Поле (алгебра)

У паняцця ёсць і іншыя значэнні, гл. Поле.

По́ле — мноства, для элементаў якога вызначаны дзве аперацыі, т.зв. складанне і множанне, якія падпарадкоўваюцца пэўным законам. Паняцце «поле» можна разглядаць як абагульненне мноства рэчаісных лікаў разам са звычайнымі складаннем і множаннем.

Паняцце «поле» было ўпершыню ўведзена ў 19 стагоддзі Рыхардам Дэдэкіндам.

Найважнейшымі прыкладамі палёў, якія выкарыстоўваюцца ледзь не ва ўсіх галінах матэматыкі, з'яўляюцца поле ${\displaystyle \mathbb {R} }$ рэчаісных лікаў, поле ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ рацыянальных лікаў і поле ${\displaystyle \mathbb {C} }$ камплексных лікаў.

Строгае азначэнне

Агульнае азначэнне

Поле − гэта мноства ${\displaystyle K}$, на якім вызначаны дзве бінарныя аперацыі «${\displaystyle +}$» і " ${\displaystyle \cdot }$ " (як правіла, называюцца адпаведна складанне і множанне), якія задавальняюць наступныя ўмовы:

1. ${\displaystyle \left(K,+\right)}$ ёсць абелева група (з нейтральным элементам 0)
2. ${\displaystyle \left(K\setminus \left\{0\right\},\cdot \right)}$ ёсць абелева група (з нейтральным элементам 1)
3. Выконваецца размеркавальны закон: для любых ${\displaystyle a,b,c\in K}$ справядліва:

   ${\displaystyle a\cdot \left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c,}$ (левы размеркавальны закон)

   ${\displaystyle \left(a+b\right)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$ (правы размеркавальны закон)

Пералік неабходных аксіём

Любое поле павінна задавальняць наступную сістэму аксіём, якія называюцца аксіёмамі поля:

1. Уласцівасці складання:
   1. ${\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}$ (спалучальны закон)
   2. ${\displaystyle a+b=b+a}$ (перамяшчальны закон)
   3. Існуе элемент ${\displaystyle 0\in K}$ такі, што ${\displaystyle 0+a=a}$ (нейтральны элемент)
   4. Для кожнага ${\displaystyle a\in K}$ існуе адваротны адносна складання (процілеглы) элемент ${\displaystyle -a}$, такі што ${\displaystyle (-a)+a=0}$
2. Уласцівасці множання:
   1. ${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c}$ (спалучальны закон)
   2. ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$ (перамяшчальны закон)
   3. Існуе элемент ${\displaystyle 1\in K\setminus \{0\}}$, такі што ${\displaystyle 1\cdot a=a}$ (нейтральны элемент).
   4. Для кожнага ${\displaystyle a\in K\setminus \{0\}}$ існуе адваротны адносна множання элемент ${\displaystyle a^{-1}}$, такі што ${\displaystyle a^{-1}\cdot a=1}$
3. Узгодненасць (або дапасаванасць) складання і множання:
   1. ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$ (левы размеркавальны закон)
   2. ${\displaystyle 1\neq 0}$ (інакш нулявое колца было б полем)

Заўвага 1: правы размеркавальны закон

${\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$

вынікае з астатніх уласцівасцей:

${\displaystyle (a+b)\cdot c=c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b=a\cdot c+b\cdot c}$

Заўвага 2: часам ад перамяшчальнага закона для множання адмаўляюцца, у выніку замест поля атрымліваецца так званае цела. Прыкладам цела з'яўляецца мноства кватэрніёнаў з вызначанымі на ім складаннем і множаннем.

Літаратура

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — Москва: Факториал Пресс, 2002.