自同态

在数学中，自同态（英語：endomorphism）是从一个数学对象到它本身的态射（或同态）。例如，向量空间V的自同态是线性映射ƒ: V → V，而群G的自同态则是群同态ƒ: G → G，等等。一般地，我们可以讨论任何范畴中的自同态，在集合范畴中，自同态就是从集合S到它本身的函数。

在任何范畴中，X的任何两个自同态的复合也是X的自同态。于是可以推出，X的所有自同态的集合形成了一个幺半群，记为End(X)（或End_C(X)，以强调范畴C）。

自同构

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X的可逆自同态称为自同构。所有自同构的集合是End(X)的一个子群，称为X的自同构群，记为Aut(X)。在以下的图中，箭头表示蕴含：

自同构	${\displaystyle \Rightarrow }$	同构
${\displaystyle \Downarrow }$		${\displaystyle \Downarrow }$
自同态	${\displaystyle \Rightarrow }$	同态

自同态环

阿贝尔群A的任何两个自同态都可以相加起来，根据规则(f + g)(a) = f(a) + g(a)。在这个加法下，阿贝尔群的自同态形成了一个环（自同态环）。例如，Zⁿ的自同态的集合是所有整系数n × n矩阵的环。向量空间或模的自同态也形成了一个环，像预加法范畴中的任何对象的自同态一样。非阿贝尔群的自同态生成了一个代数结构，称为拟环（英语：Near-ring）。

参见

• 态射
• 弗罗贝尼乌斯自同态
• 伴随自同态

外部链接

• 自同态和假象的范畴. Victor Porton. 2005. - 范畴的自同态（尤其是带有偏序态射的范畴）也是一定的范畴的对象。
• Endomorphism. PlanetMath.