指数函数 (英語:Exponential function )是形式為
b
x
{\displaystyle b^{x}}
的數學函数 ,其中
b
{\displaystyle b}
是底數 (或稱基數 ,base ),而
x
{\displaystyle x}
是指數 (index / exponent )。
指数函数对于
x
{\displaystyle x}
的负数值非常平坦,对于
x
{\displaystyle x}
的正数值迅速攀升,在
x
{\displaystyle x}
等于
0
{\displaystyle 0}
的时候等于
1
{\displaystyle 1}
。它的
y
{\displaystyle y}
值总是等于在这一点上的斜率 。
現今指數函數 通常特指以
e
{\displaystyle {\mbox{e}}}
為底數的指數函數(即
e
x
{\displaystyle {\mbox{e}}^{x}}
),為数学 中重要的函数,也可寫作
exp
(
x
)
{\displaystyle \exp(x)}
。这里的
e
{\displaystyle {\mbox{e}}}
是数学常数,也就是自然对数函数的底数 ,近似值为
2.718281828
{\displaystyle 2.718281828}
,又称为欧拉 数。
作为实数 变量
x
{\displaystyle x}
的函数,
y
=
e
x
{\displaystyle y={\mbox{e}}^{x}}
的图像 总是正的(在
x
{\displaystyle x}
轴之上)并递增(从左向右看),它不触及
x
{\displaystyle x}
轴,尽管它可以任意程度的靠近它,即
x
{\displaystyle x}
轴是这个图像的水平渐近线 。一般的说,变量
x
{\displaystyle x}
可以是任何实数或复数 ,甚至是完全不同种类的数学对象 。它的反函数 是定义在所有正数
x
{\displaystyle x}
上的自然对数
ln
x
{\displaystyle \ln {x}}
。
本文集中于带有底数为欧拉数
e
{\displaystyle {\mbox{e}}}
的指数函数。有时,特别是在科学 中,术语指数函数 更一般性的用于形如
k
b
x
{\displaystyle kb^{x}}
的函数,这里的
b
{\displaystyle b}
称为底数 ,是不等于
1
{\displaystyle 1}
的任何正实数 。
概要
最简单的說,指数函数按恒定速率翻倍。例如细菌培养时细菌总数(近似的)每三个小时翻倍,和汽车的价值每年减少10%都可以被表示为一个指数。特別是複利 ,事實上就是它導致了雅各布·伯努利 在1683年介入了現在叫做
e
{\displaystyle e}
的數[ 1] :
lim
n
→
∞
(
1
+
1
n
)
n
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
後來約翰·伯努利 在1697年研究了指數函數的微積分。[ 1]
設1份借貸有
x
{\displaystyle x}
利率,逐月複利話,則每月增加當前值的
x
12
{\textstyle {\frac {x}{12}}}
倍,每月總值都要乘以
(
1
+
x
12
)
{\textstyle (1+{\frac {x}{12}})}
,一年的總值為
(
1
+
x
12
)
12
{\textstyle (1+{\frac {x}{12}})^{12}}
,逐日複利的話,就是
(
1
+
x
365
)
365
{\textstyle (1+{\frac {x}{365}})^{365}}
[ 2] 。設年中時段數可為無限,則有如下最初由歐拉 提出[ 3] 的指數函數定義:
exp
(
x
)
=
lim
n
→
∞
(
1
+
x
n
)
n
{\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}
指數函數有基本的指數恆等式,
exp
(
x
+
y
)
=
exp
(
x
)
⋅
exp
(
y
)
{\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)}
這是它寫為
e
x
{\displaystyle e^{x}}
的原因[ 4] 。
在雅各布·伯努利 之前,約翰·納皮爾 在1614年[ 5] 以及约斯特·比尔吉 在6年後[ 6] ,分別發表了獨立編制的對數表 ,當時通過對接近1的底數的大量乘冪 運算,來找到指定範圍和精度的對數 和所對應的真數,當時還沒出現有理數冪的概念,直到1742年威廉·琼斯 才發表了現在的冪指數概念[ 7] 。按後世的觀點,約翰·納皮爾 的底數0.999999910000000 相當接近
1
e
{\textstyle {\frac {1}{e}}}
[ 8] ,而约斯特·比尔吉 的底數1.000110000 相當接近自然對數 的底數
e
{\displaystyle e}
。實際上不需要做開高次方這種艱難運算,約翰·納皮爾 用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算,亨利·布里格斯 建議納皮爾改用10為底數未果,他用自己的方法[ 9] 於1624年部份完成了常用對數 表的編制。
形式定义
指数函数(蓝色),幂级数的前n +1项的和(红色)。
指数函数
e
x
{\displaystyle e^{x}}
可以用各种等价 的方式定义。特别是它可以定义为幂级数 :
e
x
=
1
+
∑
n
=
1
∞
x
n
n
!
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
x
4
4
!
+
⋯
{\displaystyle e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots }
或序列的极限 :
e
x
=
lim
n
→
∞
(
1
+
x
n
)
n
.
{\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{x \over n}\right)^{n}.}
在这些定义中,
n
!
{\displaystyle n!}
表示
n
{\displaystyle n}
的阶乘 ,而
x
{\displaystyle x}
可以是任何实数 、复数 、和巴拿赫代数 的元素。
設
x
≥
0
{\displaystyle x\geq 0}
是確定的非負實數。定義
t
n
=
(
1
+
x
n
)
n
,
s
n
=
∑
k
=
0
n
x
k
k
!
.
{\displaystyle t_{n}=\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},\ s_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{k}}{k!}}.}
據二項式定理 ,
t
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
k
n
k
=
1
+
x
+
∑
k
=
2
n
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
⋯
[
n
−
(
k
−
1
)
]
x
k
k
!
n
k
=
1
+
x
+
x
2
2
!
(
1
−
1
n
)
+
x
3
3
!
(
1
−
1
n
)
(
1
−
2
n
)
+
⋯
⋯
+
x
n
n
!
(
1
−
1
n
)
⋯
(
1
−
n
−
1
n
)
≤
s
n
{\displaystyle {\begin{aligned}t_{n}&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {x^{k}}{n^{k}}}=1+x+\sum _{k=2}^{n}{\frac {n(n-1)(n-2)\cdots [n-(k-1)]x^{k}}{k!\,n^{k}}}\\[8pt]&=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)+{\frac {x^{3}}{3!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)+\cdots \\[8pt]&{}\qquad \cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {n-1}{n}}\right)\leq s_{n}\end{aligned}}}
(設
x
≥
0
{\displaystyle x\geq 0}
得到最終的不等式)故此
lim sup
n
→
∞
t
n
≤
lim sup
n
→
∞
s
n
=
e
x
{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }t_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }s_{n}=e^{x}}
可證明當
n
{\displaystyle n}
趨於無限大時上述二定義等價。这些定义的进一步解释和它们的等价性的证明,参见文章指数函数的特征描述 。
性质
y
=
b
x
{\displaystyle y=b^{x}}
對各種底數b的圖像,分別為綠色的10、紅色的
e
{\displaystyle e}
、藍色的2和青色的
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
。
從指数函数的定義:
e
x
=
lim
n
→
∞
(
1
+
x
n
)
n
{\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}
可得出它有冪 運算的“指数定律”:
e
0
=
1
{\displaystyle \!\,e^{0}=1}
e
1
=
e
{\displaystyle \!\,e^{1}=e}
e
x
+
y
=
e
x
e
y
{\displaystyle \!\,e^{x+y}=e^{x}e^{y}}
e
x
y
=
(
e
x
)
y
{\displaystyle \!\,e^{xy}=\left(e^{x}\right)^{y}}
e
−
x
=
1
e
x
{\displaystyle \!\,e^{-x}={1 \over e^{x}}}
它们对所有实数
x
{\displaystyle x}
与
y
{\displaystyle y}
都是有效的。
因為在指數函數的定義中
x
{\displaystyle x}
是實數 ,可以使用自然对数 ,把更一般的指数函数,即正實數的實數冪 函數定义為
b
x
=
(
e
ln
b
)
x
=
e
x
ln
b
.
{\displaystyle \!\,b^{x}=(e^{\ln b})^{x}=e^{x\ln b}.}
定义于所有的
b
>
0
{\displaystyle b>0}
,和所有的实数
x
{\displaystyle x}
。它叫做“底数为
b
{\displaystyle b}
的指数函数”。從而拓展了通過乘方 和方根 運算定義的正實數的有理數 冪函數:
b
m
n
=
b
m
n
.
{\displaystyle b^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{b^{m}}}.}
而方根運算可通過自然對數和指數函數來表示(单位根 )
x
n
=
x
1
n
=
e
ln
x
n
.
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=x^{\frac {1}{n}}=e^{\frac {\ln x}{n}}.}
介入數
e
{\displaystyle e}
的根本動機,特別是在微積分 中,是通過指數函數和對數 來進行導數 和積分 運算。[ 10] 一般指數函數
y
=
b
x
{\displaystyle y=b^{x}}
有極限 形式的導數:
d
d
x
b
x
=
lim
h
→
0
b
x
+
h
−
b
x
h
=
lim
h
→
0
b
x
b
h
−
b
x
h
=
b
x
(
lim
h
→
0
b
h
−
1
h
)
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}b^{x}=\lim _{h\to 0}{\frac {b^{x+h}-b^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {b^{x}b^{h}-b^{x}}{h}}=b^{x}\left(\lim _{h\to 0}{\frac {b^{h}-1}{h}}\right).}
最右端的極限無關於變量
x
{\displaystyle x}
:它依賴於底數
b
{\displaystyle b}
而是常量[ 11] 。根據求導的鏈式法則 :
d
d
x
(
1
+
x
n
)
n
=
(
1
+
x
n
)
n
−
1
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n-1}.}
當這個底數是
e
{\displaystyle e}
時[ 4] ,這個常量等於1[ 12] ,因此有:
d
d
x
e
x
=
e
x
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}
导数和微分方程
指數函數的導數等於這個函數的值。從在藍色曲線上任意一點
P
{\displaystyle P}
,繪製紅色切線,和高度為
h
{\displaystyle h}
的垂直豎線,與在
x
{\displaystyle x}
軸上的底邊
b
{\displaystyle b}
形成了一個直角三角形。因為在
P
{\displaystyle P}
上的紅色切線的斜率(導數)等於這個三角形的高度與底邊長度的比,而導數等於這個函數的值,
h
{\displaystyle h}
必須等於
h
{\displaystyle h}
與
b
{\displaystyle b}
之比。因此底邊
b
{\displaystyle b}
必須總是
1
{\displaystyle 1}
。
指数函数在数学和科学中的重要性主要源于它的导数 的性质。特别是
d
d
x
e
x
=
e
x
{\displaystyle {d \over dx}e^{x}=e^{x}}
就是说,
e
x
{\displaystyle e^{x}}
是它自己的导数 。这可以用泰勒级数 证明:
d
d
x
e
x
=
d
d
x
(
1
+
∑
n
=
1
∞
x
n
n
!
)
=
∑
n
=
1
∞
n
x
n
−
1
n
!
=
∑
n
=
1
∞
x
n
−
1
(
n
−
1
)
!
=
∑
k
=
0
∞
x
k
k
!
,
where
k
=
n
−
1
=
e
x
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}e^{x}&={\frac {d}{dx}}\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nx^{n-1}}{n!}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n-1}}{(n-1)!}}\\[6pt]&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}},{\text{ where }}k=n-1\\[6pt]&=e^{x}\end{aligned}}}
对于常数
K
{\displaystyle K}
的形如
K
e
x
{\displaystyle Ke^{x}}
的函数是唯一有这个性质的函数(这得出自皮卡-林德洛夫定理 [ 13] )。其他等价说法有:
函数的图像的在任何一点上的斜率是这个函数在这一点上的高度。
函数在
x
{\displaystyle x}
的增长速率等于在这个函数在
x
{\displaystyle x}
上的值。
这个函数是微分方程
y
′
=
y
{\displaystyle y'=y}
的解。
exp是泛函导数 的不动点 。
事实上,很多不同的方程引發指数函数,包括薛定谔方程 和拉普拉斯方程 和简单谐波运动 的方程。
对于有其他底数的指数函数:
d
d
x
b
x
=
(
ln
b
)
b
x
{\displaystyle {d \over dx}b^{x}=(\ln b)b^{x}}
所以任何指数函数都是它自己导数的常数 倍。
如果一个变量的增长或衰减速率是与它的大小成比例 的,比如在无限制情况下的人口增长、复利 和放射性衰变 ,则这个变量可以写为常数倍的时间的指数函数。
进一步的,对任何可微函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
,我们可以通过链式法则 找到:
d
d
x
e
f
(
x
)
=
f
′
(
x
)
e
f
(
x
)
{\displaystyle {d \over dx}e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)}}
.
e x 的连分数
通过歐拉連分數公式 得到
e
x
{\displaystyle e^{x}}
的連分數 :
e
x
=
1
+
x
1
−
x
x
+
2
−
2
x
x
+
3
−
3
x
x
+
4
−
⋱
{\displaystyle e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-\ddots }}}}}}}}}
e
z
{\displaystyle e^{z}}
的廣義連分數 收斂更快速:[ 14]
e
z
=
1
+
2
z
2
−
z
+
z
2
6
+
z
2
10
+
z
2
14
+
⋱
{\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {2z}{2-z+{\cfrac {z^{2}}{6+{\cfrac {z^{2}}{10+{\cfrac {z^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}}
或者,替換
z
=
x
y
{\displaystyle z={\frac {x}{y}}}
:
e
x
y
=
1
+
2
x
2
y
−
x
+
x
2
6
y
+
x
2
10
y
+
x
2
14
y
+
⋱
{\displaystyle e^{\frac {x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+\ddots }}}}}}}}}
有特殊情況
z
=
2
{\displaystyle z=2}
:
e
2
=
1
+
4
0
+
2
2
6
+
2
2
10
+
2
2
14
+
⋱
=
7
+
2
5
+
1
7
+
1
9
+
1
11
+
⋱
{\displaystyle e^{2}=1+{\cfrac {4}{0+{\cfrac {2^{2}}{6+{\cfrac {2^{2}}{10+{\cfrac {2^{2}}{14+\ddots \,}}}}}}}}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots \,}}}}}}}}}
在複平面上
指數函數
e
z
{\displaystyle e^{z}}
可以定義為
(
1
+
z
n
)
n
{\displaystyle (1+{\frac {z}{n}})^{n}}
在
n
{\displaystyle n}
趨於無窮時的極限 。在本動畫中,
z
=
i
π
3
{\displaystyle z={\frac {i\pi }{3}}}
而
n
{\displaystyle n}
選取從1增到100的各種值。
(
1
+
z
n
)
n
{\displaystyle (1+{\frac {z}{n}})^{n}}
的計算顯示為在複平面 上
n
{\displaystyle n}
次乘法的組合效果。隨著
n
{\displaystyle n}
變大,這些點趨近於複平面單位圓 ,覆及
π
3
{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}
弧度的角度。
如同在實數 情況下,在複平面 的指數函數可以用多種等價方式定義。比如冪級數形式的:
e
z
=
∑
n
=
0
∞
z
n
n
!
{\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}
或者序列的極限 :
e
z
=
lim
n
→
∞
(
1
+
z
n
)
n
{\displaystyle e^{z}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}}
它带有虚数 周期
2
π
i
{\displaystyle 2\pi i}
[ prove 1] ,它可以写为
e
a
+
b
i
=
e
a
(
cos
b
+
i
sin
b
)
{\displaystyle \!\,e^{a+bi}=e^{a}(\cos b+i\sin b)}
这里的
a
{\displaystyle a}
和
b
{\displaystyle b}
是实数值。参见欧拉公式 ,这个公式把指数函数和三角函数 与指數函数联系起来。
在考虑定义在複平面 上的函数的时候,指数函数拥有重要的性质
e
z
+
w
=
e
z
e
w
{\displaystyle \!\,e^{z+w}=e^{z}e^{w}}
e
0
=
1
{\displaystyle \!\,e^{0}=1}
e
z
≠
0
{\displaystyle \!\,e^{z}\neq 0}
d
d
z
e
z
=
e
z
{\displaystyle \!\,{d \over dz}e^{z}=e^{z}}
(
e
z
)
n
=
e
n
z
,
n
∈
Z
{\displaystyle \,(e^{z})^{n}=e^{nz},n\in \mathbb {Z} }
对于所有的
z
{\displaystyle z}
和
w
{\displaystyle w}
。
它是周期的全纯函数 。我们看到除了多项式 的所有初等函数 都以某种方式起源于指数函数。
扩展自然对数 到復平面上的多值函数
ln
z
{\displaystyle \ln z}
,我们可以接着定义更一般性的指数函数:
z
w
=
e
w
ln
z
{\displaystyle \!\,z^{w}=e^{w\ln z}}
对于所有复数
z
{\displaystyle z}
和
w
{\displaystyle w}
,这也是多值函数,即使是在
z
{\displaystyle z}
為實數的情況下。前面關於正實數情況下的指數乘積規則在多值函數情況下必須改為:
(
e
z
)
w
≠
e
z
w
{\displaystyle (e^{z})^{w}\neq e^{zw}}
,而是
(
e
z
)
w
=
e
(
z
+
2
π
i
n
)
w
{\displaystyle (e^{z})^{w}=e^{(z+2\pi in)w}\,}
多值於整數n 之上。
指数函数把在複平面上任何直线 映射到在複平面中以原点 为中心的对数螺线 。要注意两个特殊情况:当最初的线平行于实轴的时候,结果的螺线永不遮盖(close in on)自身;当最初的线平行于虚轴的时候,结果的螺线是某个半径的圆。
在複平面上指数函数(主支)
z = Re(e x +iy )
z = Im(e x +iy )
矩阵和巴拿赫代数
上面给出的指数函数的定义可以用于所有巴拿赫代数 ,特别是对于方块矩阵 (在这种情况函数叫做矩阵指数 )。在这种情况下我们有
e
x
+
y
=
e
x
e
y
if
x
y
=
y
x
{\displaystyle \ e^{x+y}=e^{x}e^{y}{\mbox{ if }}xy=yx}
e
0
=
1
{\displaystyle \ e^{0}=1}
e
x
{\displaystyle \ e^{x}}
与
e
−
x
{\displaystyle \ e^{-x}}
是互倒的
e
x
{\displaystyle \ e^{x}}
在点
x
{\displaystyle \ x}
的导数是从
u
{\displaystyle \ u}
到
u
e
x
{\displaystyle \ ue^{x}}
的线性映射。
在非交换巴拿赫代数的上下文中,比如矩阵代数或在巴拿赫空间 或希尔伯特空间 上的算子,指数函数经常被认做实数参数的函数:
f
(
t
)
=
e
t
A
{\displaystyle \ f(t)=e^{tA}}
这里的A 是这个代数的固定元素而t 是任何实数。这个函数有重要的性质
f
(
s
+
t
)
=
f
(
s
)
f
(
t
)
{\displaystyle \ f(s+t)=f(s)f(t)}
f
(
0
)
=
1
{\displaystyle \ f(0)=1}
f
′
(
t
)
=
A
f
(
t
)
{\displaystyle \ f'(t)=Af(t)}
在李代数上
从李代数 到李群 的“指数映射”有着上述性质。事实上因为R 是带有乘法的所有正实数的李群的李代数,实数参数的常规指数函数是李代数下的特殊情况。类似的,因为所有方块实数矩阵的李代数M (n , R )属于所有正可逆方块矩阵的李群,方块矩阵的指数函数是李代数指数映射 的特殊情况。
註釋與引用
证明
外部链接
参见