Circunferencia

En matemática, una circunferencia (del llatín circunferentia) ye una curva plana zarrada cuyos puntos son equidistantes d'un puntu interior fixu nomáu centru. Hai una desemeyanza bien nidia ente circunferencia y círculu: la primera, la circunferencia, ye la llinia que llenda l'área, y el segundu, el círculu, ye la llinia más tol área interior.

Circunferencia
forma
anallagmatic curve (en) , Ribaucour curve (en) , espiral sinusoidal (es) , llugar xeométricu, variedá analítica, elipse, Rosa polar (es) , hiperesfera, curva de ancho constante (es) , Zindler curve (en) , círculo generalizado (es) , Sección cónica, primitiva geométrica (es) y figura geométrica (es)

Ye la curva de máxima simetría bidimensional y les sos aplicaciones son mui numberoses. En xeometría analítica, la ecuación en coordenaes cartesianes d'una circunferencia centrada nel puntu (h, k) y de radiu "r", ye:

${\displaystyle (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\,}$

Desendolcando la ecuación, tenemos:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0\,}$

siendo ${\displaystyle h={\frac {-D}{2}}}$; ${\displaystyle k={\frac {-E}{2}}}$ y ${\displaystyle r={\sqrt {h^{2}+k^{2}-F}}}$

La llonxitú d'una circunferencia ye:

${\displaystyle L=2\cdot \pi \cdot r}$

onde ${\displaystyle r}$ = radiu; y ${\displaystyle \pi }$ (el númberu pi) ye'l cociente ente'l diámetru y la llonxitú de la circunferencia.

La circunferencia de centru nel orixe de coordenaes y radiu 1 denómase circunferencia unidá y en matemática universal úsase pa desiñar la llonxitú de la llende d'un discu de radiu finitu.

Ecuaciones de la circunferencia

Ecuación en coordenaes cartesianes

Nún sistema de coordenaes cartesianes x-y, la circunferencia con centru nel puntu (a, b) y radiu c consta de tolos puntos (x, y) que faen cumplir la ecuación

${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c^{2}\,}$.

Cuando'l centru tá nel orixe (0, 0), la ecuación d'enantes simplifícase a:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=c^{2}.\,}$

La circunferencia con centru nel orixe y de radiu igual a ${\displaystyle 1}$ ye nomada circunferencia unidá (o circunferencia xunitaria).

Si n'arróu del centru y el radiu, dannos dos puntos ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}$ estremos d'un diámetru, la circunferencia queda describía pola ecuación.

${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})=0.\,}$

Ecuación en coordenaes polares

Cuando la circunferencia tien centru nel orixe y el radiu ye c, descríbese en coordenaes polares como ${\displaystyle (r,\theta )}$

${\displaystyle r=c.\,}$

Cuando'l centru nun tá nel orixe, sino nel puntu ${\displaystyle (s,\alpha )}$ y el radiu ye ${\displaystyle c}$, la ecuación conviértese en:

${\displaystyle r^{2}-2sr\,\cos(\theta -\alpha )+s^{2}=c^{2}}$

Ecuación en coordenaes paramétriques

Tamién ye dable describir una circunferencia usando parametrizaciones. La circunferencia con centru en (a, b) y radiu c parametrízase con funciones trigonométriques como:

${\displaystyle x=a+c\cos t,\ y=b+c\sin t,\qquad t\in [0,2\pi ]}$

y con funciones racionales como

${\displaystyle x=a+c\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right),\ y=b+c\left({\frac {2t}{1+t^{2}}}\right),\qquad -\infty \leq t\leq \infty }$

Elementos de la circunferencia

Secantes, cuerdes y tanxentes.

Hai delles reutes y puntos especiales na circunferencia. Un segmentu que xune dos puntos de la circunferencia nómase cuerda. A les cuerdes de llonxitú máximo (aquelles que pasen pel centru) nómase-yos diámetros. Coñozse como radiu del círculu a cualesquier segmentu que xune'l centru cola circunferencia, asina como a la llonxitú de los mesmos.

Una llinia qu'atraviesa la circunferencia, tayándola en dos puntos, nómase secante, metantu que una llinia que cinca a la circunferencia namái nún puntu denómase tanxente. El puntu de contautu de la tanxente cola circunferencia nómase puntu de tanxencia. El radiu que xune'l centru col puntu de tanxencia ye perpendicular a la tanxente.

Área del círculu dellimitáu por una circunferencia

L'área del círculu dellimitáu pola circunferencia ye:

${\displaystyle A=\pi \cdot r^{2}}$

Esta fórmula débese a que, sabiendo que l'área de cualesquier polígonu regular ye igual al productu de la apotema y el perímetru del polígonu, dixebráu por 2, ye dicir: ${\displaystyle A={\frac {p\cdot a}{2}}}$.

...y aproximando la circunferencia como'l llímite de polígonos regulares, entós l'apotema coincidi col radiu de la circunferencia, y el perímetru cola llonxitú, poro:

${\displaystyle A={\frac {p\cdot a}{2}}={\frac {L\cdot r}{2}}={\frac {(2\cdot \pi \cdot r)\cdot r}{2}}={\frac {2\cdot \pi \cdot r^{2}}{2}}=\pi \cdot r^{2}}$

Otres propiedaes

El teorema de Tales diz que si los tres vértices d'un triángulu tán sobro una circunferencia dada, con ún de los sos llaos siendo'l diámetru de la circunferencia, entóncenes l'ángulu aviesu a ésti ye un ángulu reutu.

Triángulu rectu nún hemicírculu.

Daos tres puntos cualesquier que nun pertenezcan a una mesma reuta, existe una única circunferencia que caltién a estos tres puntos (esta circunferencia refierse como circunscrita al triángulu definíu por estos puntos). Daos tres puntos ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})}$, la ecuación de la circunferencia tá dada de mena cenciella pola determinante matricial:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}x&y&x^{2}+y^{2}&1\\x_{1}&y_{1}&x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&1\\x_{2}&y_{2}&x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&1\\x_{3}&y_{3}&x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&1\\\end{bmatrix}}=0.}$

Una circunferencia ye una seición cónica, con escentricidá cero.

Ver tamién

• Círculu
• Seición cónica

Referencies

Enllaces esternos

• Wikimedia Commons tien conteníu multimedia tocante a Circunferencia.

• Datos: Q17278
• Multimedia: Circle geometry
• Cites famoses: Círculo