\displaystyle \langle x,x\rangle \in \mathbb {R} }$. Таму п.3 мае сэнс, нягледзячы на комплексныя (у агульным выпадку) значэнні скалярнага здабытка.

Алгебраічнае вызначэнне

Скалярны здабытак для двух вектараў a = [a₁, a₂, ..., a_n] і b = [b₁, b₂, ..., b_n] у n-мернай рэчаіснай прасторы вызначаецца як:^[2]

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}}$.

Напрыклад, у трохмернай прасторы здабытак вектараў [1, 3, -5] і [4, -2, -1] будзе вылічаны як:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3.\end{aligned}}}$

Для комплексных вектараў a = [a₁, a₂, ..., a_n] і b = [b₁, b₂, ..., b_n] скалярны здабытак вызначаецца як:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overline {b_{i}}}=a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots +a_{n}{\overline {b_{n}}}}$.

Напрыклад, ${\displaystyle [1+i,2]\cdot [2+i,i]=(1+i)\cdot ({\overline {2+i}})+2\cdot {\overline {i}}=(1+i)\cdot (2-i)+2\cdot (-i)=3-i}$

Геаметрычнае вызначэнне

A • B = |A| |B| cos(θ)

Калі вызначэнні даўжыні вектара і вугла паміж вектарамі ўведзены незалежна ад паняцця скалярнага здабытку (звычайна, так і робяць пры выкладанні класічнай геаметрыі), то скалярны здабытак вызначаецца праз даўжыні сумножнікаў і вугал паміж імі:

${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\cdot \cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}}$

Сучасная аксіяматыка звычайна будуецца пачынаючы са скалярнага здабытку, і тады даўжыня вектара і вугал вызначаюцца ўжо праз скалярны здабытак (гл. ніжэй).

Звязаныя вызначэнні

• Рэчаісная канечнамерная лінейная прастора са скалярным здабыткам завецца еўклідавай, комплексная — унітарнай.

У сучасным аксіяматычным падыходзе ўжо на аснове паняцця скалярнага здабытку вектараў уводзяцца наступныя вытворныя паняцці:

• Даўжыня вектара, пад якой звычайна разумеецца яго еўклідава норма: ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$ (тэрмін 'даўжыня' звычайна ўжываецца да канечнамерных вектараў, аднак у выпадку вылічэння даўжыні крывалінейнага шляху часта выкарыстоўваецца і ў выпадку бясконцамерных прастор).
• Вуглом паміж двума ненулявымі вектарамі еўклідавай прасторы (у прыватнасці, еўклідавай плоскасці) завецца лік, косінус якога роўны адносінам скалярнага здабытку гэтых вектараў да здабытку іх даўжынь (норм):
      ${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos \varphi .}$
  У выпадку, калі прастора з’яўляецца псеўдаеўклідавай, паняцце вугла вызначаецца толькі для вектараў, якія не ўтрымоўваюць ізатропных прамых унутры ўтворанага вектарамі сектара. Сам вугал пры гэтым уводзіцца як лік, гіпербалічны косінус якога роўны адносінам модуля скалярнага задабытку гэтых вектараў да задабытку іх даўжынь (норм):
      ${\displaystyle |\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle |=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\operatorname {ch} \varphi .}$

• Артаганальнымі (перпендыкулярнымі) завуцца вектары, скалярны здабытак якіх роўны нулю. Гэта вызначэнне дастасоўна да любых прастор з дадатна вызначаным скалярным здабыткам. Напрыклад, артаганальныя мнагачлены насамрэч артаганальныя (у сэнсе гэтага вызначэння) адзін аднаму ў некаторай гільбертавай прасторы.
• Прастора (рэчаісная ці комплексная) з дадатна вызначаным скалярным здабыткам завецца прадгільбертавай прасторай.
  • Пры гэтым канечнамерная рэчаісная прастора з дадатна вызначаным скалярным здабыткам называецца таксама еўклідавай, а комплексная — эрмітавай ці ўнітарнай прасторай.
• Выпадак, калі скалярны здабытак не з’яўляецца знакавызначаным, прыводзіць да т.зв. прастор з індэфінітнай метрыкай. Скалярны здабытак у такіх прасторах ужо не спараджае нормы (і яна звычайна ўводзіцца дадаткова). Канечнамерная рэчаісная прастора з індэфінітнай метрыкай завецца псеўдаеўклідавай (найважнейшым асобным выпадкам такой прасторы з’яўляецца прастора Мінкоўскага). Сярод бясконцамерных прастор з індэфінітнай метрыкай важную ролю іграюць прасторы Пантрагіна і прасторы Крэйна.

Прыклады

• У трохмернай рэчаіснай вектарнай прасторы вектараў ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},x_{3})}$ увядзенне скалярнага здабытку па формуле ${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}}$ ператварае гэту прастору ў еўклідаву прастору. Аналагічнае сцвярджэнне справядліва для еўклідавай прасторы любой размернасці (у суму тады ўваходзіць колькасць членаў, роўная размернасці прасторы).
  • У любой еўклідавай прасторы (размернасці n) заўсёды можна абраць^[3] ортаўнармаваны базіс ${\displaystyle {\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n}}}$
    

пры раскладанні вектараў па якім:

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\dots +a_{n}\mathbf {e} _{n}}$,

${\displaystyle \mathbf {b} =b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2}+\dots +b_{n}\mathbf {e} _{n}}$ і г.д.,

скалярны здабытак будзе вызначацца формулай:

${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =\mathbf {a} ^{T}\mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\dots +a_{n}b_{n}}$.

• У такой жа, але комплекснай, прасторы, скалярны здабытак уводзіцца па трохі іншай формуле: ${\displaystyle \langle {\vec {x}},{\vec {y}}\rangle =x_{1}{\overline {y_{1}}}+x_{2}{\overline {y_{2}}}+x_{3}{\overline {y_{3}}}}$. Тут праз ${\displaystyle {\overline {a}}}$ пазначаны лік, комплексна спалучаны да ${\displaystyle \ a}$. Пры такім вызначэнні скалярны здабытак становіцца дадатна вызначаным. Без комплекснага спалучэння аксіёма эрмітавасці скалярнага здабытку была б парушана, а значыць, рэчаіснасці вызначанай праз яго нормы вектара дамагчыся б не атрымалася, гэта значыць норма ў звычайным сэнсе ім бы не спараджалася.
• У прасторы вымерных інтэграваных з квадратамі на некаторай вобласці Ω рэчаісных функцый можна ўвесці дадатна вызначаны скалярны здабытак:

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int \limits _{\Omega }f(x)g(x)d\Omega }$

• У аналагічным выпадку для комплексных функцый, калі патрабуецца эрмітавасць (і дадатная вызначанасць) скалярнага здабытку, трэба дадаць комплекснае спалучэнне да f ці g пад інтэгралам.
• Пры выкарыстанні неортанарміраваных базісаў скалярны здабытак выражаецца праз кампаненты вектараў з удзелам метрычнага тэнзара ${\displaystyle g_{ij}}$:

${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =\sum g_{ij}a^{i}b^{j}}$

пры гэтым сама метрыка (кажучы дакладней, яе прадстаўленне ў дадзеным базісе) так звязана са скалярнымі здабыткамі базісных вектараў ${\displaystyle f_{i}\ }$:

${\displaystyle g_{ij}=\langle \mathbf {f} _{i},\mathbf {f} _{j}\rangle }$

• • (метрыка ў ортаўнармаваных базісах трывіяльная, гэта значыць прадстаўлена адзінкавай матрыцай ${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}}$)
• Аналагічныя канструкцыі скалярнага здабытку можна ўводзіць і на бясконцамерных прасторах, напрыклад, на прасторах функцый:

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int \limits _{(\Omega _{1}\times \Omega _{2})}K(x_{1},x_{2})f(x_{1})g(x_{2})d(\Omega _{1}\times \Omega _{2})}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int \limits _{\Omega }K(x)f(x)g(x)d\Omega }$

дзе K — дадатна вызначаная, у першым выпадку сіметрычная адносна перастаноўкі аргументаў (пры комплексных x — эрмітава) функцыя (калі трэба мець звычайны сіметрычны дадатна вызначаны скалярны здабытак).

Уласцівасці

• тэарэма косінусаў лёгка выводзіцца з выкарыстаннем скалярнага здабытку:

  ${\displaystyle |BC|^{2}={\vec {BC}}^{2}=({\vec {AC}}-{\vec {AB}})^{2}=\langle {\vec {AC}}-{\vec {AB}},{\vec {AC}}-{\vec {AB}}\rangle ={\vec {AC}}^{2}+{\vec {AB}}^{2}-2\langle {\vec {AC}},{\vec {AB}}\rangle =|AB|^{2}+|AC|^{2}-2|AB||AC|\cos {\hat {A}}}$

• Вугал паміж вектарамі:

  ${\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle }{\sqrt {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle \langle \mathbf {b} ,\mathbf {b} \rangle }}}}$

• Ацэнка вугла паміж вектарамі:

  у формуле ${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\cdot \cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}}$ знак вызначаецца толькі косінусам вугла (нормы вектараў заўсёды дадатныя). Таму скалярны здабытак > 0, калі вугал паміж вектарамі востры, і < 0, калі вугал паміж вектарамі тупы.

• Праекцыя вектару ${\displaystyle \mathbf {a} }$ на кірунак, вызначанае адзінкавым вектарам ${\displaystyle \mathbf {e} }$:

  ${\displaystyle a_{e}=\langle \mathbf {a} ,\mathbf {e} \rangle =|\mathbf {a} ||\mathbf {e} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}=|\mathbf {a} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}}$, бо ${\displaystyle |\mathbf {e} |=1}$

• умова артаганальнасці^[4] (перпендыкулярнасці) вектараў ${\displaystyle \mathbf {a} }$ і ${\displaystyle \mathbf {b} }$:

${\displaystyle \mathbf {a} \bot \mathbf {b} \Leftrightarrow \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =0}$

• Плошча паралелаграма, нацягнутага на два вектары ${\displaystyle \mathbf {a} \ }$ і ${\displaystyle \mathbf {b} \ }$, роўная

${\displaystyle {\sqrt {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle \langle \mathbf {b} ,\mathbf {b} \rangle -\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle ^{2}}}\ }$

Няроўнасць Кашы — Бунякоўскага

Для любых элементаў ${\displaystyle \mathbf {x} }$ і ${\displaystyle \mathbf {y} }$ лінейнай прасторы са скалярным здабыткам выконваецца няроўнасць Архівавана 27 лютага 2009.

${\displaystyle \vert \langle x,y\rangle \vert ^{2}\leq \langle x,x\rangle \langle y,y\rangle }$

Гісторыя

Скалярны здабытак быў уведзены У. Гамільтанам у 1846 годзе^[5] адначасова з вектарным здабыткам у сувязі з кватэрніёнамі — адпаведна, як скалярная і вектарная частка здабытку двух кватэрніёнаў, скалярная частка якіх роўная нулю^[6].

Варыяцыі і абагульненні

Найпрасцейшым абагульненнем канечнамернага скалярнага здабытку ў тэнзарнай алгебры з’яўляецца згортка па паўтаральных індэксах. Аналагічнае абагульненне ў прынцыпе няцяжка зрабіць і ў бесканечнамерным выпадку (для бесканечнамерных прастор функцый — гл. прыклады (вышэй)).

Гл. таксама

• Псеўдаскалярны здабытак
• Вонкавы здабытак
• Вектарны здабытак
• Змяшаны здабытак
• Гільбертава прастора
• Метрычны тэнзар

Зноскі

1. Калі разглядаюцца вектары, лікі часта называюць скалярамі.
2. S. Lipschutz, M. Lipson (2009). Linear Algebra (Schaum’s Outlines) (4th ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
3. Ортанарміраванасць базісу вызначаецца ўмовай

   ${\displaystyle \langle \mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}\rangle =\delta _{ij}={\begin{cases}1,&i=j\\0,&i\neq j,\end{cases}}}$

   якая складаецца ў роўнасці нулю скалярных здабыткаў розных базісных вектараў, напрыклад, першага і другога, першага і трэцяга, і г.д. (артаганальнасць), і роўнасці адзінцы — скалярнага здабытку кожнага базіснага вектара з самім сабой (нарміраванасць). Згаданыя ў асноўным тэксце формулы атрымліваюцца прамым перамнажэннем вектараў, раскладзеных па такім базісе, улічваючы ўласцівасці скалярнага здабытку, асабліва яго білінейнасць, якая дазваляе раскрываць дужкі і інш. як пры вылічэннях са звычайнымі лікамі.
4. У абстрактнай фармулёўцы названая ўмова ${\displaystyle {\vec {a}}\bot {\vec {b}}}$ — гэта ўсяго толькі вызначэнне артаганальнасці. Аналагічна, дзве формулы вышэй у абстрактнай фармулёўцы таксама з’яўляюцца проста вызначэннямі адпаведных паняццяў праз скалярны здабытак, але яны ўсе могуць з поспехам быць скарыстаны ў пэўных вылічэннях, напрыклад, у элементарнай геаметрыі, незалежна ад таго, якая сістэма вызначэнняў выкарыстоўваецца, сучасная абстрактная ці традыцыйная элементарная.
5. Crowe M. J. A History of Vector Analysis – The Evolution of the Idea of a Vectorial System. — Courier Dover Publications, 1994. — С. 32. — 270 с. — ISBN 0486679101.
6. Hamilton W. R. On Quaternions; or on a New System of Imaginaries in Algebra // Philosophical Magazine. 3rd Series. — London: 1846. — Т. 29. — С. 30.

Літаратура

• Скалярны здабытак вектараў // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 14: Рэле — Слаявіна / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 2002. — Т. 14. — С. 434. — 10 000 экз. — ISBN 985-11-0035-8. — ISBN 985-11-0238-5 (т. 14).

Спасылкі

• На Вікісховішчы ёсць медыяфайлы па тэме Скалярны здабытак