Эквівалентнасць масы і энергіі

Гэты артыкул уключае апісанне тэрміна «энергія спакою».

Гэты артыкул уключае апісанне тэрміна «E=mc²»; гл. таксама іншыя значэнні.

Формула на небаскробе Тайбэй 101 у час аднаго з мерапрыемстваў Сусветнага года фізікі (2005)

Эквівале́нтнасць ма́сы і эне́ргіі — фізічная канцэпцыя тэорыі адноснасці, згодна з якою поўная энергія фізічнага аб'екта (фізічнай сістэмы, цела) роўная яго (яе) масе, дамножанай на размерны множнік квадрата хуткасці святла ў вакууме:

${\displaystyle E=mc^{2},}$

дзе ${\displaystyle E}$ — энергія аб'екта, ${\displaystyle m}$ — яго маса, ${\displaystyle c}$ — хуткасць святла ў вакууме, роўная 299 792 458 м/с.

У залежнасці ад таго, што разумеюць пад тэрмінамі «маса» і «энергія», дадзеная канцэпцыя можа быць вытлумачыць дваяка:

• з аднаго боку, канцэпцыя азначае, што маса цела (інварыянтная маса, т. зв. маса спакою)^[1] роўная (з дакладнасцю да пастаяннага множніка c²)^[2] энергіі, «заключанай у ім», г. зн. яго энергіі, вымеранай ці вылічанай у спадарожнай сістэме адліку (сістэме адліку спакою), так званай энергіі спакою, ці ў шырокім сэнсе унутранай энергіі гэтага цела^[3],

  ${\displaystyle E_{0}=mc^{2},}$

дзе ${\displaystyle E_{0}}$ — энергія спакою цела, ${\displaystyle m}$ — яго маса спакою;

• з другога боку, можна сцвярджать, што любому віду энергіі (не абавязкова ўнутранай) фізічнага аб'екта (не абавязкова цела) адпавядае нейкая маса; напрыклад, для любога рушачага аб'екта было ўведзена паняцце рэлятывісцкай масы, роўнай (з дакладнасцю да множніка c²) поўнай энергіі гэтага аб'екта (уключаючы кінетычную)^[4],

  ${\displaystyle m_{rel}c^{2}=E,}$

дзе ${\displaystyle E}$ — поўная энергія аб'екта, ${\displaystyle m_{rel}}$ — яго рэлятывісцкая маса.

Першая інтэрпрэтацыя не з'яўляецца толькі асобным выпадкам другой. Хоць энергія спакою ёсць асобны выпадак энергіі, а ${\displaystyle m}$ практычна роўная ${\displaystyle m_{rel}}$ у выпадку нулявой ці малой хуткасці руху цела, але ${\displaystyle m}$ мае па-за рамкамі другой інтэрпрэтацыі свой уласны фізічны змест: гэта велічыня з'яўляецца скалярным (г. зн. выражаным адным лікам) інварыянтным (нязменным пры змене сістэмы адліку) множнікам у азначэнні 4-вектара энергіі-імпульсу, аналагічным ньютанаўскай масе і яе прамым абагульненнем^[5], і да таго ж ${\displaystyle m}$ з'яўляецца модулем 4-імпульсу. У дадатак, іменна ${\displaystyle m}$ (а не ${\displaystyle m_{rel}}$) з'яўляецца адзіным скалярам, які не толькі характарызуе інертныя ўласцівасці цела пры малых хуткасцях, але і праз які гэтыя ўласцівасці можна дастаткова проста запісаць для любой скорасці руху цела^[6].

І такім чынам, ${\displaystyle m}$ — інварыянтная маса — фізічная велічыня, якая мае самастойнае і ў многім фундаментальнейшае значэнне^[7].

У сучаснай тэарэтычнай фізіцы канцэпцыю эквівалентнасці масы і энергіі звычайна выкарыстоўваюць у першым сэнсе^[8]. Галоўная прычына, чаму прыпісванне масы любому віду энергіі лічыцца чыста тэрміналагічна няўдалым і таму практычна выйшла з ужытку ў стандартнай навуковай тэрміналогіі, заключаецца ў поўнай сінанімічнасці паняццяў масы і энергіі пры таком падыходзе. Акрамя таго, неакуратнае выкарыстанне такога падыходу можа заблытваць^[9] і ў канчатковым выніку аказваецца неапраўданым. Такім чынам, у цяперашні час тэрмін «рэлятывісцкая маса» ў прафесійнай літаратуры практычна не сустракаецца, а калі кажуць пра масу, маюць на ўвазе інварыянтную масу. У той жа час тэрмін «рэлятывісцкая маса» ўжываецца для якасных разважанняў у прыкладных пытаннях, а таксама ў адукацыйным працэсе і ў навукова-папулярнай літаратуры. Гэты тэрмін падкрэслівае павелічэнне інертных уласцівасцей рушачага цела разам с яго энергіяй, што само па сабе цалкам змястоўна^[10].

У найбольш універсальнай форме прынцып быў сфармулёван упершыню Альбертам Эйнштэйнам у 1905 годзе, аднак уяўленні аб сувязі энергіі і інертных уласцівасцей цела развіваліся і ў больш ранніх працах іншых даследчыкаў.

У сучаснай культуры формула E = mc² з'яўляецца ледзь не самай вядомай з усіх фізічных формул, што абумоўліваецца яе сувяззю са страшнай магутнасцю ядзернай зброі. Акрамя таго, іменна гэта формула з'яўляецца сімвалам тэорыі адноснасці і шырока выкарыстоўваецца папулярызатарамі навукі^[11].

Эквівалентнасць інварыянтнай масы і энергіі спакою

Гістарычна прынцып эквівалентнасці масы і энергіі быў упершыню сфармулёван у сваёй канчатковай форме пры пабудове спецыяльнае тэорыі адноснасці Альбертам Эйнштэйнам. Ён паказаў, што для свабодна рушачай часціцы, а таксама свабоднага цела і ўвогуле любой замкнёнай сістэмы часціц, справядлівы наступныя суадносіны^[12]:

${\displaystyle \ E^{2}-{\vec {p}}^{\,2}c^{2}=m^{2}c^{4},\qquad {\vec {p}}={\frac {E{\vec {v}}}{c^{2}}},}$

дзе ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle {\vec {p}}}$, ${\displaystyle {\vec {v}}}$, ${\displaystyle m}$ — энергія, імпульс, хуткасць і інварыянтная маса сістэмы ці часціцы, адпаведна, ${\displaystyle c}$ — хуткасць святла ў вакууме. З гэтых выразаў відаць, што ў рэлятывісцкай механіцы, нават калі хуткасць і імпульс цела (масіўнага аб'екта) становяцца нулявымі, яго энергія застаецца ненулявою^[13], застаючыся роўнаю некаторай велічыні, якая вызначаецца масай цела:

${\displaystyle E_{0}=mc^{2}.}$

Гэта велічыня называецца энергіяй спакою,^[14] і гэты выраз устанаўлівае эквівалентнасць масы цела гэтай энергіі. На аснове гэтага факта Эйнштэйн зрабіў вывад, што маса цела з'яўляецца адною з форм энергіі^[3], і што тым самым законы захавання масы і энергіі аб'яднаны ў адзін закон захавання^[15].

Энергія і імпульс цела з'яўляюцца кампанентамі 4-вектара энергіі-імпульсу (чатырохімпульсу)^[16] (энергія — часавай, імпульс — прасторавымі) і адпаведным чынам пераўтвараюцца пры пераходзе з аднае сістэмы адліку ў другую, а маса цела з'яўляецца лорэнц-інварыянтам, астаючыся пры пераходзе ў іншыя сістэмы адліку нязменнай, і мае сэнс модуля вектара чатырохімпульсу.

Варта таксама адзначыць, што няглядзячы на тое, што энергія і імпульс часціц адытыўныя^[17], г. зн. для сістэмы часціц маем:

${\displaystyle \ E=\sum _{i}E_{i}\,,\qquad {\vec {p}}=\sum _{i}{\vec {p}}_{i}\,,}$

маса часціц адытыўнаю не з'яўляецца,^[12] г. зн. маса сістэмы часціц, у агульным выпадку, не роўная суме мас часціц, з якіх яна складаецца.

Такім чынам, энергія (неінварыянтная, адытыўная, часавая кампанента чатырохімпульсу) і маса (інварыянтны, неадытыўны модуль чатырохімпульсу) — гэта дзве розныя фізічныя велічыні.^[7]

Эквівалентнасць інварыянтнай масы і энергіі спакою азначае, што ў сістэме адліку, у якой свабоднае цела знаходзіцца ў спакоі (уласнай), яго энергія (з дакладнасцю да множніка ${\displaystyle \!c^{2}}$) роўная яго інварыянтнай масе.^[7][18]

Чатырохімпульс ровен здабытку інварыянтнай масы на 4-хуткасць цела.

${\displaystyle p^{\mu }=m\,U^{\mu }\!,}$

У спецыяльнай тэорыі адноснасці гэтыя суадносіны з'яўляюцца адпаведнікам класічнага азначэння імпульсу праз масу і хуткасць.

Паняцце рэлятывісцкай масы

Пасля таго, як Эйнштэйн прапанаваў прынцып эквівалентнасці масы і энергіі, стала відавочна, што паняцце масы можа вытлумачвацца дваяка. З аднаго боку, гэта інварыянтная маса, якая — іменна дзякуючы інварыянтасці — супадае з той масай, што фігуруе ў класічнай фізіцы, з другога — можна ўвесці так званую рэлятывісцкую масу, эквівалентную поўнай (уключаючы кінетычную) энергіі фізічнага аб'екта^[4]:

${\displaystyle m_{\mathrm {rel} }={\frac {E}{c^{2}}},}$.

дзе ${\displaystyle m_{\mathrm {rel} }}$ — рэлятывісцкая маса, ${\displaystyle E}$ — поўная энергія аб'екта.

Для масіўнага аб'екта (цела) гэтыя дзве масы звязаны між сабою суадносінамі:

${\displaystyle m_{\mathrm {rel} }={\frac {m}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},}$

дзе ${\displaystyle m}$ — інварыянтная («класічная») маса, ${\displaystyle v}$ — хуткасць цела.

Энергія і рэлятывісцкая маса — гэта адна і тая ж фізічная велічыня (неінварыянтная, адытыўная, часавая кампанента чатырохімпульсу).^[7]

Эквівалентнасць рэлятывісцкай масы і энергіі азначае, што ва ўсіх сістэмах адліку энергія фізічнага аб'екта (з дакладнасцю да множніка ${\displaystyle \!c^{2}}$) роўная яго рэлятывісцкай масе.^[7][19]

Уведзеная такім чынам рэлятывісцкая маса з'яўляецца каэфіцыентам прапарцыянальнасці паміж трохмерным («класічным») імпульсам і хуткасцю цела^[4]:

${\displaystyle {\vec {p}}=m_{\mathrm {rel} }{\vec {v}}.}$

Аналагічныя суадносіны выконваюцца ў класічнай фізіцы для інварыянтнай масы, што таксама прыводзіцца як аргумент на карысць увядзення паняцця рэлятывісцкай масы. Гэта ў далейшым прывяло к тэзісу, што маса цела залежыць ад хуткасці яго руху.^[20]

У працэсе стварэння тэорыі адноснасці абмяркоўваліся паняцці падоўжнай і папярочнай масы масіўнай часціцы (цела). Няхай сіла, што дзейнічае на цела, роўная скорасці змянення рэлятывісцкага імпульсу. Тады сувязь сілы ${\displaystyle {\vec {F}}}$ і паскарэння ${\displaystyle {\vec {a}}=d{\vec {v}}/dt}$ істотна змяняецца ў параўнанні з класічнаю механікаю:

${\displaystyle {\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\frac {m{\vec {a}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m{\vec {v}}\cdot ({\vec {v}}{\vec {a}})/c^{2}}{(1-v^{2}/c^{2})^{3/2}}}.}$

Калі хуткасць перпендыкулярная сіле, то

${\displaystyle {\vec {F}}=m\gamma {\vec {a}},}$

а калі паралельная, то

${\displaystyle {\vec {F}}=m\gamma ^{3}{\vec {a}},}$

дзе ${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ — рэлятывісцкі множнік. Таму ${\displaystyle m\gamma =m_{\mathrm {rel} }}$ называюць папярочнаю масаю, а ${\displaystyle m\gamma ^{3}}$ — падоўжнаю.

Сцвярджэнне, што маса залежыць ад хуткасці, увайшло ў многія вучэбныя курсы і дзякуючы сваёй парадаксальнасці стала шырока вядомым сярод неспецыялістаў. Аднак у сучаснай фізіцы пазбягаюць выкарыстоўваць тэрмін «рэлятывісцкая маса», ужываючы замест яго паняцце энергіі, а пад тэрмінам «маса» разумеюць інварыянтную масу (спакою). Сярод іншага, выдзяляюцца наступныя недахопы ўвядзення тэрміна «рэлятывісцкая маса»^[8]:

• неінварыянтнасць рэлятывісцкай масы адносна пераўтварэнняў Лорэнца;
• сінанімічнасць паняццяў энергія і рэлятывісцкая маса, у выніку чаго новы тэрмін аказваецца лішнім;
• наяўнасць розных па велічыні падоўжнай і папярочнай рэлятывісцкіх мас і немагчымасць лаканічнага запісу аналага другога закону Ньютана ў відзе

${\displaystyle m_{\mathrm {rel} }{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\vec {F}};}$

• метадалагічныя складанасці выкладання спецыяльнай тэорыі адноснасці, наяўнасць спецыяльных правіл, калі і як трэба карыстацца паняццем «рэлятывісцкая маса», каб пазбягаць памылак;
• блытаніна ў тэрмінах «маса», «маса спакою» і «рэлятывісцкая маса»: частка крыніц проста масай называе адно, частка — другое.

Нягледзячы на названыя недахопы, паняцце рэлятывісцкай масы ўжываецца і ў вучэбнай,^[21] і ў навуковай літаратуры. Варта, праўда, адзначыць, што ў навуковых артыкулах паняцце рэлятывісцкай масы выкарыстоўваецца пераважна толькі пры якасных разважаннях як сінонім павелічэння інертнасці часціцы, рушачай з калясветлавою хуткасцю.

Гравітацыйнае ўзаемадзеянне

У класічнай фізіцы гравітацыйнае ўзаемадзеянне апісваецца законам сусветнага прыцягнення Ньютана, і яго велічыня вызначаецца гравітацыйнай масай цела^[22], якая з высокай ступенню дакладнасці роўная па велічыні інертнай масе, пра якую ішла гаворка вышэй, што дазваляе казаць проста пра масу цела^[23].

У рэлятывісцкай фізіцы гравітацыя падпарадкоўваецца законам агульнай тэорыі адноснасці, у аснове якой ляжыць прынцып эквівалентнасці, які заключаецца ў тым, што нельга адрозніць з'явы, якія адбываюцца лакальна ў гравітацыйным полі, ад аналагічных з'яў у неінерцыяльнай сістэме адліку, рушачай з паскарэннем, роўным паскарэнню свабоднага падзення ў гравітацыйным полі. Можна паказаць, што гэты прынцып эквівалентны сцвярджэнню аб роўнасці інертнай і гравітацыйнай мас^[24].

У агульнай тэорыі адноснасці энергія іграе тую ж ролю, што і гравітацыйная маса ў класічнай тэорыі. Сапраўды, велічыня гравітацыйнага ўзаемадзеяння ў гэтай тэорыі вызначаецца так званым тэнзарам энергіі-імпульсу, які абагульняе паняцце энергіі^[25].

У найпрасцейшым выпадку кропкавай часціцы ў цэнтральна-сіметрычным гравітацыйным полі аб'екта, маса якога намнога большая за масу часціцы, сіла, што дзейнічае на часціцу, вызначаецца выразам^[8]:

${\displaystyle {\vec {F}}=-GM{\frac {E}{c^{2}}}{\frac {(1+\beta ^{2}){\vec {r}}-({\vec {r}}{\vec {\beta }}){\vec {\beta }}}{r^{3}}},}$

дзе G — гравітацыйная пастаянная, M — маса цяжкага аб'екта, E — поўная энергія часціцы, ${\displaystyle \beta =v/c,}$ v — хуткасць часціцы, ${\displaystyle {\vec {r}}}$ — радыус-вектар, праведзены з цэнтра цяжкага аб'екта ў пункт знаходжання часціцы. З гэтага выразу відаць галоўная асаблівасць гравітацыйнага ўзаемадзеяння ў рэлятывісцкім выпадку ў параўнанні з класічнай фізікай: яно залежыць не толькі ад масы часціцы, але і ад велічыні і напрамку яе хуткасці. Апошняя акалічнасць, сярод іншага, не дазваляе ўвесці адназначным чынам нейкую эфектыўную гравітацыйную рэлятывісцкую масу, якая зводзіла б закон прыцягнення да класічнага выгляду^[8].

Гранічны выпадак бязмасавай часціцы

Важным гранічным выпадкам з'яўляецца выпадак часціцы з масаю, роўнаю нулю. Прыкладам такой часціцы з'яўляецца фатон — часціца-пераносчык электрамагнітнага ўзаемадзеяння^[26]. З прыведзеных вышэй формул вынікае, што для такой часціцы справядлівы наступныя суадносіны:

${\displaystyle E=pc,\qquad v=c.}$

Такім чынам, часціца з нулявою масаю незалежна ад сваёй энергіі заўсёды рухаецца з хуткасцю святла. Для бязмасавых часціц увядзенне паняцця «рэлятывісцкай масы» асабліва недарэчнае, бо, напрыклад, пры наяўнасці сілы ў падоўжным напрамку хуткасць часціцы пастаянная, і паскарэнне, у выніку, роўнае нулю, што патрабуе бесканечнай па велічыні эфектыўнай масы цела. У той жа час, наяўнасць папярочнай сілы прыводзіць да змянення напрамку хуткасці, і, такім чынам, «папярочная маса» фатона мае канечную велічыню.

Гэтак жа бяссэнсава для фатона ўводзіць эфектыўную гравітацыйную масу. У выпадку цэнтральна-сіметрычнага поля, разгледжанага вышэй, для фатона, падаючага вертыкальна ўніз, яна будзе роўная ${\displaystyle E/c^{2}}$, а для фатона, што ляціць перпендыкулярна напрамку на гравітацыйны цэнтр, — ${\displaystyle 2E/c^{2}}$^[8].

Практычнае значэнне

Формула на палубе першага авіяносца з ядзернай сілавой устаноўкай USS Enterprise 31 ліпеня 1964^[27]

Атрыманая А. Эйнштэйнам эквівалентнасць масы цела назапашанай у целе энергіі стала адным з галоўных практычна важных вынікаў спецыяльнай тэорыі адноснасці. Суадносіны ${\displaystyle E_{0}=mc^{2}}$ паказалі, што ў рэчыве ўтрымліваюцца велізарныя (дзякуючы квадрату хуткасці святла) запасы энергіі, якія можна выкарыстоўваць у энергетыцы і ваенных тэхналогіях^[28].

Колькасныя суадносіны паміж масай і энергіяй

У міжнароднай сістэме адзінак СІ адносіна энергіі і масы E / m выражаецца ў джоўлях на кілаграм, і яна лікава роўная квадрату значэння хуткасці святла c ў метрах у секунду:

E / m = c² = (299 792 458 м/с)² = 89 875 517 873 681 764 Дж/кг (≈9,0×10¹⁶ джоўляў на кілаграм).

Такім чынам, 1 грам масы эквівалентны наступным значэнням энергіі:

• 89,9 тэраджоўляў (89,9 ТДж)
• 25,0 мільёнаў кілават-гадзін (25 ГВт·г),
• 21,5 мільярдаў кілакалорый (≈21 Ткал),
• 21,5 кілатон у тратылавым эквіваленце (≈21 кт).

У ядзернай фізіцы часта прымяняецца значэнне адносіны энергіі і масы, выражанае ў мегаэлектронвольтах на атамную адзінку масы — ≈931,494 МэВ/а.а.м.

Прыклады ўзаемаператварэння энергіі спакою і кінетычнай энергіі

Энергія спакою можа пераходзіць у кінетычную энергію часціц у выніку ядзерных і хімічных рэакцый, калі ў іх маса рэчыва, што ўступіла ў рэакцыю, большая за масу рэчыва, атрыманага ў выніку. Прыкладамі такіх рэакцый з'яўляюцца^[8]:

• Анігіляцыя пары часціца-антычасціца з утварэннем двух фатонаў. Напрыклад, пры анігіляцыі электрона і пазітрона ўтвараецца два гама-кванты, і энергія спакою пары поўнасцю пераходзіць у энергію фатонаў:

${\displaystyle e^{-}+e^{+}\rightarrow 2\gamma .}$

• Тэрмаядзерная рэакцыя сінтэзу атама гелію з пратонаў і электронаў, у якой рознасць мас гелію і пратонаў пераўтвараецца ў кінетычную энергію гелію і энергію электронных нейтрына

${\displaystyle 2e^{-}+4p^{+}\rightarrow {}_{2}^{4}\mathrm {He} +2\nu _{e}+E_{\mathrm {kin} }.}$

• Рэакцыя дзялення ядра ўрану-235 пры сутыкненні з павольным нейтронам. Пры гэтым ядро дзеліцца на два асколкі з меншаю сумарнаю масаю з выпусканнем двух ці трох нейтронаў і выдзяленнем энергіі парадку 200 МэВ, што складае прыкладна 1 працэнт ад масы атама ўрану. Прыклад такой рэакцыі:

${\displaystyle {}_{92}^{235}\mathrm {U} +{}_{0}^{1}n\rightarrow {}_{36}^{93}\mathrm {Kr} +{}_{56}^{140}\mathrm {Ba} +3~{}_{0}^{1}n.}$

• Рэакцыя гарэння метану:

${\displaystyle \mathrm {CH} _{4}+2\mathrm {O} _{2}\rightarrow \mathrm {CO} _{2}+2\mathrm {H} _{2}\mathrm {O} .}$

У гэтай рэакцыі выдзяляецца прыкладна 35,6 МДж цеплавой энергіі на кубічны метр метану, што складае прыкладна 10⁻¹⁰ ад яго энергіі спакою. Такім чынам, у хімічных рэакцыях пераўтварэнне энергіі спакою ў кінетычную энергію значна ніжэйшае, чым у ядзерных.

Важна адзначыць, што ў практычных прымяненнях ператварэнне энергіі спакою ў энергію выпраменьвання рэдка адбываецца са стопрацэнтнаю эфектыўнасцю. Тэарэтычна поўным ператварэннем было б сутыкненне матэрыі з антыматэрыяй, аднак у большасці выпадкаў замест выпраменьвання ўзнікаюць пабочныя прадукты і ў выніку гэтага толькі вельмі малая колькасць энергіі спакою ператвараецца ў энергію выпраменьвання.

Існуюць таксама адваротныя працэсы, якія павялічваюць энергію спакою, а значыць і масу. Напрыклад, пры награванні цела павялічваецца яго ўнутраная энергія, у выніку чаго ўзрастае маса цела. Іншы прыклад — сутыкненне часціц. У падобных рэакцыях могуць нараджацца новыя часціцы з масамі, істотна большымі, чым у зыходных. «Крыніцаю» масы такіх часціц з'яўляецца кінетычная энергія сутыкнення.

Гісторыя і пытанні прыярытэту

Джозеф Джон Томсан першы паспрабаваў звязаць энергію і масу

Уяўленне аб масе, якая залежыць ад хуткасці, і аб існаванні сувязі паміж масай і энергіяй пачало фарміравацца яшчэ да з'яўлення спецыяльнай тэорыі адноснасці. Сярод іншага, у спробах узгадніць ураўненні Максвела з ураўненнямі класічнай механікі некаторыя ідеі былі прапанаваны ў артыкулах М. А. Умава, Дж. Дж. Томсана, О. Хэвісайда, Дж. Сірла  (англ.), М. Абрахама, Х. Лорэнца і А. Пуанкарэ^[11]. Аднак толькі ў А. Эйнштэйна гэта залежнасць універсальная, не звязана з эфірам і не абмежавана электрадынамікай^[29].

Лічыцца, што ўпершыню спроба звязаць масу і энергію была зроблена ў працы Дж. Дж. Томсана, якая з'явілася ў 1881 годзе^[8]. Томсан у сваёй працы ўводзіць паняцце электрамагнітнай масы, называючы так уклад у інертную масу зараджанага цела, абумоўлены электрамагнітным полем гэтага цела^[30].

Ідэя наяўнасці інерцыі ў электрамагнітнага поля прысутнічае таксама і ў працы О. Хэвісайда, выдадзенай у 1889 годзе^[31]. Знойдзеныя ў 1949 годзе чарнавікі яго рукапісу паказваюць, што недзе ў гэты ж час, разглядаючы задачу аб паглынанні і выпраменьванні святла, ён атрымлівае суадносіны паміж масай і энергіяй цела ў выглядзе ${\displaystyle E=mc^{2}}$^[32][33].

У 1900 годзе А. Пуанкарэ апублікаваў працу, у якой прыйшоў к вываду, што святло як пераносчык энергіі павінна мець масу, вызначаную выразам ${\displaystyle E/v^{2},}$ дзе E — энергія святла, v — хуткасць пераносу энергіі^[34].

Хендрык Антон Лорэнц адзначаў залежнасць масы цела ад яго хуткасці

У працах М. Абрахама (1902 год) і Х. Лорэнца (1904 год) было ўпершыню ўстаноўлена, што, увогуле кажучы, для рушачага цела нельга ўвесці адзін каэфіцыент прапарцыянальнасці паміж яго паскарэннем і дзеючай на яго сілай. Імі былі ўведзены паняцці падоўжнай і папярочнай мас, прымененыя для апісання дынамікі часціцы, рушачай з калясветлавой хуткасцю, з дапамогаю другога закону Ньютана^[35][36]. Так, Лорэнц у сваёй працы пісаў^[37]:

Такім чынам, у працэсах, пры якіх ёсць паскарэнне ў напрамку руху, электрон паводзіць сябе так, як быццам ён мае масу ${\displaystyle m_{1},}$ а пры паскарэнні, перпендыкулярным да руху, як быццам мае масу ${\displaystyle m_{2}.}$ Таму велічыні ${\displaystyle m_{1}}$ і ${\displaystyle m_{2}}$ зручна называць «падоўжнаю» і «папярочнаю» электрамагнітнымі масамі. Арыгінальны тэкст (англ.)   Hence, in phenomena in which there is an acceleration in the direction of motion, the electron behaves as if it had a mass ${\displaystyle m_{1}}$, those in which the acceleration is normal to the path, as if the mass were ${\displaystyle m_{2}}$. These quantities ${\displaystyle m_{1}}$ and ${\displaystyle m_{2}}$ may therefore properly be called the "longitudinal" and "transverse" electromagnetic masses of the electron

Эксперыментальна залежнасць інертных уласцівасцей цел ад іх хуткасці была паказана ў пачатку XX стагоддзя ў працах В. Кауфмана (1902 год)^[38] и А. Бухерэра  (англ.) (1908 год)^[39].

У 1904—1905 гадах Ф. Хазэнорль  (англ.) у сваёй працы прыходзіць к вываду, што наяўнасць у поласці выпраменьвання праяўляецца ў тым ліку і так, нібы маса поласці павялічылася^[40][41].

Альберт Эйнштэйн сфармуляваў прынцып эквівалентнасці энергіі і масы ў найбольш агульным выглядзе

У 1905 годзе з'яўляецца адразу цэлы шэраг асноватворных прац А. Эйнштэйна, у тым ліку і праца, прысвечаная аналізу залежнасці інертных уласцівасцей цела ад яго энергіі^[42]. Сярод іншага, пры разглядзе выпускання масіўным целам дзвюх «колькасцей святла» ў гэтай працы ўпершыню ўводзіцца паняцце энергіі нерухомага цела і робіцца наступны вывад^[43]:

Маса цела ёсць мера колькасці энергіі ў гэтым целе; калі энергія змяняецца на велічыню L, то і маса змяняецца адпаведна на велічыню L/9×1020, калі энергію вымяраць у эргах, а масу — у грамах… Калі тэорыя адпавядае фактам, то выпраменьванне пераносіць інерцыю паміж выпраменьваючымі і паглынаючымі целамі Арыгінальны тэкст (ням.)   Die Masse eines Körpers ist ein Maß für dessen Energieinhalt; ändert sich die Energie um L, so ändert sich die Masse in demselben Sinne um L/9×1020 wenn die Energie in Erg und die Masse in Grammen gemessen wird… Wenn die Theorie den Tatsachen entspricht, so überträgt die Strahlung trägheit zwischen den emittierenden und absorbierenden Körpern

У 1906 годзе Эйнштэйн упершыню гаворыць аб тым, што закон захавання масы з'яўляецца ўсяго толькі асобным выпадкам закону захавання энергіі^[44].

У больш поўнай меры прынцып эквівалентнасці масы і энергіі быў сфармулёван Эйнштэйнам у працы 1907 года^[45], у якой ён піша

…спрашчаючае дапушчэнне ${\displaystyle \mu V^{2}=\varepsilon _{0}}$ з'яўляецца адначасова выражэннем прынцыпу эквівалентнасці масы і энергіі… Арыгінальны тэкст (ням.)   …daß die vereinfachende Festsetzung ${\displaystyle \mu V^{2}=\varepsilon _{0}}$ zugleich der Ausdruck des Prinzipes der Äquivalenz von Masse und Energie ist…

Пад спрашчаючым дапушчэннем тут маецца на ўвазе выбар адвольнай пастаяннай у выразе для энергіі. У больш падрабязным артыкуле, які выйшаў у тым жа годзе^[3], Эйнштэйн заўважае, што энергія з'яўляецца таксама і мерай гравітацыйнага ўзаемадзеяння цел.

У 1911 годзе выходзіць праца Эйнштэйна, прысвечаная гравітацыйнаму ўздзеянню масіўных цел на святло^[46]. У гэтай працы Эйнштэйн прыпісаў фатону інертную і гравітацыйную масу, роўную ${\displaystyle E/c^{2}}$, і вывеў для велічыні адхілення светлавога праменя ў полі прыцягнення Сонца значэнне 0,83 дугавой секунды, што ў два разы менш за правільнае значэнне, атрыманае ім жа пазней на аснове развітай агульнай тэорыі адноснасці^[47]. Цікава, што тое ж самае палавіннае значэнне атрымаў І. фон Зольднер  (англ.) яшчэ ў 1804 годзе, але яго праца засталася незаўважанаю^[48].

Эксперыментальна эквівалентнасць масы і энергіі была ўпершыню наглядна паказана ў 1933 годзе. У Парыжы Ірэн і Фрэдэрык Жаліё-Кюры зрабілі фотаздымак працэсу ператварэння кванта святла, пераносчыка энергіі, у дзве часціцы з ненулявою масаю. Прыблізна ў той жа час у Кембрыджы Джон Кокрафт і Эрнест Томас Сінтан Уолтан назіралі выдзяленне энергіі пры дзяленні атама на дзве часткі, сумарная маса якіх аказалася меншаю, чым маса зыходнага атама^[49].

Уплыў на культуру

З моманту адкрыцця формула ${\displaystyle E=mc^{2}}$ стала адною з самых вядомых фізічных формул і з'яўляецца сімвалам тэорыі адноснасці. Нягледзячы на тое, што гістарычна формула была ўпершыню прапанавана не Альбертам Эйнштэйнам, цяпер яна звязваецца выключна з яго іменем, напрыклад, іменна гэта формула была выкарыстана ў якасці назвы выпушчанай у 2005 годзе тэлевізійнай біяграфіі вядомага вучонага^[50]. Вядомасці формулы садзейнічала шырока выкарыстанае папулярызатарамі навукі контрінтуітыўнае заключэнне, што маса цела павялічваецца з павелічэннем яго хуткасці. Акрамя таго, з гэтай жа формулай звязваецца магутнасць ядзернай энергіі^[11]. Так, у 1946 годзе часопіс «Time» на вокладцы адлюстраваў Эйнштэйна на фоне грыба ядзернага выбуху з формулай ${\displaystyle E=mc^{2}}$ на ім^[51][52].

• 
  Бюст Эйнштэйна ў аўстралійскім Цэнтры навукі і тэхнікі Квестакон (англ.)
• 
  «Тэорыя адноснасці», адна з шасці скульптур у ансамблі Walk of Ideas  (ням.) у Берліне

Гл. таксама

• Энергія сувязі
• Дэфект масы
• Прынцып эквівалентнасці сіл гравітацыі і інерцыі
• Прынцып адноснасці Эйнштэйна

Зноскі

1. Паколькі гэта маса інварыянтная, яе значэнне заўсёды супадае з тым, што можна стандартным чынам вымераць у спадарожнай сістэме адліку (г. зн., у такой сістэме адліку, якая рухаецца разам з целам і адносна якой хуткасць цела ў дадзены момант нулявая, інакш кажучы, у сістэме адліку спакою).
2. Г. зн. з дакладнасцю да ўніверсальнай сталай, якую можна зрабіць проста роўнай адзінцы, выбраўшы адпаведную сістэму адзінак вымярэння.
3. Einstein A. Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen(ням.) // Jahrbuch der Radioaktivität. — 1907. — Vol. 4. — P. 411—462.
   Einstein A. Berichtigung zu der Arbeit: «Uber das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen»(ням.) // Jahrbuch der Radioaktivität. — 1907. — Vol. 5. — P. 98—99.
   рускі пераклад: Эйнштейн А. О принципе относительности и его следствиях // Теория относительности. Избранные работы. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — С. 83—135. — ISBN 5-93972-002-1.
4. Паули В. §41. Инерция энергии // Теория относительности / В. Л. Гинзбург и В. П. Фролов. — 3-е изд. — М.: Наука, 1991. — С. 166—169. — 328 с. — (Библиотека теоретической физики). — 17 700 экз. — ISBN 5-02-014346-4.
5. Гэтак жа, як у нерэлятывісцкай тэорыі, маса ўваходзіць як скалярны множнік у азначэнне энергіі і азначэнне імпульса.
6. Праз ${\displaystyle m_{rel}}$ (і хуткасць) гэтыя ўласцівасці, канечне, таксама можна запісаць, але далёка не так кампактна, сіметрычна і прыгожа; у другім жа падыходзе прыходзіцца і зусім уводзіць велічыні з некалькімі кампанентамі, напрыклад, розныя «падоўжную масу» і «папярочную масу».
7. Угаров В. А. Глава 5.6. // Специальная теория относительности. — Москва: Наука, 1977.
8. Окунь Л. Б. Понятие массы (Масса, энергия, относительность) (Методические заметки) // УФН. — 1989. — Т. 158. — С. 511—530.
9. Галоўным чынам блытаніна можа ўзнікаць іменна паміж масай у такім разуменні і разуменнем, якое стала стандартным, г. зн. інварыянтнай масай (за якой кароткі тэрмін замацаваўся як за велічынёй, што мае самастойн сэнс і не з'яўляецца проста сінонімам энергіі з розніцай, магчыма, толькі на пастаянны каэфіцыент).
10. Таму ў папулярнай літаратуры і цалкам апраўдана, бо там тэрмін маса прызваны апеляваць да фізічнай інтуіцыі праз выкарыстанне знаёмага класічнага паняцця, хоць фармальна, з пункту гледжання прафесійнай тэрміналогіі, ён тут лішні.
11. Окунь Л. Б. Формула Эйнштейна: E₀ = mc². «Не смеётся ли Господь Бог»? // УФН. — 2008. — Т. 178. — С. 541–555.
12. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 8-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2006. — С. 47—48. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-9221-0056-4.
13. У нерэлятывісцкай механіцы, строга кажучы, энергія таксама не абавязана станавіцца нулявой, бо энергія вызначаецца з дакладнасцю да адвольнага складніка, аднак ніякага канкрэтнага фізічнага сэнсу гэты складнік не мае, таму выбіраюць яго звычайна так, каб энергія нерухомага цела раўнялася нулю.
14. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 8-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2006. — С. 46. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-9221-0056-4.
15. Бергман П. Г. Введение в теорию относительности = Introduction to the theory of relativity / В. Л. Гинзбург. — М.: Государственное издательство иностранной литературы, 1947. — С. 131—133. — 381 с.
16. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 8-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2006. — С. 49. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-9221-0056-4.
17. Barut A. O. Electrodynamics and classical theory of fields & particles. — New York: Dover Publications, 1980. — С. 58. — 235 с. — ISBN 0-486-64038-8.
18. Угаров В. А. Глава 8.5. // Специальная теория относительности. — Москва: Наука, 1977.
19. Угаров В. А. Дополнение IV. // Специальная теория относительности. — Москва: Наука, 1977.
20. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Глава 15. Специальная теория относительности // Фейнмановские лекции по физике. Выпуск 1. Современная наука о природе. Законы механики. Выпуск 2. Пространство. Время. Движение. — 6-е изд. — Либроком, 2009. — 440 с. — ISBN 978-5-397-00892-1.
21. см. напрыклад Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1980. — Т. IV. Оптика. — С. 671—673. — 768 с.
22. Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1979. — Т. I. Механика. — С. 302—308. — 520 с.
23. В. А. Фок Масса и энергия // УФН. — 1952. — В. 2. — Т. 48. — С. 161—165.
24. В. Л. Гинзбург, Ю. Н. Ерошенко Еще раз о принципе эквивалентности // УФН. — 1995. — Т. 165. — С. 205—211.
25. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 349—361. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
26. И. Ю. Кобзарев, Л. Б. Окунь О массе фотона // УФН. — 1968. — Т. 95. — С. 131—137.
27. USS Baindridge (DLGN/CGN 25) (нявызн.). NavSource Online: Cruiser Photo Archive. NavSource Naval History. Архівавана з першакрыніцы 25 студзеня 2012. Праверана 27 верасня 2010.
28. Чернин А. Д. Формула Эйнштейна(руск.) // Трибуна УФН.
29. Пайс А. §7.2. Сентябрь 1905 г. О выражении E = mc² // Научная деятельность и жизнь Альберта Эйнштейна. — М.: Наука, 1989. — С. 143—145. — 568 с. — 36 500 экз. — ISBN 5-02-014028-7.
30. Thomson J. J. On the electric and magnetic effects produced by the motion of electrified bodies(англ.) // Philosophical Magazine. — 1881. — Т. 11. — С. 229—249.
31. Heaviside O. On the Electromagnetic Effects due to the Motion of Electrification through a Dielectric(англ.) // Philosophical Magazine. — 1889. — Т. 27. — С. 324—339.
32. Болотовский Б. М. Оливер Хевисайд. — М.: Наука, 1985. — 254 с.
33. Кларк А. XVI. Человек до Эйнштейна // Голос через океан. — М.: Связь, 1964. — 236 с. — 20 000 экз.
34. Poincaré H. La théorie de Lorentz et le principe de réaction(фр.) // Archives néerlandaises des sciences exactes et naturelles. — 1900. — Vol. 5. — P. 252—278.
35. Abraham M. Prinzipien der Dynamik des Elektrons(ням.) // Phys. Z.. — 1902. — Vol. 4. — P. 57—63.
    Abraham M. Prinzipien der Dynamik des Elektrons(ням.) // Ann. Phys.. — 1903. — Vol. 315. — P. 105—179.
36. Lorentz H. Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller than that of light(англ.) // Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences. — 1904. — Vol. 6. — P. 809—831.
37. Кудрявцев 1971, с. 39.
38. Kaufmann W. Die elektromagnetische Masse des Elektrons(ням.) // Phys. Z.. — 1902. — Vol. 4. — P. 54—57.
39. Bucherer A. H. On the principle of relativity and on the electromagnetic mass of the electron. A Reply to Mr. E. Cunningham(англ.) // Philos. Mag.. — 1908. — Vol. 15. — P. 316—318.
    Bucherer A. H. Messungen an Becquerelstrahlen. Die experimentelle Bestätigung der Lorentz-Einsteinschen Theorie(ням.) // Phys. Z.. — 1908. — Vol. 9. — P. 755—762.
40. Hasenöhrl F. Zur Theorie der Strahlung in bewegten Körpern(ням.) // Ann. Phys.. — 1904. — Vol. 15 [320]. — P. 344—370.
    Hasenöhrl F. Zur Theorie der Strahlung in bewegten Körpern. Berichtigung(ням.) // Ann. Phys.. — 1905. — Vol. 16 [321]. — P. 589—592.
41. Stephen Boughn Fritz Hasenöhrl and E = mc²(англ.) // The European Physical Journal H. — 2013. — Vol. 38. — P. 261—278. — DOI:10.1140/epjh/e2012-30061-5 — arΧiv:1303.7162
42. Einstein A. Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?(ням.) // Ann. Phys.. — 1905. — Vol. 18 [323]. — P. 639—641.
43. Кудрявцев 1971, с. 51.
44. Einstein A. Das Prinzip von der Erhaltung der Schwerpunktsbewegung und die Trägheit der Energie(ням.) // Ann. Phys.. — 1906. — Vol. 20. — P. 627–633.
45. Einstein A. Über die vom Relativitätsprinzip geforderte Trägheit der Energie(ням.) // Ann. Phys.. — 1907. — Vol. 23 [328]. — P. 371—384.
46. Einstein A. Über den Einfluss der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes(ням.) // Ann. Phys.. — 1911. — Vol. 35 [340]. — P. 898—908.
47. Einstein A. Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie(ням.) // Preussische Akademie der Wissenschaften, Sitzungsberichte. — 1915. — Vol. 47. — № 2. — P. 831—839.
48. von Soldner J. Ueber die Ablenkung eines Lichtstrals von seiner geradlinigen Bewegung, durch die Attraktion eines Weltkörpers, an welchem er nahe vorbei geht(ням.) // Astronomisches Jahrbuch für das Jahr. — 1804. — P. 161—172.
49. E=mc² (англ.). The Center for History of Physics. Архівавана з першакрыніцы 25 студзеня 2012. Праверана 22 студзеня 2011.
50. E=mc² на сайце «Internet Movie Database» (англ.)
51. Friedman A. J., Donley C. C. Einstein as Myth and Muse. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1985. — С. 154—155. — 224 с. — ISBN 9780521267205.
52. Albert Einstein (руск.)(недаступная спасылка). Time magazine (1 июля 1946). Архівавана з першакрыніцы 25 студзеня 2012. Праверана 30 студзеня 2011.

Літаратура

• Джеммер М. Понятие массы в классической и современной физике. — М.: Прогресс, 1967. — 255 с.

• Okun L. B. Energy and mass in relativistic theory. — World Scientific, 2009. — 311 с.

• Кудрявцев П. С. Глава третья. Решение проблемы электродинамики движущихся сред // История физики. Т. III От открытия квант до квантовой механики. — М.: Просвещение, 1971. — С. 36—57. — 424 с. — 23 000 экз.

Спасылкі

• Einstein Explains the Equivalence of Energy and Matter (англ.). Амерыканскі інстытут фізікі. — Аўдыёзапіс лекцыі Альберта Эйнштэйна, у якой ён тлумачыць прынцып эквівалентнасці масы і энергіі. Архівавана з першакрыніцы 25 студзеня 2012. Праверана 19 жніўня 2010.
• The Antimatter Calculator (англ.)(недаступная спасылка). Edward Muller's Homepage. — Калькулятар антыматэрыі. Архівавана з першакрыніцы 25 студзеня 2012. Праверана 31 студзеня 2011.
• Старонка рукапісу Эйнштэйна 1912 года з ураўненнем E=mc² (англ.)(недаступная спасылка). Symmetry Magazine. Архівавана з першакрыніцы 25 студзеня 2012. Праверана 31 студзеня 2011.