托里拆利小號

托里拆利小號（Torricelli's Trumpet）是由意大利数学家埃萬傑利斯塔·托里拆利（Evangelista Torricelli）所提出的一個表面積無限大但體積有限的三維形狀。此形狀又被稱為加百列號角（Gabriel's Horn），根據基督教傳說，天使長加百利吹號角以宣布審判日（Judgment Day）的到來。

托里拆利小號的3D绘图.

數學定義

這個曲面是由${\displaystyle y=1/x}$（x的域為${\displaystyle x\geq 1}$）的曲線沿${\displaystyle x}$軸旋轉而成。以下是其体积和表面积的推导：

使用旋轉體的體積(V)和旋轉曲面的面積(A)公式^[1]，可得：

${\displaystyle V=\int _{1}^{\infty }\pi y^{2}\mathrm {d} x=\pi \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\mathrm {d} x=\pi }$

${\displaystyle A=\int _{1}^{\infty }2\pi y{\sqrt {1+({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}\mathrm {d} x=2\pi \int _{1}^{\infty }{\frac {\sqrt {1+{\frac {1}{x^{4}}}}}{x}}\mathrm {d} x>2\pi \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\mathrm {d} x={\infty }}$

可见，托里拆利小号的体积是有限的但是表面积是无限的，其体积和表面积除了微積分方法也可以用祖暅原理得出。

需要注意的是，托里拆利小号和伪球面的形状和性质（体积有限）相似，但两者是完全不同的曲面。

参阅

• 双曲线
• 科赫曲線
• 宇宙的形状
• 旋轉曲面
• 芝诺悖论

参考资料

1. 卓里奇, B.A. 数学分析. 高等教育出版社. ISBN 9787040287554.

外部链接

• Information and diagrams about Gabriel's horn
• Torricelli's trumpet at PlanetMath （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 埃里克·韦斯坦因. Gabriel's Horn. MathWorld.
• "Gabriel's Horn" （页面存档备份，存于互联网档案馆） by John Snyder, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• Gabriel's Horn: An Understanding of a Solid with Finite Volume and Infinite Surface Area （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Jean S. Joseph.