維面
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在幾何學中,維面(Facet)又稱為超面(hyperface[1])是指幾何形狀的組成元素中,比該幾何形狀所在維度少一個維度的元素[5]。也是任何多胞形的邊界。而若在維面前加一個整數則代表幾何形狀的組成元素中,維度為該數的元素,例如在立方體中2維面(2-Face)是指立方體的正方形面。一般來說,維面(Facet)不應與面(Face)混淆[6][7]。一般的多胞形皆是以維面的數量命名,例如六邊形的維面是邊,其共有六條邊因此稱六邊形、八面體的維面是面,其共有八個面因此稱八面體。
在三維幾何中,多面體的維面是指所有頂點都是多面體頂點的多邊形面。在部分幾何結構中有可能存在不是維面的面[6][7]。而維面重組,或稱刻面是指找到新的維面形成新的多面體的過程,這個過程有時可以稱作星形化,並可以套用到更高維度的幾何結構。
在多面體組合學和一般的多胞形理論中,n維多胞形中的n − 1維元素稱為維面。維面也稱為(n − 1)維面、(n − 1)面或(n − 1)-面。而在在三維幾何學通常稱為面而不是維面。[8]
在单纯复形中,单纯复形的維面是一個单纯复形中最大的单纯形,且這個单纯形不是面也不是其他单纯复形的单纯形。[9]對於单纯多胞形的邊界複合體,此定義與多面體組合學一致。
在幾何學中,維面一詞前面若加一個整數,則代表一幾何結構中維度為該整數的元素,此概念不應與維面混淆。例如k維面代表幾何結構中維度為k的元素,又稱k面、k-面或k維元素而在更高維度中,有時會稱為k維胞,這一用法並未限定元素的所屬維度。[2][3][4]例如立方體的多維面包括了空多胞形(負一維面)、頂點(零維面)、邊(一維面)、正方形(二維面,一般稱面)和其本身(三維面,一般稱體)。正式地,對於一個多胞形P,多維面的定義是與一個「不與P內部相交的封閉半空間」的相交幾何結構(如交點、交線或交面等)[2][4]。多胞形中的多維面集合中同時也包含了多胞形本身和空多胞形。[3][4]
在抽象幾何學中,負一維面是多胞形中的元素集合中,不存在任何元素的子集,[10]對應到集合論中即為空集[11]且所有多胞形都含有空多胞形[12]。這種面通常稱為多胞形的極小面(least face)[13]、核維面或零化度(nullity[14])。
零維面為幾何結構中的零維元素,即頂點,通常由幾何結構的元素相交於點上形成。[15]
一維面為幾何結構中的一維元素,即邊或稜,通常由二個或多個幾何結構的元素交於一線而形成。[16]
二維面為幾何結構中的二維元素,通常會省略前面的維度直接稱面。[17]
若一個多胞形其維度就是n維,則n維面為該多胞形本身,通常稱為體,而在抽象幾何學中,也稱為極大面(Greatest Face)[13],並且與極小面合稱非法面(Improper Face)。[21]
若一個多胞形其維度就是n維,則其(n-1)維的元素稱為維面(Facet)[5]。
若一個多胞形其維度就是n維,則其(n-2)維的元素稱為維脊(Ridge)[22]。
若一個多胞形其維度就是n維,則其(n-3)維的元素稱為維峰(Peak)[23]。
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