Xeometría analítica

La xeometría analítica ye una caña de les matemátiques qu'estudia con fondura les figures, les sos distancies, les sos árees, puntos d'interseición, ángulos d'enclín, puntos de división, volumes, etc. Ye un estudiu más fondu pa saber con detalle tolos datos que tienen les figures xeométriques.

Xeometría analítica
área de les matemátiques
xeometría

gráfica d'una función Gráfica de dos hipérboles y les sos asíntotes.

La xeometría analítica estudia les figures xeométriques por aciu téuniques básiques del analís matemáticu y del álxebra nun determináu sistema de coordenaes. El so desenvolvimientu históricu empieza cola xeometría cartesiana, sigue cola apaición de la xeometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde col desenvolvimientu de la xeometría alxebraica.

Anguaño la xeometría analítica tien múltiples aplicaciones más allá de les matemátiques y la inxeniería, pos forma parte agora del trabayu d'alministradores pa la planeación d'estratexes y loxística en tomar de decisiones.

Los dos cuestiones fundamentales de la xeometría analítica son:

1. Dau'l llugar xeométricu d'un sistema de coordenaes, llograr la so ecuación.
2. Dada la ecuación nun sistema de coordenaes, determinar la gráfica o llugar xeométricu de los puntos que verifiquen dicha ecuación.

La xeometría analítica representa les figures xeométriques por aciu la ecuación ${\displaystyle y=f(x)}$, onde ${\displaystyle f}$ ye una función o otru tipu, asina les rectes espresar por aciu la ecuación xeneral ${\displaystyle ax+by=c}$, les circunferencies y el restu de cóniques como ecuaciones polinómiques de grau 2 (la circunferencia ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=4}$, la hipérbola ${\displaystyle xy=1}$), etc.

Construcciones fundamentales

Nun sistema de coordenaes cartesianes, un puntu del planu queda determináu por dos númberos, llamaos ascisa y ordenada del puntu. Por aciu esi procedimientu a tou puntu del planu correspuenden siempres dos númberos reales ordenaos (ascisa y ordenada), y recíprocamente, a un par ordenáu de númberos correspuende un únicu puntu del planu. Consecuentemente el sistema cartesianu establez una correspondencia biunívoca ente un conceutu xeométricu como ye'l de los puntos del planu y un conceutu alxebraicu como son los pares ordenaos de númberos. Esta correspondencia constitúi'l fundamentu de la xeometría analítica.

Cola xeometría analítica puede determinase figures xeométriques planes per mediu d'ecuaciones y inecuaciones con dos incógnites. Ésti ye un métodu alternativu de resolución de problemes, o cuandoquier apúrrenos un nuevu puntu de vista col cual poder atacar el problema.

Llocalización d'un puntu nel planu cartesianu

Como alloña a les exes

Exemplos d'ocho puntus alcontraos nel planu cartesianu por aciu los sos pares de coordenaes.

Nun planu (v.g. papel milimetrado) trázase dos rectes empobinaes perpendiculares ente sigo (exes) —que por conveniu se tracen de manera que una d'elles sía horizontal y la otra vertical—, y cada puntu del planu queda unívocamente determináu poles distancies de dichu puntu a cada unu de les exes, siempres y cuando se dea tamién un criteriu pa determinar sobre qué semiplanu determináu por caúna de les rectes hai que tomar esa distancia, criteriu que vien dau por un signu. Esi par de númberos, les coordenaes, va quedar representáu por un par ordenáu ${\displaystyle (x,y)}$, siendo ${\displaystyle x}$ la distancia a unu de les exes (por conveniu va ser la distancia a la exa vertical) y ${\displaystyle y}$ la distancia a la otra exa (al horizontal).

Na coordenada ${\displaystyle x}$, el signu positivu (que suel omitise) significa que la distancia tomar escontra la derecha sobre la exa horizontal (exa de les ascises), y el signu negativu (nunca s'omite) indica que la distancia tomar escontra la esquierda. Pa la coordenada ${\displaystyle y}$, el signu positivu (tamién s'omite) indica que la distancia tómase escontra riba sobre la exa vertical (exa d'ordenaes), tomándose escontra baxo si'l signu ye negativu (en nengún casu omítense los signos negativos).

A la coordenada ${\displaystyle x}$ soler denominar ascisa del puntu, ente que a la ${\displaystyle y}$ denominar ordenada del puntu.

Los puntos de la exa d'ascises tienen polo tanto ordenada igual a ${\displaystyle 0}$, asina que van ser de la forma ${\displaystyle (x,0)}$, ente que los de la exa d'ordenaes van tener ascisa igual a ${\displaystyle 0}$, polo que van ser de la forma ${\displaystyle (0,y)}$.

El puntu onde dambes exes crúciense va tener polo tanto distancia ${\displaystyle 0}$ a cada unu de les exes, depués la so ascisa va ser ${\displaystyle 0}$ y la so ordenada tamién va ser ${\displaystyle 0}$. A esti puntu —el ${\displaystyle (0,0)}$— denominar orixe de coordenaes.

Como proyeición sobre les exes

Coordenaes asignaes a tres puntos distintes (verde, colloráu y azul), los sos proyeiciones ortogonales sobre les exes constitúin les sos coordenaes cartesianes.

Considérense dos rectes empobinaes, (exes) , perpendiculares ente sigo, "x" y "y", con un orixe común, el puntu O d'interseición de dambes rectes.

Teniendo un puntu a, al cual deseyar determinar les coordenaes, venir# de la siguiente forma:

Pol puntu P trácense rectes perpendiculares a les exes, éstes determinen na interseición colos mesmos dos puntos, P' (el puntu allugáu sobre la exa x) y el puntu P'' ( el puntu allugáu sobre la exa y).

Dichos puntos son les proyeiciones ortogonales sobre les exes x y y del puntu P.

A los Puntos P' y P'' correspuénden-y por númberu la distancia dende ellos al orixe, teniendo en cuenta que si'l puntu P' atópase a la izquierda de O, dichu númberu va ser negativu, y si el puntu P'' atópase escontra baxo del puntu O, dichu númberu va ser negativu.

Los númberos rellacionaos con P' y P'', nesi orde son los valores de les coordenaes del puntu P.

Exemplu 1: P' atópase a la derecha de O una distancia igual a 2 unidaes. P'' atópase escontra riba de O, una distancia igual a 3 unidaes. Polo que les coordenaes de P son (2 , 3).

Exemplu 2: P' atópase a la derecha de O una distancia igual a 4 unidaes. P'' atópase escontra baxo de O, una distancia igual a 5 unidaes. Polo que les coordenaes de P son (4 , -5).

Exemplu 3: P' atópase a la izquierda de O una distancia igual a 3 unidaes. P'' atópase escontra baxo de O, una distancia igual a 2 unidaes. Polo que les coordenaes de P son (-3 , -2).

Exemplu 4: P' atópase a la izquierda de O una distancia igual a 6 unidaes. P'' atópase escontra riba de O, una distancia igual a 4 unidaes. Polo que les coordenaes de P son (-6 , 4).

Ecuaciones de la recta nel planu

Artículu principal: Función llinial

Una recta ye'l llugar xeométricu de tolos puntos nel planu tales que, tomaos dos cualesquier d'ellos, el cálculu de la rimada resulta siempres igual a una constante.

La ecuación xeneral de la recta ye de la forma:

${\displaystyle Ax+By+C=0\,}$

que la so pendiente ye m = -A/B y que la so ordenada al orixe ye b = -C/B.

Una recta nel planu representar cola función llinial de la forma:

${\displaystyle y=mx+b\,}$

Como espresión xeneral, ésta ye conocida col nome d'ecuación pendiente-ordenada al orixe y podemos estremar dos casos particulares. Si una recta nun corta a unu de les exes, va ser porque ye paralela a él. Como los dos exes son perpendiculares, si nun corta a unu d'ellos por fuercia hai de cortar al otru (siempres y cuando la función sía continua pa tolos reales). Tenemos pos tres casos:

Rectes oblicues.	Rectes horizontales.	Rectes verticales.

• Les rectes verticales nun corten a la exa d'ordenaes y son paraleles a dichu exa y denominar rectes verticales. El puntu de corte cola exa d'ascises ye'l puntu ${\displaystyle (x_{0},0)}$. La ecuación de felicidaes rectes ye:

${\displaystyle x=x_{0}\,}$

• Les rectes horizontales nun corten a la exa de les ascises y, por tanto, son paraleles a dichu exa y denominar rectes horizontales. El puntu de corte cola exa d'ordenaes ye'l puntu ${\displaystyle (0,y_{0})}$. La ecuación de felicidaes rectes ye:

${\displaystyle y=y_{0}\,}$

• Cualesquier otru tipu de recta recibe'l nome de recta oblicua. Nelles hai un puntu de corte cola exa d'ascises ${\displaystyle (a,0)}$ y otru puntu de corte cola exa d'ordenaes ${\displaystyle (0,b)}$. El valor ${\displaystyle a}$ recibe'l nome de ascisa nel orixe, ente que el ${\displaystyle b}$ denominar ordenada nel orixe.

Seiciones cóniques

Artículu principal: Seición cónica

Los trés exemplos d'interseición d'un planu con un conu: parábola (A), elipse (B) ya hipérbola (C).

Paráboles tipo y=ax², con a=4, 1, 1/4 y 1/10.

circunferencia centrada nel orixe y el so ecuación.

hipérbola xy=1

La resultancia de la interseición de la superficie d'un conu, con un planu, da llugar a lo que se denominen seiciones cóniques, que son: la parábola, la elipse (la circunferencia ye un casu particular d'elipse) y la hipérbola.

• La parábola ye'l llugar xeométricu de tolos puntos que equidistan d'un puntu fixu llamáu focu y de una recta fixa llamada directriz.

Una parábola (figura A) que'l so exa de simetría sía paralelu a la exa de abcisas espresar por aciu la ecuación:

${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,}$

• La elipse ye'l llugar xeométricu de los puntos tales que la suma de les sos distancies a dos puntos fixos llamaos focos ye siempres igual a una constante positiva, ya igual a la distancia ente los vértices.

Una elipse (figura B) centrada nes exes, con llargores de semiexe a y b vien dada pola espresión:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,}$

• Si los dos exes son iguales y llamar c:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{c^{2}}}+{\frac {y^{2}}{c^{2}}}=1\,}$

la resultancia ye una circunferencia:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=c^{2}\,}$

• La hipérbola ye'l llugar xeométricu de los puntos tales que'l valor absolutu de la diferencia (resta) de les sos distancies a dos puntos fixos llamaos focos ye siempres igual a una constante positiva, ya igual a la distancia ente los vértices.

La hipérbola (Figura C) tien por espresión:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

Espresión alxebraica

Folium de Descartes
x³ + y³ − 3axy = 0, a = 1.

En coordenaes cartesianes, les cóniques espresar en forma alxebraica por aciu ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:

${\displaystyle ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0\,}$

na que, en función de los valores de los parámetros, va tenese:

h² > ab: hipérbola.

h² = ab: parábola.

h² < ab: elipse.

a = b y h = 0: circunferencia.

Funciones trigonométriques

Artículu principal: Trigonometría

Artículu principal: Función trigonométrica

Representación gráfica nun sistema de coordenaes cartesianes de les funciones trigonométriques.

Construcciones nel espaciu tridimensional

Artículu principal: Cuádrica

Elipsoide.

Los razonamientos sobre la construcción de les exes coordenaes son igualmente válidos pa un puntu nel espaciu y una terna ordenada de númberos, ensin más qu'introducir una tercera recta perpendicular a les exes X y Y: la exa Z.

Sicasí nun hai análogu al perimportante conceutu de rimada d'una recta. Una única ecuación llinial del tipu:

${\displaystyle \,ax+by+cz=0}$

Representa nel espaciu un planu. Si pretende representase por aciu ecuaciones una recta nel espaciu tridimensional vamos precisar especificar, non una, sinón dos ecuaciones lliniales como les anteriores. De fechu toa recta puede escribise como interseición de dos planos. Asina una recta nel espaciu podría quedar representada como:

${\displaystyle {\begin{cases}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1}\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_{2}\end{cases}}}$

Ye importante notar que la representación anterior nun ye única, una y bones una mesma recta puede espresase como la interseición de distintos pares de planos. Por casu los dos pares d'ecuaciones:

Clasificación de la xeometría analítica dientro de la xeometría

Dende'l puntu de vista de la clasificación de Klein de les xeometríes (el Programa de Erlangen), la xeometría analítica nun ye una xeometría puramente dicha.

Dende'l puntu de vista didácticu, la xeometría analítica resulta una ponte indispensable ente la xeometría euclidiana y otres cañes de la matemática y de la mesma xeometría, como son el mesmu analís matemáticu, el álxebra llinial, la xeometría allegada, la xeometría diferencial o la xeometría alxebraica.

En física utilízase los sistemes de coordenaes pa la representación de movimientus y vectores ente otres magnitúes.

Historia de la xeometría analítica

Esiste una ciertu discutiniu sobre la verdadera paternidá d'esti métodu. Lo único ciertu ye que se publicar per primer vegada en 1637 como "Xeometría analítica", apéndiz al Discursu del métodu, de Descartes, magar se sabe que Pierre de Fermat conocía y utilizaba el métodu antes de la so publicación por Descartes. Anque Omar Khayyam yá nel sieglu XI utilizara un métodu bien paecíu pa determinar ciertes interseiciones ente curves, ye imposible que dalgún de los citaos matemáticos franceses tuvieren accesu a la so obra.

El nome de xeometría analítica corrió pareyu al de xeometría cartesiana, y dambos son indistinguibles. Anguaño, paradóxicamente, prefier denominase xeometría cartesiana al apéndiz del Discursu del métodu, ente que s'entiende que xeometría analítica entiende non yá a la xeometría cartesiana (nel sentíu qu'acabamos de citar, esto ye, al testu apéndiz del Discursu del métodu), sinón tamién tol desenvolvimientu posterior de la xeometría que se base na construcción d'exes coordenaes y la descripción de les figures por aciu funciones alxebraiques o non— hasta l'apaición de la xeometría diferencial de Gauss (dicimos "paradóxicamente" porque s'usa precisamente'l términu "xeometría cartesiana" p'aquello que'l mesmu Descartes bautizó como "xeometría analítica"). El problema ye que mientres esi periodu nun esiste una diferencia clara ente xeometría analítica y analís matemáticu —esta falta de diferencia débese precisamente a la identificación fecha na dómina ente los conceutos de función y curva—, polo que resulta dacuando bien difícil intentar determinar si l'estudiu que se ta realizando correspuende a una o otra caña.

La xeometría diferencial de curves sí que dexa un estudiu por aciu un sistema de coordenaes, yá sía nel planu o nel espaciu tridimensional. Pero nel estudiu de les superficies, polo xeneral, apaecen series torgues. Gauss salva dichos torgues creando la xeometría diferencial, y marcando con ello'l fin de la xeometría analítica como disciplina. Ye col desenvolvimientu de la xeometría alxebraica cuando puede certificase totalmente la superación de la xeometría analítica.

Ye de puntualizar que la denominación de analítica dada a esta forma d'estudiar la xeometría provocó que l'anterior manera d'estudiala (esto ye, la manera axomáticu-deductiva, ensin la intervención de coordenaes) terminara denominándose, por oposición, xeometría sintética, por cuenta de la dualidá analís-síntesis.

Ver tamién

Referencies

Bibliografía

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