Curva

En matemátiques, el conceutu de curva tenta d'amosar la idea intuitiva de llinia continua, d'una dimensión, que cimbla de direición paulatinamente. Exemplos cenciellos de curves zarraes son la elipse o la circunferencia, y de curves abiertes la parábola, la hipérbola o la catenaria. La reuta sería'l casu llímite d'una curva de radiu infinitu.

Curva
conceutu xeométricu
espaciu unidimensional, llugar xeométricu, llinia y forma

Definiciones

En xeometría, una curva nel n-espaciu euclidianu ye un conxuntu ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ que ye la imaxe d'un intervalu Ι abiertu baxo una aplicación diferenciable ${\displaystyle \mathbf {x} \colon \mathrm {I} \to \mathbb {R} ^{n}}$, i.e:

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{\mathbf {x} (t)\in \mathbb {R} ^{n}\colon t\in \mathrm {I} \}}$

au suel dicise que (${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathrm {I} }$) ye una representación paramétrica o parametrización de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

Col envís d'evitar auto interseiciones, puntos singulares y a los cabos, defínese el conceutu de curva cenciella como aquella curva tala que pa tou puntu p esiste un Ω entornu abiertu de p pal que ${\displaystyle \Omega \cap {\mathcal {C}}}$ almite una representación de clas ${\displaystyle C^{k}}$ con ${\displaystyle k\geq 1}$.

Xeometría diferencial de curves en R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}

La xeometría diferencial de curves propón definiciones y métodos p'analizar curves cencielles nel espaciu euclideu tridimensional o, más xeneralmente, curves conteníes en variedaes de Riemann. En particular, nel espaciu euclideu tridimensional ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, una curva de la que se conoz un puntu de pasu y el vector tanxente en talu puntu, queda descrita ensembre pola so corvadura y torción. Esta corvadura y torción puen estudiase per duana del denomáu triedru de Frênet-Serret, desplicáu darréu.

Vectores tanxente, normal y binormal

Vista esquemática del vector tanxente (azul), vector normal (verde) y vector binormal (bermeyu) d'una curva espiral.

Dada una curva parametrizada r(t) según un parámetru cualesquiera t defínese'l denomáu vector tanxente, binormal y normal como:

${\displaystyle \mathbf {t} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)}{\left\Vert \mathbf {r} '(t)\right\|}}}$

${\displaystyle \mathbf {b} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)}{\left\Vert \mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\right\|}}}$

${\displaystyle \mathbf {n} (t)=\mathbf {b} (t)\times \mathbf {t} (t)}$

Estos tres vectores son unitarios y perpendiculares ente sí, xuntos configuren un sistema de referencia móvil conocíu como triedru de Frênet-Serret. Ye interesante que pa una partícula física desplazándose nel espaciu, el vector tanxente ye paralelu a la velocidá, mentanto que'l vector normal da'l cambéu direición por unidá de tiempu de la velocidá o aceleración normal.