子群

假設 ${\displaystyle (G,*)}$ 是一個 群（group），若 ${\displaystyle H}$ 是 ${\displaystyle G}$ 的一個非空子集（subset）且同時 ${\displaystyle H}$ 與相同的二元運算 ${\displaystyle *}$ 亦構成一個群，則 ${\displaystyle (H,*)}$ 稱為 ${\displaystyle (G,*)}$ 的一個 子群（subgroup）。參閱群論。

群论
群
基本概念 子群 · 正规子群 · 商群 · 群同態 · 像 · (半)直积 · 直和 单群 · 有限群 · 无限群 · 拓扑群 · 群概形 · 循環群 · 冪零群 · 可解群 · 圈積 离散群 有限單群分類 循環群 Zn 交错群 An 李型群 散在群 马蒂厄群 M11..12,M22..24 康威群 Co1..3 扬科群 J1..4 费歇尔群（英语：Fischer group）F22..24 子魔群（英语：sub monster group） B 魔群 M 其他有限群 对称群, Sn 二面体群, Dn 无限群 整数, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 连续群 李群 一般线性群 GL(n) 特殊线性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 勞侖茲群 庞加莱群 无限维群 共形群 微分同胚群 环路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代数群 椭圆曲线 线性代数群（英语：Linear algebraic group） 阿贝尔簇（英语：Abelian variety）
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更精確地來說，若運算 ${\displaystyle *}$ 在 ${\displaystyle H}$ 的限制也是個在 ${\displaystyle H}$ 上的群運算，则称 ${\displaystyle H}$ 為 ${\displaystyle G}$的子群。

一個群 ${\displaystyle G}$ 的 純子群 是指一個子群 ${\displaystyle H}$，其為 ${\displaystyle G}$的純子集（即 ${\displaystyle H}$ ≠ ${\displaystyle G}$）。任一個群總會有兩個子群 當然群（為只包含單位元素的子群，{e}）以及 群本身。若 ${\displaystyle H}$ 為 ${\displaystyle G}$的子群，則 ${\displaystyle G}$ 有時會被稱為 ${\displaystyle H}$ 的「母群」。

相同的定義可以應用在更廣義的範圍內，當 G 為一任意的半群，但此一條目中只處理群的子群而已。群G 有時會被標記成有序對(G,*)，通常用以強調其運算 ${\displaystyle *}$ 當 G 帶有多重的代數或其他結構。

在下面的文章中，會使用省略掉 ${\displaystyle *}$ 的約定，並將乘積a*b寫成 ab。

子群的檢驗

給定一個群${\displaystyle (G,*)}$，${\displaystyle H}$為${\displaystyle G}$的子集，則有${\displaystyle H}$為${\displaystyle G}$的子群若且唯若${\displaystyle \forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H}$。

若${\displaystyle H}$為${\displaystyle G}$的子群可表示為${\displaystyle H\leq G}$，則以上表述可表示為:

${\displaystyle H\leq G\Longleftrightarrow \forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H}$

證明：

${\displaystyle (\Longrightarrow )}$：

因為${\displaystyle H\leq G}$，對於任意${\displaystyle h'\in H}$，${\displaystyle \exists h'^{-1}\in H}$，另有${\displaystyle h\in H}$，由於${\displaystyle H}$為一個群，所以${\displaystyle h*h'^{-1}\in H}$。

${\displaystyle (\Longleftarrow )}$：

假設${\displaystyle \exists x\in H}$，令${\displaystyle h=h'=x}$，可得${\displaystyle h*h^{-1}=x*x^{-1}=e_{G}\in H}$，即${\displaystyle H}$存在單位元。

對於${\displaystyle x\in H}$，令${\displaystyle h=e_{G}}$，${\displaystyle h'=x}$，可得${\displaystyle h*h^{-1}=e_{G}*x^{-1}=x^{-1}\in H}$，即對於任意${\displaystyle x\in H}$，存在${\displaystyle x^{-1}\in H}$。

對於${\displaystyle x,y\in H}$，令${\displaystyle h=x}$，${\displaystyle h'=y^{-1}}$，可得${\displaystyle h*h^{-1}=x*(y^{-1})^{-1}=x*y\in H}$，即對於任意${\displaystyle x,y\in H}$，${\displaystyle x*y\in H}$。

因此${\displaystyle H\leq G\Longleftrightarrow \forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H}$成立。

子群的基本性質

• ${\displaystyle H\leq G}$ ${\displaystyle \Longleftrightarrow }$${\displaystyle H\subseteq G}$且存在一個映射${\displaystyle \phi :H\to G}$,且對每個 ${\displaystyle a\in H}$ 有${\displaystyle \phi (a)=a}$。
• ${\displaystyle H\leq G}$ ${\displaystyle \Longleftrightarrow }$${\displaystyle e_{H}=e_{G}}$,其中${\displaystyle e_{H},e_{G}}$為${\displaystyle H,G}$ 的單位元素。
• 若${\displaystyle H\leq G}$，則${\displaystyle a,b}$為會使得${\displaystyle ab=ba=e_{H}}$ 之 ${\displaystyle H}$ 中的元素，有${\displaystyle ab=ba=e_{G}}$。
• 若${\displaystyle H_{1}\leq G,H_{2}\leq G\Rightarrow H_{1}\cap H_{2}\leq G}$ .但${\displaystyle H_{1}\cup H_{2}}$則不一定，例如2和3是在${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$與${\displaystyle 3\mathbb {Z} }$的聯集中，但其總和5則不是。
• 若S是G的子集，則存在一個包括S的最小子群，其可以由取得所有包括S的子群之交集來找出；此一最小子群被標記為<S>且稱為由S產生的子群。G內的一個元素在<S>內若且唯若其為S內之元素的有限乘積且其逆元。
• 群G內的每一個元素a都會產生一個循環子群<a>。若<a>同構於某一正整數n之Z/nZ，則n會是最小個會使得aⁿ = e的正整數，且n被稱為是a的「階」。若<a>同構於Z，則a會被稱有「無限階」。
• 任一給定的群之子群都會形成一個在內含下的完全格，稱之為子群格。(其最大下界為一般的集合論交集，而其一群子群的最小上界所此些子群之集合論聯集「所產生」的子群。)若e為G的單位元素，則其當然群{e}會是群G的最小子群，而其最大子群則會是群G本身。

例子

1. 有限群

${\displaystyle G=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}}$ 和以8為模的加法為二元運算的群(此群亦同時是阿貝爾群)。 其凱萊表為

+	0	4	2	6	1	3	5	7
0	0	4	2	6	1	3	5	7
4	4	0	6	2	5	7	1	3
2	2	6	4	0	3	5	7	1
6	6	2	0	4	7	1	3	5
1	1	5	3	7	2	4	6	0
3	3	7	5	1	4	6	0	2
5	5	1	7	3	6	0	2	4
7	7	3	1	5	0	2	4	6

此凱萊表是故意不用常規的排列法來表明此群有著一對非當然子群：${\displaystyle J=\{0,4\}}$ 和 ${\displaystyle H=\{0,2,4,6\}}$，其中 ${\displaystyle J}$ 亦是 ${\displaystyle H}$ 的子群。${\displaystyle H}$ 的凱萊表是 ${\displaystyle G}$ 的凱萊表之左上半部。 ${\displaystyle G}$ 群是循環的，而其子群亦為。一般而言，循環群的子群亦為循環的。

2. 二面體群

如果${\displaystyle G=D_{n}}$，則 ${\displaystyle R=\{e,r,r^{2},...,r^{n-1}\}}$是一個子群

3.群的中心，中心化子，正規化子

我們設${\displaystyle Z(G)}$一個群G的子集，包含了所有與群G中其他元素可交換的元素，也就是說

${\displaystyle Z(G)=\{x\in G|\;xg=gx\;\,\;\forall \,g\in G\}}$，此集合為群G的子群。我們稱此子群為群的中心，記作${\displaystyle Z(G)}$。

設A為G的任意子集，則A在G中的中心化子為集合${\displaystyle C_{G}(A)}$，此集合的定義為:

${\displaystyle C_{G}(A)=\{g\in G\;|\;gag^{-1}=a\;\;\forall a\in A\}}$，此集合也是群G的子群。

至於A在G中的正規化子則為集合${\displaystyle N_{G}(A)}$，此集合定義為:

${\displaystyle N_{G}(A)=\{g\in G\;|\;gAg^{-1}\subseteq A\}}$，此集合也是群G的子群。

陪集和拉格朗日定理

給定一子群H和G內的某一元素a，則可定義出一個左陪集 aH={ah;h∈H}。因為a為可逆的，由φ(h) = ah給出之映射φ : H → aH為一個雙射。更甚地，每一個G內的元素都包含在恰好一個H的左陪集中；其左陪集為對應於一等價關係的等價類，其等價關係a₁ ~ a₂若且唯若a₁⁻¹a₂會在H內。H的左陪集之數目稱之為H在G內的「指數」，並標記為[G:H]。

拉格朗日定理敘述著對一個有限群G和一個子群H而言，

${\displaystyle [G:H]={o(G) \over o(H)}}$

其中o(G)和o(H)分別為G和H的階。特別地是，每一個G的子群的階(和每一個G內元素的階)都必須為o(G)的因數。 右陪集為相類比之定義：Ha = {ha : h∈H}。其亦有對應於一適當之等價關係的等價類，且其個數亦會相等於[G:H]。

若對於每個在G內的a，aH=Ha，則H稱之為正規子群。每一個指數2的子群皆為正規的：左陪集和右陪集都簡單地為此一子群和其補集。

另見

• 嘉當子群
• 費汀子群
• 穩定子群