行列式 （英語：Determinant ），记作
det
(
A
)
{\displaystyle \det(A)}
|
A
|
{\displaystyle |A|}
方块矩阵 上计算得到的标量 。行列式可以看作是有向面积 或体积 的概念在一般的欧几里得空间 中的推广。或者说，在欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换 对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数 、多项式 理论，还是在微积分学 中（比如说换元积分法 中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。
事实速览 线性代数, 向量 ...
线性代数
A
=
[
1
2
3
4
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}
向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵
关闭
事实速览 「横行（row）」的各地常用名稱, 中国大陸 ...
「横行（row）」的各地常用名稱 中国大陸 行 臺灣 列[ 1]
关闭
事实速览 「纵行（column）」的各地常用名稱, 中国大陸 ...
关闭
行列式概念最早出现在解线性方程组 的过程中。十七世纪晚期，关孝和 与莱布尼茨 的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵 概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，其定义也被推广到诸如线性自同态 和向量组 等结构上。
行列式的特性可以被概括为一个交替多线性形式 ，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数[ 2]
一个n 阶 方块矩阵
A
{\displaystyle A}
det
(
A
)
=
∑
σ
∈
S
n
sgn
(
σ
)
∏
i
=
1
n
a
i
,
σ
(
i
)
{\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}}
其中，
S
n
{\displaystyle S_{n}}
{
1
,
2
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle \left\{1,2,...,n\right\}}
置换 的全体，即集合
{
1
,
2
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle \left\{1,2,...,n\right\}}
双射 ）的全体；
∑
σ
∈
S
n
{\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{n}}}
S
n
{\displaystyle S_{n}}
σ
∈
S
n
{\displaystyle \sigma \in S_{n}}
sgn
(
σ
)
∏
i
=
1
n
a
i
,
σ
(
i
)
{\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}}
1
≤
i
,
j
≤
n
{\displaystyle 1\leq i,j\leq n}
(
i
,
j
)
{\displaystyle \left(i,j\right)}
a
i
,
j
{\displaystyle a_{i,j}}
A
{\displaystyle A}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
sgn
(
σ
)
{\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}
σ
∈
S
n
{\displaystyle \sigma \in S_{n}}
符号差 ，具体地说，满足
1
≤
i
≤
j
≤
n
{\displaystyle 1\leq i\leq j\leq n}
σ
(
i
)
>
σ
(
j
)
{\displaystyle \sigma (i)>\sigma (j)}
(
i
,
j
)
{\displaystyle \left(i,j\right)}
σ
{\displaystyle \sigma }
如果
σ
{\displaystyle \sigma }
sgn
σ
=
1
{\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma =1}
sgn
σ
=
−
1
{\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma =-1}
举例来说，对于3元置换
σ
=
(
2
,
3
,
1
)
{\displaystyle \sigma =\left(2,3,1\right)}
σ
(
1
)
=
2
{\displaystyle \sigma (1)=2}
σ
(
2
)
=
3
{\displaystyle \sigma (2)=3}
σ
(
3
)
=
1
{\displaystyle \sigma (3)=1}
sgn
(
σ
)
=
1
{\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )=1}
a
1
,
2
a
2
,
3
a
3
,
1
{\displaystyle a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}}
σ
=
(
3
,
2
,
1
)
{\displaystyle \sigma =\left(3,2,1\right)}
σ
(
1
)
=
3
{\displaystyle \sigma (1)=3}
σ
(
2
)
=
2
{\displaystyle \sigma (2)=2}
σ
(
3
)
=
1
{\displaystyle \sigma (3)=1}
sgn
σ
=
−
1
{\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma =-1}
a
1
,
3
a
2
,
2
a
3
,
1
{\displaystyle a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}}
[ 5] [ 6]
注意到对于任意正整数
n
{\displaystyle n}
S
n
{\displaystyle S_{n}}
n !
n
!
{\displaystyle n!}
对于简单的2阶和3阶的矩阵，行列式的表达式相对简单，而且恰好是每条主对角线 （左上至右下）元素乘积之和减去每条副对角线（右上至左下）元素乘积之和（见图中红线和蓝线）。
2阶矩阵的行列式：
|
a
1
,
1
a
1
,
2
a
2
,
1
a
2
,
2
|
=
a
1
,
1
a
2
,
2
−
a
1
,
2
a
2
,
1
{\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\end{vmatrix}}=a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}a_{2,1}}
[ 7] 3阶矩阵的行列式：
|
a
1
,
1
a
1
,
2
a
1
,
3
a
2
,
1
a
2
,
2
a
2
,
3
a
3
,
1
a
3
,
2
a
3
,
3
|
=
a
1
,
1
a
2
,
2
a
3
,
3
+
a
1
,
2
a
2
,
3
a
3
,
1
+
a
1
,
3
a
2
,
1
a
3
,
2
−
a
1
,
3
a
2
,
2
a
3
,
1
−
a
1
,
1
a
2
,
3
a
3
,
2
−
a
1
,
2
a
2
,
1
a
3
,
3
{\displaystyle \displaystyle {\begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{vmatrix}}=a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}+a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}+a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}-a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}-a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}-a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}}
[ 8] 三阶矩阵的行列式为每条红线上的元素的乘积之和，减去蓝线上元素乘积之和。 但对于阶数
n
≥
4
{\displaystyle n\geq 4}
A
{\displaystyle A}
n
{\displaystyle n}
A
{\displaystyle A}
=
2
n
<
(
n
−
1
)
n
<
n
!
=
S
n
{\displaystyle =2n<\left(n-1\right)n<n!=S_{n}}
a
1
,
2
a
2
,
3
a
3
,
1
a
4
,
4
{\displaystyle a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}a_{4,4}}
n n
另外，
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
n
{\displaystyle n}
向量 ，这时矩阵的行列式也被称为这
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
向量 组成的向量组的行列式[ 9]
行列式的一个自然的源起是n n [ 10]
行列式是向量形成的平行四边形的面积 在一个二维平面 上，两个向量
X
=
(
a
,
c
)
{\displaystyle X=\left(a,c\right)}
X
′
=
(
b
,
d
)
{\displaystyle X'=\left(b,d\right)}
det
(
X
,
X
′
)
=
|
a
b
c
d
|
=
a
d
−
b
c
{\displaystyle \det(X,X')={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc}
[ 7] 比如说，两个向量
X
=
(
2
,
1
)
{\displaystyle X=\left(2,1\right)}
X
′
=
(
3
,
4
)
{\displaystyle X'=\left(3,4\right)}
det
(
X
,
X
′
)
=
|
2
3
1
4
|
=
2
⋅
4
−
3
⋅
1
=
5
{\displaystyle \det(X,X')={\begin{vmatrix}2&3\\1&4\end{vmatrix}}=2\cdot 4-3\cdot 1=5}
经计算可知，当系数是实数时，行列式表示的是向量
X
{\displaystyle X}
X
′
{\displaystyle X'}
平行四边形 的有向面积，并有如下性质：
行列式为零当且仅当两个向量共线（线性相关 ），这时平行四边形退化成一条直线[ 9]
如果以逆时针方向为正向的话，有向面积的意义是：平行四边形面积为正当且仅当以原点为不动点将
X
{\displaystyle X}
X
′
{\displaystyle X'}
X
{\displaystyle X}
X
′
{\displaystyle X'}
[ 11]
行列式是一个双线性映射 。也就是说，
det
(
λ
X
+
μ
Y
,
X
′
)
=
λ
det
(
X
,
X
′
)
+
μ
det
(
Y
,
X
′
)
{\displaystyle \det(\lambda X+\mu Y,X')=\lambda \det(X,X')+\mu \det(Y,X')\;}
并且
det
(
X
,
λ
X
′
+
μ
Y
′
)
=
λ
det
(
X
,
X
′
)
+
μ
det
(
X
,
Y
′
)
{\displaystyle \det(X,\lambda X'+\mu Y')=\lambda \det(X,X')+\mu \det(X,Y')\;}
[ 9] 行列式 其几何意义是：以同一个向量
v
{\displaystyle v}
u
{\displaystyle u}
u
′
{\displaystyle u'}
u
+
u
′
{\displaystyle u+u'}
v
{\displaystyle v}
在三维的有向空间 中，三个三维向量的行列式是：
det
(
X
,
X
′
,
X
″
)
=
|
x
x
′
x
″
y
y
′
y
″
z
z
′
z
″
|
=
x
y
′
z
″
+
x
′
y
″
z
+
x
″
y
z
′
−
x
y
″
z
′
−
x
′
y
z
″
−
x
″
y
′
z
{\displaystyle \det(X,X',X'')={\begin{vmatrix}x&x'&x''\\y&y'&y''\\z&z'&z''\end{vmatrix}}=xy'z''+x'y''z+x''yz'-xy''z'-x'yz''-x''y'z}
[ 8] 比如说，三个向量
(
2
,
1
,
5
)
{\displaystyle \left(2,1,5\right)}
(
6
,
0
,
8
)
{\displaystyle \left(6,0,8\right)}
(
3
,
2
,
4
)
{\displaystyle \left(3,2,4\right)}
det
(
X
,
X
′
,
X
″
)
=
|
2
6
3
1
0
2
5
8
4
|
=
2
⋅
0
⋅
4
+
6
⋅
2
⋅
5
+
3
⋅
1
⋅
8
−
2
⋅
2
⋅
8
−
6
⋅
1
⋅
4
−
3
⋅
0
⋅
5
=
28
{\displaystyle \det(X,X',X'')={\begin{vmatrix}2&6&3\\1&0&2\\5&8&4\end{vmatrix}}=2\cdot 0\cdot 4+6\cdot 2\cdot 5+3\cdot 1\cdot 8-2\cdot 2\cdot 8-6\cdot 1\cdot 4-3\cdot 0\cdot 5=28}
当系数是实数时，行列式表示
X
{\displaystyle X}
X
′
{\displaystyle X'}
X
″
{\displaystyle X''}
混合积 。同样的，可以观察到如下性质[ 12]
行列式为零当且仅当三个向量共线或者共面（三者线性相关 ），这时平行六面体退化为平面图形，体积为零[ 10] 两个相邻平行六面体的体积之和 三维空间中有向体积的定义要比二维空间中复杂，一般是根据右手定则 来约定。比如右图中(
u
,
v
,
w
{\displaystyle u,v,w}
u
,
w
,
v
{\displaystyle u,w,v}
定向 反过来的话，有向体积的定义也要跟着反过来，这样行列式才能代表有向体积[ 10] [ 13]
这时行列式是一个“三线性映射 ”，也就是说，对第一个向量有
det
(
a
X
+
b
Y
,
X
′
,
X
″
)
=
a
det
(
X
,
X
′
,
X
″
)
+
b
det
(
Y
,
X
′
,
X
″
)
{\displaystyle \det(aX+bY,X',X'')=a\det(X,X',X'')+b\det(Y,X',X'')\;}
u
,
v
,
w
{\displaystyle u,v,w}
u
′
,
v
,
w
{\displaystyle u',v,w}
u
{\displaystyle u}
u
′
{\displaystyle u'}
u
+
u
′
{\displaystyle u+u'}
v
{\displaystyle v}
w
{\displaystyle w}
[ 10]
在以上的行列式中，我们不加选择地将向量在所谓的正交基 （即直角坐标系 ）下分解，实际上在不同的基底 之下，行列式的值并不相同。这并不是说平行六面体的体积不唯一。恰恰相反，这说明体积的概念依赖于衡量空间的尺度，也就是基底的取法。用基底的变换可以看作线性映射 对基底的作用，而不同基底下的行列式代表了基变换 对“体积”的影响。可以证明，对于所有同定向的标准正交基 ，向量组的行列式的值在绝对值意义上是一样的[ 14] 正交 ，那么在这样的基之下，平行六面体的体积的绝对值是唯一的[ 15]
以上二维和三维行列式的例子中，行列式被解释为向量形成的图形的面积或体积。面积或体积的定义是恒正的，而行列式是有正有负的，因此需要引入有向面积和有向体积的概念。负的面积或体积在物理学中可能难以理解，但在数学中，它们和有向角 的概念类似，都是对空间镜面对称特性的一种刻画。如果行列式表示的是线性变换对体积的影响，那么行列式的正负就表示了空间的定向[ 17]
如上图中，左边的黄色骰子（可以看成有单位的有向体积的物体）在经过了线性变换后变成中间绿色的平行六面体，这时行列式为正，两者是同定向的，可以通过旋转和拉伸从一个变成另一个。而骰子和右边的红色平行六面体之间也是通过线性变换得到的，但是无论怎样旋转和拉伸，都无法使一个变成另一个，一定要通过镜面反射才行。这时两者之间的线性变换的行列式是负的。可以看出，线性变换可以分为两类，一类对应着正的行列式，保持空间的定向不变，另一类对应负的行列式，颠倒空间的定向[ 17] [ 18] [ 19]
行列式是系数域为
K
{\displaystyle K}
线性空间
E
{\displaystyle E}
K
{\displaystyle K}
交替n- [ 20]
具体来说，设
E
{\displaystyle E}
K
{\displaystyle K}
n
{\displaystyle n}
E
{\displaystyle E}
n
−
{\displaystyle n-}
D
:
E
n
→
K
{\displaystyle D:E^{n}\to K}
n
{\displaystyle n}
D
(
a
1
,
…
,
c
a
i
+
a
i
′
,
…
,
a
n
)
=
c
D
(
a
1
,
…
,
a
i
,
…
,
a
n
)
+
D
(
a
1
,
…
,
a
i
′
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle D(a_{1},\ldots ,ca_{i}+a_{i}',\ldots ,a_{n})=cD(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})+D(a_{1},\ldots ,a_{i}',\ldots ,a_{n})}
交替性：
D
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
=
−
D
(
a
2
,
a
1
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle D(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=-D(a_{2},a_{1},\ldots ,a_{n})}
a
i
=
a
j
{\displaystyle a_{i}=a_{j}}
D
(
a
1
,
…
,
a
i
,
…
,
a
j
,
…
,
a
n
)
=
0
{\displaystyle D(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{j},\ldots ,a_{n})=0}
所有E
n
−
{\displaystyle n-}
A
n
(
E
)
{\displaystyle A_{n}(E)}
定理 ：
A
n
(
E
)
{\displaystyle A_{n}(E)}
B
=
(
e
1
,
…
,
e
n
)
{\displaystyle B=(e_{1},\dots ,e_{n})}
E
{\displaystyle E}
n
−
{\displaystyle n-}
f
:
E
n
→
K
{\displaystyle f:E^{n}\to K}
f
(
a
1
,
…
,
a
n
)
=
(
∑
σ
∈
S
n
sgn
(
σ
)
∏
j
=
1
n
a
σ
(
j
)
,
j
)
f
(
e
1
,
…
,
e
n
)
{\displaystyle f(a_{1},\dots ,a_{n})=\left(\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{j=1}^{n}a_{\sigma (j),j}\right)f(e_{1},\dots ,e_{n})}
其中
a
j
=
∑
i
=
1
n
a
i
,
j
e
i
{\displaystyle a_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}e_{i}}
B
{\displaystyle B}
[ 20] [ 21]
证明 ：
对任一个
n
−
{\displaystyle n-}
D
:
E
n
→
K
{\displaystyle D:E^{n}\to K}
D
{\displaystyle D}
D
(
a
1
,
…
,
a
n
)
=
D
(
∑
i
1
=
1
n
a
i
1
,
1
e
i
1
,
…
,
∑
i
n
=
1
n
a
i
n
,
n
e
i
n
)
=
∑
i
1
=
1
n
…
∑
i
n
=
1
n
∏
j
=
1
n
a
i
j
,
j
D
(
e
i
1
,
…
,
e
i
n
)
{\displaystyle D(a_{1},\dots ,a_{n})=D\left(\sum _{i_{1}=1}^{n}a_{i_{1},1}e_{i_{1}},\dots ,\sum _{i_{n}=1}^{n}a_{i_{n},n}e_{i_{n}}\right)=\sum _{i_{1}=1}^{n}\dots \sum _{i_{n}=1}^{n}\prod _{j=1}^{n}a_{i_{j},j}D(e_{i_{1}},\dots ,e_{i_{n}})}
这时，由交替性，
D
(
e
i
1
,
…
,
e
i
n
)
≠
0
{\displaystyle D(e_{i_{1}},\dots ,e_{i_{n}})\neq 0}
i
1
,
…
,
i
n
{\displaystyle i_{1},\dots ,i_{n}}
1
,
…
,
n
{\displaystyle 1,\dots ,n}
D
(
a
1
,
…
,
a
n
)
=
D
(
I
n
)
⋅
∑
σ
∈
S
n
sgn
(
σ
)
∏
i
=
1
n
a
i
,
σ
(
i
)
{\displaystyle D(a_{1},\dots ,a_{n})=D(I_{n})\cdot \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}}
这裡，
I
n
=
(
e
1
,
…
,
e
n
)
{\displaystyle I_{n}=(e_{1},\dots ,e_{n})}
设
B
=
(
e
1
,
…
,
e
n
)
{\displaystyle B=(e_{1},\dots ,e_{n})}
E
{\displaystyle E}
B
{\displaystyle B}
其中的唯一性是因为如果有两个交替
n
−
{\displaystyle n-}
定义 ：
确定了
E
{\displaystyle E}
B
{\displaystyle B}
a
1
,
…
,
a
n
{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}
B
{\displaystyle B}
det
B
(
a
1
,
…
,
a
n
)
=
(
∑
σ
∈
S
n
sgn
(
σ
)
∏
j
=
1
n
a
σ
(
j
)
,
j
)
det
B
(
e
1
,
…
,
e
n
)
=
∑
σ
∈
S
n
sgn
(
σ
)
∏
j
=
1
n
a
σ
(
j
)
,
j
{\displaystyle \det {}_{B}(a_{1},\dots ,a_{n})=\left(\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{j=1}^{n}a_{\sigma (j),j}\right)\det {}_{B}(e_{1},\dots ,e_{n})=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{j=1}^{n}a_{\sigma (j),j}}
其中
a
j
=
∑
i
=
1
n
a
i
,
j
e
i
{\displaystyle a_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}e_{i}}
B
{\displaystyle B}
[ 22]
可以见到这个定义与之前直观的定义是吻合的，它有时也被称作莱布尼兹公式 。
設
M
n
(
K
)
{\displaystyle \displaystyle {\mathit {M}}_{n}(K)}
域
K
{\displaystyle K}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
m
i
,
j
{\displaystyle \displaystyle m_{i,j}}
n
{\displaystyle n}
m
1
,
…
,
m
n
{\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{n}}
m
j
{\displaystyle \displaystyle m_{j}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
M
{\displaystyle M}
m
1
,
…
,
m
n
{\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{n}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
定义 ：
矩阵
M
{\displaystyle M}
det
(
M
)
=
det
(
m
1
,
…
,
m
n
)
=
∑
σ
∈
S
n
sgn
(
σ
)
∏
i
=
1
n
m
σ
(
i
)
,
i
{\displaystyle \det(M)=\det(m_{1},\ldots ,m_{n})=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}m_{\sigma (i),i}}
[ 23]
这样定义的矩阵
M
{\displaystyle M}
单位矩阵 的行列式为1，若矩阵的某几行线性相关 ，则它的行列式为零。
由莱布尼兹公式，可以证明矩阵行列式的一个重要性质：
定理 ：
一个矩阵的行列式等于它的转置矩阵 的行列式：
det
M
=
det
(
t
M
)
{\displaystyle \det M=\det \left({}^{t}{M}\right)}
[ 24]
也就是说矩阵的行列式既可以看作
n
{\displaystyle n}
行向量 的行列式，也可以看作
n
{\displaystyle n}
列向量 的行列式。因此也可以通过行向量组来定义矩阵行列式，并且得到的定义是等价的。
设
f
{\displaystyle f}
n
{\displaystyle n}
线性空间
E
{\displaystyle E}
自同态 ），对于给定的一组基，可以定义线性变换在这组基下的行列式。
f
[
f
(
x
1
)
,
…
,
f
(
x
n
)
]
=
[
f
]
B
⋅
[
x
1
,
…
,
x
n
]
{\displaystyle \left[f(x_{1}),\dots ,f(x_{n})\right]=\left[f\right]_{B}\cdot \left[x_{1},\dots ,x_{n}\right]}
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}
det
B
(
f
(
x
1
)
,
…
,
f
(
x
n
)
)
=
det
(
[
f
]
B
)
×
det
B
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle \det {}_{B}(f(x_{1}),\dots ,f(x_{n}))=\det \left([f]_{B}\right)\times \det {}_{B}(x_{1},\dots ,x_{n})}
=
det
f
×
det
B
(
x
1
,
⋯
,
x
n
)
{\displaystyle =\det f\times \det {}_{B}(x_{1},\cdots ,x_{n})}
可以证明，f E [ 25]
证明 ：
考虑映射
d
f
,
B
{\displaystyle d_{f,B}}
(
x
1
,
⋯
,
x
n
)
{\displaystyle (x_{1},\cdots ,x_{n})}
d
f
,
B
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
det
B
(
f
(
x
1
)
,
…
,
f
(
x
n
)
)
{\displaystyle d_{f,B}(x_{1},\dots ,x_{n})=\det {}_{B}(f(x_{1}),\dots ,f(x_{n}))}
d
f
,
B
{\displaystyle d_{f,B}}
n-
d
f
,
B
{\displaystyle d_{f,B}}
d
e
t
B
{\displaystyle det_{B}}
d
f
,
B
=
λ
⋅
det
B
{\displaystyle d_{f,B}=\lambda \cdot \det {}_{B}}
而由变换矩阵的性质可以知道：
λ
=
det
(
[
f
]
B
)
{\displaystyle \lambda =\det \left([f]_{B}\right)}
也就是说
det
B
(
f
(
x
1
)
,
…
,
f
(
x
n
)
)
=
det
(
[
f
]
B
)
×
det
B
(
x
1
,
…
,
x
n
)
(
1
)
{\displaystyle \det {}_{B}(f(x_{1}),\dots ,f(x_{n}))=\det \left([f]_{B}\right)\times \det {}_{B}(x_{1},\dots ,x_{n})\qquad (1)}
对于另外一组基
B
′
{\displaystyle B'}
det
B
(
f
(
x
1
)
,
…
,
f
(
x
n
)
)
=
det
B
(
B
′
)
×
det
B
′
(
f
(
x
1
)
,
…
,
f
(
x
n
)
)
{\displaystyle \det {}_{B}(f(x_{1}),\dots ,f(x_{n}))=\det {}_{B}(B')\times \det {}_{B'}(f(x_{1}),\dots ,f(x_{n}))}
det
(
[
f
]
B
)
×
det
B
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
det
B
(
f
(
x
1
)
,
…
,
f
(
x
n
)
)
=
det
B
(
B
′
)
×
det
B
′
(
f
(
x
1
)
,
…
,
f
(
x
n
)
)
=
det
B
(
B
′
)
×
det
(
[
f
]
B
′
)
×
det
B
′
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
det
(
[
f
]
B
′
)
×
det
B
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\det \left([f]_{B}\right)\times \det {}_{B}(x_{1},\dots ,x_{n})&=\det {}_{B}(f(x_{1}),\dots ,f(x_{n}))\\&=\det {}_{B}(B')\times \det {}_{B'}(f(x_{1}),\dots ,f(x_{n}))\\&=\det {}_{B}(B')\times \det \left([f]_{B'}\right)\times \det {}_{B'}(x_{1},\dots ,x_{n})\\&=\det \left([f]_{B'}\right)\times \det {}_{B}(x_{1},\dots ,x_{n})\end{aligned}}}
从而可以得出
det
(
[
f
]
B
′
)
{\displaystyle \det \left([f]_{B'}\right)}
det
(
[
f
]
B
)
{\displaystyle \det \left([f]_{B}\right)}
det
(
[
f
]
B
′
)
{\displaystyle \det \left([f]_{B'}\right)}
f
因此线性变换的行列式定义可以修改为不依赖于基的形式：
前一节里对正方体做线性变换时，
(
x
1
,
⋯
,
x
n
)
{\displaystyle (x_{1},\cdots ,x_{n})}
det
B
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
1
{\displaystyle \det {}_{B}(x_{1},\dots ,x_{n})=1}
[ 25]
特别地，行列式为1的线性变换保持向量组的行列式，它们构成一般线性群
G
L
(
E
)
{\displaystyle GL(E)}
S
L
(
E
)
{\displaystyle SL(E)}
特殊线性群 [ 26]
S
L
(
E
)
{\displaystyle SL(E)}
错切 生成的，即所有具有如下形式的矩阵代表的线性变换：
[
1
1
λ
1
1
]
=
I
n
+
λ
E
i
j
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&\\&1&&&\\&&\lambda &&\\&&&1&\\&&&&1\end{bmatrix}}=I_{n}+\lambda E_{ij}}
其中
E
i
j
{\displaystyle E_{ij}}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
[ 27] 相似矩阵 有相等的行列式[ 28]
行列式的一些基本性质，可以由它的多线性以及交替性推出。
在行列式中，一行（列）元素全為0，則此行列式的值為0[ 31]
|
0
0
…
0
a
21
a
22
…
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
1
a
n
2
…
a
n
n
|
=
|
0
a
12
…
a
1
n
0
a
22
…
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
0
a
n
2
…
a
n
n
|
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}{\color {blue}0}&{\color {blue}0}&\dots &{\color {blue}0}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\color {blue}0}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\{\color {blue}0}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\color {blue}0}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}=0}
在行列式中，某一行（列）有公因子
k
{\displaystyle k}
k
{\displaystyle k}
[ 31]
D
=
|
a
11
a
12
…
a
1
n
⋮
⋮
⋱
⋮
k
a
i
1
k
a
i
2
…
k
a
i
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
1
a
n
2
…
a
n
n
|
=
k
|
a
11
a
12
…
a
1
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
i
1
a
i
2
…
a
i
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
1
a
n
2
…
a
n
n
|
=
k
D
1
{\displaystyle D={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\color {blue}k}a_{i1}&{\color {blue}k}a_{i2}&\dots &{\color {blue}k}a_{in}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}={\color {blue}k}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i1}&a_{i2}&\dots &a_{in}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}={\color {blue}k}D_{1}}
在行列式中，某一行（列）的每個元素是兩數之和，則此行列式可拆分為兩個相加的行列式[ 31]
|
a
11
a
12
…
a
1
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
i
1
+
b
i
1
a
i
2
+
b
i
2
…
a
i
n
+
b
i
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
1
a
n
2
…
a
n
n
|
=
|
a
11
a
12
…
a
1
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
i
1
a
i
2
…
a
i
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
1
a
n
2
…
a
n
n
|
+
|
a
11
a
12
…
a
1
n
⋮
⋮
⋱
⋮
b
i
1
b
i
2
…
b
i
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
1
a
n
2
…
a
n
n
|
{\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\color {blue}a_{i1}}+{\color {OliveGreen}b_{i1}}&{\color {blue}a_{i2}}+{\color {OliveGreen}b_{i2}}&\dots &{\color {blue}a_{in}}+{\color {OliveGreen}b_{in}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\color {blue}a_{i1}}&{\color {blue}a_{i2}}&\dots &{\color {blue}a_{in}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\color {OliveGreen}b_{i1}}&{\color {OliveGreen}b_{i2}}&\dots &{\color {OliveGreen}b_{in}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}}
行列式中的兩行（列）互換，改變行列式正負符號[ 31]
|
⋮
⋮
⋮
⋮
a
i
1
a
i
2
…
a
i
n
a
j
1
a
j
2
…
a
j
n
⋮
⋮
⋮
⋮
|
=
−
|
⋮
⋮
⋮
⋮
a
j
1
a
j
2
…
a
j
n
a
i
1
a
i
2
…
a
i
n
⋮
⋮
⋮
⋮
|
{\displaystyle {\begin{vmatrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\{\color {blue}a_{i1}}&{\color {blue}a_{i2}}&\dots &{\color {blue}a_{in}}\\{\color {OliveGreen}a_{j1}}&{\color {OliveGreen}a_{j2}}&\dots &{\color {OliveGreen}a_{jn}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\{\color {OliveGreen}a_{j1}}&{\color {OliveGreen}a_{j2}}&\dots &{\color {OliveGreen}a_{jn}}\\{\color {blue}a_{i1}}&{\color {blue}a_{i2}}&\dots &{\color {blue}a_{in}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\end{vmatrix}}}
在行列式中，有兩行（列）對應成比例或相同，則此行列式的值為0[ 31]
|
2
2
…
2
8
8
…
8
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
1
a
n
2
…
a
n
n
|
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}{\color {blue}2}&{\color {blue}2}&\dots &{\color {blue}2}\\{\color {blue}8}&{\color {blue}8}&\dots &{\color {blue}8}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}=0}
將一行（列）的
k
{\displaystyle k}
[ 31]
|
⋮
⋮
⋮
⋮
a
i
1
a
i
2
…
a
i
n
a
j
1
a
j
2
…
a
j
n
⋮
⋮
⋮
⋮
|
=
|
⋮
⋮
⋮
⋮
a
i
1
a
i
2
…
a
i
n
a
j
1
+
k
a
i
1
a
j
2
+
k
a
i
2
…
a
j
n
+
k
a
i
n
⋮
⋮
⋮
⋮
|
{\displaystyle {\begin{vmatrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{i1}&a_{i2}&\dots &a_{in}\\a_{j1}&a_{j2}&\dots &a_{jn}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{i1}&a_{i2}&\dots &a_{in}\\a_{j1}{\color {blue}+ka_{i1}}&a_{j2}{\color {blue}+ka_{i2}}&\dots &a_{jn}{\color {blue}+ka_{in}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\end{vmatrix}}}
注意 ：一行（列）的
k
{\displaystyle k}
|
⋮
⋮
⋮
⋮
a
i
1
a
i
2
…
a
i
n
a
j
1
a
j
2
…
a
j
n
⋮
⋮
⋮
⋮
|
≠
|
⋮
⋮
⋮
⋮
a
i
1
a
i
2
…
a
i
n
k
a
j
1
+
a
i
1
k
a
j
2
+
a
i
2
…
k
a
j
n
+
a
i
n
⋮
⋮
⋮
⋮
|
{\displaystyle {\begin{vmatrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{i1}&a_{i2}&\dots &a_{in}\\a_{j1}&a_{j2}&\dots &a_{jn}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\end{vmatrix}}{\color {red}\neq }{\begin{vmatrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{i1}&a_{i2}&\dots &a_{in}\\{\color {red}k}a_{j1}{\color {red}+a_{i1}}&{\color {red}k}a_{j2}{\color {red}+a_{i2}}&\dots &{\color {red}k}a_{jn}{\color {red}+a_{in}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\end{vmatrix}}}
將行列式的行列互換，行列式的值不變，其中行列互換相當於轉置[ 31] [ 32]
D
=
|
a
i
j
|
=
|
a
j
i
|
=
D
T
{\displaystyle D={\begin{vmatrix}a_{ij}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{ji}\end{vmatrix}}=D^{\textrm {T}}}
例如
|
a
11
a
12
…
a
1
n
a
21
a
22
…
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
1
a
n
2
…
a
n
n
|
=
|
a
11
a
21
…
a
n
1
a
12
a
22
…
a
n
2
⋮
⋮
⋱
⋮
a
1
n
a
2
n
…
a
n
n
|
{\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{21}&\dots &a_{n1}\\a_{12}&a_{22}&\dots &a_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1n}&a_{2n}&\dots &a_{nn}\end{vmatrix}}}
行列式的乘法定理：方块矩陣 的乘積的行列式等於行列式的乘積。
det
(
A
B
)
=
det
(
A
)
det
(
B
)
{\displaystyle \displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)}
r
{\displaystyle r}
r
{\displaystyle r}
r
n
{\displaystyle r^{n}}
[ 33]
det
(
r
A
)
=
det
(
r
I
n
⋅
A
)
=
det
(
r
I
n
)
⋅
det
(
A
)
=
r
n
det
(
A
)
{\displaystyle \det(rA)=\det(rI_{n}\cdot A)=\det(rI_{n})\cdot \det(A)=r^{n}\det(A)}
以上的乘法公式还可以进一步推广为所谓柯西–比内公式 ，从而使得只要两个矩阵的乘积是方块矩阵，就有类似于以上的结果：假设
A
{\displaystyle A}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
B
{\displaystyle B}
n
×
m
{\displaystyle n\times m}
S
{\displaystyle S}
{
1
,
⋯
,
n
}
{\displaystyle \left\{1,\cdots ,n\right\}}
m
{\displaystyle m}
{
S
1
,
⋯
,
S
m
}
{\displaystyle \left\{S_{1},\cdots ,S_{m}\right\}}
A
S
{\displaystyle A_{S}}
A
{\displaystyle A}
S
{\displaystyle S}
m
×
m
{\displaystyle m\times m}
B
S
{\displaystyle B_{S}}
B
{\displaystyle B}
S
{\displaystyle S}
m
×
m
{\displaystyle m\times m}
det
(
A
B
)
=
∑
S
det
(
A
S
)
det
(
B
S
)
{\displaystyle \det(AB)=\sum _{S}\det(A_{S})\det(B_{S})\,}
这里求遍
{
1
,
⋯
,
n
}
{\displaystyle \left\{1,\cdots ,n\right\}}
m
{\displaystyle m}
S
{\displaystyle S}
C(n ,m ) 个）。
如果
m
=
n
{\displaystyle m=n}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
集合
S
{\displaystyle S}
m
=
1
{\displaystyle m=1}
n
{\displaystyle n}
S
{\displaystyle S}
点积 。如果
m
>
n
{\displaystyle m>n}
S
{\displaystyle S}
det
(
A
B
)
{\displaystyle \det(AB)}
[ 34] 若
A
{\displaystyle A}
可逆矩陣 ，
det
(
A
−
1
)
=
(
det
(
A
)
)
−
1
{\displaystyle \displaystyle \det(A^{-1})=(\det(A))^{-1}}
[ 35]
由行列式的乘法定理以及
det
(
A
−
1
)
=
(
det
(
A
)
)
−
1
{\displaystyle \displaystyle \det(A^{-1})=(\det(A))^{-1}}
一般线性群
(
G
L
n
(
F
)
,
×
)
{\displaystyle (GL_{n}(\mathbb {F} ),\times )}
(
F
∗
,
×
)
{\displaystyle (\mathbb {F} ^{*},\times )}
群同态 [ 36]
若将方块矩阵中的元素取共轭 ，得到的是矩阵的共轭矩阵。共轭矩阵的行列式值等於矩阵行列式值的共軛：
det
(
A
¯
)
=
det
(
A
)
¯
{\displaystyle \det({\overline {A}})={\overline {\det(A)}}}
[ 37]
若兩個矩陣相似 ，那麼它們的行列式相同。这是因为两个相似的矩阵之间只相差一个基底变换，而行列式描述的是矩阵对应的线性映射对体积的影响，而不是体积，所以基底变换并不会影响行列式的值。用数学语言来说，就是： 如果兩個矩陣
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
P
{\displaystyle \mathbf {P} }
A
=
P
B
P
−
1
{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {PB} \mathbf {P} ^{-1}}
det
(
A
)
=
det
(
P
B
P
−
1
)
=
det
(
P
)
⋅
det
(
B
)
⋅
det
(
P
−
1
)
=
det
(
B
)
⋅
det
(
P
)
⋅
det
(
P
)
−
1
=
det
(
B
)
{\displaystyle \det(\mathbf {A} )=\det(\mathbf {PB} \mathbf {P} ^{-1})=\det(\mathbf {P} )\cdot \det(\mathbf {B} )\cdot \det(\mathbf {P} ^{-1})=\det(\mathbf {B} )\cdot \det(\mathbf {P} )\cdot \det(\mathbf {P} )^{-1}=\det(\mathbf {B} )}
[ 28] 行列式是所有特徵值 （按代数重数计）的乘积。這可由矩陣必和其若尔当标准型 相似推導出[ 38] 三角矩阵 的行列式等于其对角线上所有元素的乘积[ 38]
由于三角矩阵的行列式计算简便，当矩阵的系数为域 时，可以通过高斯消去法 将矩阵变换成三角矩阵，或者将矩阵分解成三角矩阵的乘积之后再利用行列式的乘法定理进行计算。可以证明，所有的矩阵
A
{\displaystyle A}
U
{\displaystyle U}
L
{\displaystyle L}
置换矩阵
P
{\displaystyle P}
A
=
P
⋅
L
⋅
U
{\displaystyle A=P\cdot L\cdot U}
A
{\displaystyle A}
det
(
A
)
=
det
(
P
)
⋅
det
(
L
)
⋅
det
(
U
)
{\displaystyle \det(A)=\det(P)\cdot \det(L)\cdot \det(U)}
[ 39] 分块矩阵的行列式并不能简单地表示成每个分块的行列式的乘积组合。对于分块的三角矩阵，仍然有类似的结论：
|
A
0
C
D
|
=
|
A
B
0
D
|
=
det
(
A
)
det
(
D
)
{\displaystyle {\begin{vmatrix}A&0\\C&D\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}A&B\\0&D\end{vmatrix}}=\det(A)\det(D)}
对于一般情况，若对角元素中有一个是可逆矩阵，比如说
A
{\displaystyle A}
|
A
B
C
D
|
=
det
(
A
)
det
(
D
−
C
A
−
1
B
)
{\displaystyle {\begin{vmatrix}A&B\\C&D\end{vmatrix}}=\det(A)\det(D-CA^{-1}B)}
[ 40] 矩阵的行列式和矩阵的迹数 有一定的关联，当矩阵的系数为域 时，在定义了矩阵的指数函数 后，有如下的恒等式：
det
(
exp
(
A
)
)
=
exp
(
t
r
(
A
)
)
{\displaystyle \det(\exp(A))=\exp(\mathrm {tr} (A))}
[ 41]
对一个
n
{\displaystyle n}
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
M
{\displaystyle M}
m
i
j
{\displaystyle m_{ij}}
餘因式 。记作
M
i
j
{\displaystyle M_{ij}}
[ 42]
M
i
j
=
|
m
1
,
1
…
m
1
,
j
−
1
m
1
,
j
+
1
…
m
1
,
n
⋮
⋮
⋮
⋮
m
i
−
1
,
1
…
m
i
−
1
,
j
−
1
m
i
−
1
,
j
+
1
…
m
i
−
1
,
n
m
i
+
1
,
1
…
m
i
+
1
,
j
−
1
m
i
+
1
,
j
+
1
…
m
i
+
1
,
n
⋮
⋮
⋮
⋮
m
n
,
1
…
m
n
,
j
−
1
m
n
,
j
+
1
…
m
n
,
n
|
{\displaystyle M_{ij}={\begin{vmatrix}m_{1,1}&\dots &m_{1,j-1}&m_{1,j+1}&\dots &m_{1,n}\\\vdots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\m_{i-1,1}&\dots &m_{i-1,j-1}&m_{i-1,j+1}&\dots &m_{i-1,n}\\m_{i+1,1}&\dots &m_{i+1,j-1}&m_{i+1,j+1}&\dots &m_{i+1,n}\\\vdots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\m_{n,1}&\dots &m_{n,j-1}&m_{n,j+1}&\dots &m_{n,n}\end{vmatrix}}}
皮埃尔-西蒙·拉普拉斯
由行列式的一般表达形式中可以看出，矩阵
A
{\displaystyle A}
设矩阵函数
t
↦
A
(
t
)
{\displaystyle t\mapsto A(t)}
C
k
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}
k 阶连续可导 ）的函数，则由于行列式函数
t
↦
det
A
(
t
)
{\displaystyle t\mapsto \det A(t)}
A
(
t
)
{\displaystyle A(t)}
C
k
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}
t 的导数为
d
d
t
(
det
(
A
1
(
t
)
,
…
,
A
n
(
t
)
)
)
=
∑
i
=
1
n
det
(
A
1
(
t
)
,
…
,
A
i
−
1
(
t
)
,
A
i
′
(
t
)
,
A
i
+
1
(
t
)
,
…
,
A
n
(
t
)
)
{\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left(\det(A_{1}(t),\dots ,A_{n}(t))\right)=\sum _{i=1}^{n}\det(A_{1}(t),\dots ,A_{i-1}(t),A'_{i}(t),A_{i+1}(t),\dots ,A_{n}(t))}
A
i
(
t
)
{\displaystyle A_{i}(t)}
A
(
t
)
{\displaystyle A(t)}
i 个行向量（也可以全部是列向量）。[ 46]
行列式的概念最初是伴随着方程 组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本 数学家 关孝和 与德国 数学家戈特弗里德·莱布尼茨 各自独立得出，时间相差132年。
关孝和在《解伏题之法》中首次运用行列式的概念 1545年，吉罗拉莫·卡尔达诺 在著作《大术 Ars Magna ）中给出了一种解两个一次方程组的方法。他把这种方法称为“母法”（regula de modo ）。这种方法和后来的克莱姆法则 已经很相似了，但卡尔达诺并没有给出行列式的概念[ 54]
1683年，日本数学家关孝和 在其著作《解伏题之法》中首次引进了行列式的概念。书中出现了
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2}
3
×
3
{\displaystyle 3\times 3}
5
×
5
{\displaystyle 5\times 5}
[ 55] [ 56]
1693年，德国数学家莱布尼茨开始使用指标数的系统集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数。他从三个方程的系统中消去了两个未知量后得到一个行列式。这个行列式不等于零，就意味着有一组解同时满足三个方程[ 57] [ 58] [ 55] ij i j 行列式的展开 和克莱姆法则 ，但这些结果在当时并不为人所知[ 59]
1730年，苏格兰 数学家科林·麦克劳林 在他的《论代数》中已经开始阐述行列式的理论，记载了用行列式解二元、三元和四元一次方程的方法，并给出了四元一次方程组的一般解的正确形式，尽管这本书直到麦克劳林逝世两年后（1748年）才得以出版[ 60]
约瑟夫·拉格朗日 1750年，瑞士 的加布里尔·克莱姆 首先在他的《代数曲线分析引论》给出了n 二次曲线 的系数，但并没有给出证明[ 61] 奇置换和偶置换 上的[ 62]
此后，关于行列式的研究逐渐增多。1764年，法国的艾蒂安·裴蜀 的论文中关于行列式的计算方法的研究简化了克莱姆法则，给出了用结式 来判别线性方程组的方法[ 55] [ 63] 范德蒙德 则在1771年的论著中第一个将行列式和解方程理论分离，对行列式单独作出阐述。这是数学家们开始对行列式本身进行研究的开端[ 64]
1772年，皮埃尔-西蒙·拉普拉斯 在论文《对积分和世界体系的探讨》中推广了范德蒙德著作裡面将行列式展开为若干个较小的行列式之和的方法，发展出子式 的概念。一年后，约瑟夫·拉格朗日 发现了
3
×
3
{\displaystyle 3\times 3}
四面体 的体积，是它们的坐标所组成的行列式的六分之一[ 65] [ 55]
行列式在大部分欧洲语言中被称为“determinant”（某些语言中词尾加e或o，或变成s），这个称呼最早是由卡爾·弗里德里希·高斯 在他的《算术研究 》中引入的。这个称呼的词根有“决定”意思，因为在高斯的使用中，行列式能够决定二次曲线 的性质。在同一本著作中，高斯还叙述了一种通过系数之间加减来求解多元一次方程组的方法，也就是现在的高斯消元法 [ 55]
詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特 进入十九世纪后，行列式理论进一步得到发展和完善。奧古斯丁·路易·柯西 在1812年首先将“determinant”一词用来表示十八世纪出现的行列式，此前高斯只不过将这个词限定在二次曲线所对应的系数行列式中。柯西也是最早将行列式排成方阵并将其元素用双重下标表示的数学家（垂直线记法是阿瑟·凯莱 在1841年率先使用的）[ 66] 行列式的乘法定理 （实际上是矩阵乘法），这个定理曾经在雅克·菲利普·玛利·比内 Jacque Philippe Marie Binet ）的书中出现过，但没有证明[ 67] [ 55] [ 66]
十九世纪五十年代，凯莱和詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特 将矩阵 的概念引入数学研究中[ 68] 矩阵论 蓬勃发展的同时也带来了许多关于行列式的新结果，例如阿达马不等式 、正交行列式、对称行列式等等[ 69]
与此同时，行列式也被应用于各种领域中。高斯在二次曲线 和二次型 的研究中使用行列式作为二次曲线 和二次型 划归为标准型时的判别依据。之后，卡尔·魏尔斯特拉斯 和西尔维斯特又完善了二次型理论，研究了
λ
{\displaystyle \lambda }
初等因子 [ 70] [ 71] 卡尔·雅可比 发现了一些特殊结果，1839年，欧仁·夏尔·卡塔兰 （Eugène Charles Catalan ）发现了所谓的雅可比行列式 [ 72] [ 73] 线性相关性 与雅可比行列式的关系[ 74]
行列式的一个主要应用是解线性方程组 。当线性方程组的方程个数与未知数 个数相等时，方程组不一定总是有唯一解。对一个有n 个方程和n 个未知数的线性方程组，我们研究未知数系数所对应的行列式。这个线性方程组有唯一解当且仅当 它对应的行列式不为零。这也是行列式概念出现的根源[ 75]
当线性方程组对应的行列式不为零时，由克萊姆法則 ，可以直接以行列式的形式写出方程组的解。但用克萊姆法則求解计算量巨大，因此并没有实际应用价值，一般用于理论上的推导[ 76]
矩阵的概念出现得比行列式晚，直到十九世纪中期才被引入，然而两者在本质上仍然有密切关系。通过矩阵，线性方程组可以表示为
A
x
=
b
{\displaystyle \mathbf {A} x=b}
其中
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
x
=
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
T
{\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})^{\mathbf {T} }}
b
=
(
b
1
,
b
2
,
⋯
,
b
n
)
T
{\displaystyle b=(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})^{\mathbf {T} }}
在矩阵理论中，行列式也有各种用途。多項式
p
(
x
)
=
det
(
x
I
−
A
)
{\displaystyle p(x)=\det(xI-A)}
A
{\displaystyle A}
特征值 。换句话说，
x
{\displaystyle x}
A
{\displaystyle A}
x
I
−
A
{\displaystyle xI-A}
[ 77]
朗斯基行列式是函数矩阵的行列式，因此本身也是一个函数。给定n 个n-1 次连续 可微 函数，f1 、...、fn ，它们的朗斯基行列式W(f1 , ..., fn ) 为：
W
(
f
1
,
…
,
f
n
)
(
t
)
=
|
f
1
(
t
)
f
2
(
t
)
⋯
f
n
(
t
)
f
1
′
(
t
)
f
2
′
(
t
)
⋯
f
n
′
(
t
)
⋮
⋮
⋱
⋮
f
1
(
n
−
1
)
(
t
)
f
2
(
n
−
1
)
(
t
)
⋯
f
n
(
n
−
1
)
(
t
)
|
{\displaystyle W(f_{1},\ldots ,f_{n})(t)={\begin{vmatrix}f_{1}(t)&f_{2}(t)&\cdots &f_{n}(t)\\f_{1}'(t)&f_{2}'(t)&\cdots &f_{n}'(t)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}(t)&f_{2}^{(n-1)}(t)&\cdots &f_{n}^{(n-1)}(t)\end{vmatrix}}}
[ 80] 可以证明，如果f1 、...、fn 线性相关，那么它们的朗斯基行列式恒等于零[ 80]
在线性微分动力系统理论中，朗斯基行列式用来判别若干个解的线性相关性。如果n 个解f1 、...、fn 线性无关，那么它们的朗斯基行列式将总不为零[ 81] n 维空间上的线性微分方程：
Y
′
=
A
(
t
)
Y
{\displaystyle Y^{\prime }=A(t)Y}
的基础解系所构成的朗斯基行列式
W
(
t
)
{\displaystyle W(t)}
W
′
(
t
)
=
t
r
A
(
t
)
W
(
t
)
{\displaystyle W'(t)={\rm {tr}}\,A(t)W(t)}
[ 80] 同样地，线性微分方程：
y
(
n
)
=
a
0
(
t
)
y
+
a
1
(
t
)
y
′
+
a
2
(
t
)
y
″
+
.
.
.
+
a
n
−
1
(
t
)
y
(
n
−
1
)
{\displaystyle y^{(n)}=a_{0}(t)y+a_{1}(t)y'+a_{2}(t)y''+...+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}\,}
W
(
t
)
{\displaystyle W(t)}
W
′
(
t
)
=
a
n
−
1
(
t
)
W
(
t
)
{\displaystyle W'(t)=a_{n-1}(t)W(t)}
[ 80]
雅可比行列式是把一个体积元（蓝色）变换成另一个（红色）时两者的体积之比 行列式体现了线性变换对于空间体积的作用，对于非线性的函数，其对体积的影响更为复杂，但对于足够“良好”的函数，在一个微小的范围内，比如说在空间中一点的附近，可以将函数的效果近似地用线性的变换来代替。由此，对于某些函数，也可以将它在某一点附近的作用效果用它在这一点上的偏导数构成的矩阵（称为雅可比矩阵 ）来表示。这类行列式被称为“雅可比行列式 ”，即是雅可比矩阵 的行列式，只对连续可微 的函数有定义[ 82]
在计算“体积”的多重积分中，雅可比行列式应用于换元积分 的时候。积分的思想是将空间割成许多个微小的体积元，称为积分元素，再将每个体积元上的函数值 乘以体积元的体积后相加。将一个积分元素换为另一个积分元素时，实际上作了一次对空间中体积的度量方式的改变：分划体积元的方式不同了。譬如在二维空间中，将直角坐标 积分换为极坐标 积分时，面积元素由方块区域变成扇形区域。因此，要测量这种体积度量方式的改变，可以将这种变换看成一个非线性的变换函数（实际上是一个微分同胚 ）：
φ
:
R
n
⟶
R
n
{\displaystyle \varphi :\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}
[ 83]
运用雅可比行列式的还有非线性方程组的数值求解。对于一般的非线性方程组，不存在求解公式，只能够用数值分析 的方法求近似解。求近似解的基本思想也是将非线性问题在局部的地方逐步线性化，化归为线性方程组来求解。设有方程组：
{
f
1
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
=
0
⋮
⋮
f
n
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}f_{1}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=0\\\quad \vdots \qquad \qquad \qquad \vdots \quad \\f_{n}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=0\end{cases}}}
其中
f
=
(
f
1
,
⋯
,
f
n
)
{\displaystyle f=(f_{1},\cdots ,f_{n})}
f
(
x
(
k
+
1
)
)
=
x
(
k
)
−
det
(
J
f
(
x
(
k
)
)
)
−
1
f
(
x
(
k
)
)
(
k
=
0
,
1
,
⋯
)
{\displaystyle f(x^{(k+1)})=x^{(k)}-\det(\mathbf {J} _{f}(x^{(k)}))^{-1}f(x^{(k)})\qquad (k=0,1,\cdots )}
其中的
x
(
k
)
=
(
x
1
(
k
)
,
x
2
(
k
)
,
⋯
,
x
n
(
k
)
)
{\displaystyle x^{(k)}=(x_{1}^{(k)},x_{2}^{(k)},\cdots ,x_{n}^{(k)})}
k
{\displaystyle k}
J
f
(
x
(
k
)
)
Δ
x
(
k
)
=
f
(
x
(
k
)
)
{\displaystyle \mathbf {J} _{f}(x^{(k)})\Delta x^{(k)}=f(x^{(k)})}
然后计算新的近似值
x
(
k
+
1
)
=
x
(
k
)
−
Δ
x
(
k
)
{\displaystyle x^{(k+1)}=x^{(k)}-\Delta x^{(k)}}
[ 84] 在实际应用中，还需要考虑带有参数的非线性方程组：
{
f
1
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
,
λ
)
=
0
⋮
⋮
f
n
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
,
λ
)
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}f_{1}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},\lambda )=0\\\quad \vdots \qquad \qquad \qquad \vdots \quad \\f_{n}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},\lambda )=0\end{cases}}}
其中的
λ
{\displaystyle \lambda }
温度 、外力 等环境因素。当环境改变时，方程解上的雅可比行列式可能从非零变为零。雅可比行列式为零的点称为临界点或分支点，是方程的解改变性质的地方。和线性方程组类似，当雅可比行列式的值为零时，方程组会出现局部多值的情况。寻找分支点和分支方向的研究是非线性方程求解的一大问题。[ 85]
（英文） M.R. Adhikari. Text book of linear algebra: an introduction to modern algebra ISBN 978-8-177-64591-0 ，第461页Gilbert Strang, Linear algebra and its applications ,第234页
（英文） Gilbert Strang. Linear Algebra and its applications , 3rd Edition. Brookes/Cole Thomson Learning. 2006. ISBN 0-15-551005-3 ，第234-235页Steven Roman, Advanced Linear Algebra ，第387-388页
Steven Roman, Advanced Linear Algebra ，第405-406页
（英文） F. R. Gantmacher. The theory of matrices. Dover Publications. 2005. ISBN 978-0486445540 ，第67-68页Steven Roman, Advanced Linear Algebra ,第405-406页
这是由于行列式按照定义可以看成关于矩阵系数的多项式。另一方面，若干个复数乘积或和的共轭等于其共轭的乘积或和。从而当每个系数都取共轭后，行列式这个多项式的值也变成原来的共轭。
（英文） N.丹佛，J.T.施瓦茨. 《线性算子》第一章：一般理论. Interscience. 1958: 39–40.
Gilbert Strang, Linear Algebra and its applications ,第236-237页
（英文） Lawrence Conlon. Differentiable manifolds, 2nd edition. Birkhäuser Boston;. 2001. ISBN 978-0817641344 （英文） Vladimir G. Ivancevic,Tijana T. Ivancevic. Applied differential geometry: a modern introduction. World Scientific Publishing Company. 2007. ISBN 978-9812706140 （德文） E Knobloch, Determinants , in I Grattan-Guinness (ed.), Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences (London, 1994), 766-774.
（中文） 曹亮吉. 關孝和 . 科學月刊第十八卷第二、第三期. [2009-12-10 ] . （原始内容存档 于2021-04-27）. （德文） 莱布尼兹，《莱布尼兹数学文献》（Leibnizens mathematische Schriften ）, A. Asher，第二卷，页229-245
（中文） 行列式 . 香港教育發展組教育資訊站. [2009-12-10 ] . （原始内容 存档于2010-01-04）.（德文） E. Knobloch, Der Beginn der Determinantentheorie, Leibnizens nachgelassene Studien zum Determinantenkalkül (Hildesheim, 1980)
（英文） C. B. Boyer, A History of Mathematics (John Wiley, 1968)
（法文） 加布里尔·克拉默 Introduction à l'analyse des lignes courbes algébraique 1750（德文） M. Cantor, Geschichte der Mathematik (Teubner, 1913)
（法文） 艾蒂安·裴蜀 Recherches sur le degré des équations résultantes de l’évanouissement des inconnues, et sur le moyens qu’il convient d’employer pour trouver ces équations , Mém. Acad. Roy. Sci Paris, 1764, pp 288–338（法文） 亚历山德·西奥菲勒·范德蒙德 Mémoire sur l’élimination, Hist. de l’Acad. Roy. des Sciences Paris 1772, 2e partie, pp 516-532
（法文） 拉格朗日 Nouvelle solution du problème du mouvement de rotation d’un corps de figure quelconque qui n’est animé par aucune force accélératrice Nouveaux mémoires de l’Académie royale des sciences et des belles-lettres de Berlin, 1773（德文） Monatsberichte der Berliner Akademie. 1858年1月: 207–220.
（德文） Monatsberichte der Berliner Akademie. 1868年1月: 310–338.
（英文） Andy R. Magid. Lectures on differential Galois theory. American Mathematical Society. 1994. ISBN 978-0821870044 ，第15-17页 
.jpg)
![{\displaystyle \left[f\right]_{B}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d831914df02291d163b271f7dd768fbe23834f80)
![{\displaystyle \det f=\det \left([f]_{B}\right)}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9c801c2dd7f6a83e4b6e7eddee3d0f23caafbb8)
![{\displaystyle \left[f(x_{1}),\dots ,f(x_{n})\right]=\left[f\right]_{B}\cdot \left[x_{1},\dots ,x_{n}\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1b73609e0e3772b936ed8ff7ce42eb0f03e50c9)
![{\displaystyle \det {}_{B}(f(x_{1}),\dots ,f(x_{n}))=\det \left([f]_{B}\right)\times \det {}_{B}(x_{1},\dots ,x_{n})}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b635f7806f07618d11e21fe88041aa080b039922)
![{\displaystyle \lambda =\det \left([f]_{B}\right)}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/506c08ea6f77e1aebef7fa1e59431196d5276173)
![{\displaystyle \det {}_{B}(f(x_{1}),\dots ,f(x_{n}))=\det \left([f]_{B}\right)\times \det {}_{B}(x_{1},\dots ,x_{n})\qquad (1)}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd9a66dc1ef62cb1e85f0308fc1d610f13a5127d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\det \left([f]_{B}\right)\times \det {}_{B}(x_{1},\dots ,x_{n})&=\det {}_{B}(f(x_{1}),\dots ,f(x_{n}))\\&=\det {}_{B}(B')\times \det {}_{B'}(f(x_{1}),\dots ,f(x_{n}))\\&=\det {}_{B}(B')\times \det \left([f]_{B'}\right)\times \det {}_{B'}(x_{1},\dots ,x_{n})\\&=\det \left([f]_{B'}\right)\times \det {}_{B}(x_{1},\dots ,x_{n})\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/662e29af86a9eca9d36e81330e62ea728aa04a5b)
![{\displaystyle \det \left([f]_{B'}\right)}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86b3bdec3a97012f3f20fc79c3283f040655f44f)
![{\displaystyle \det \left([f]_{B}\right)}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/661ec4ea02677ea3e17af840c1d745819742cf98)
![{\displaystyle \mathbb {K} /[\mathbb {K} ,\mathbb {K} ]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9259b3c625550df8ff1360629dcec81580a47a36)
